Grafische methode voor optimale beslissingsmethoden. grafische methoden

Een lineair programmeerprobleem (LPP) oplossen met een grafische methode

Algemene verklaring van zlp

Vind de waarden van n variabelen x 1, x 2,…, x n, waarbij het uiterste (minimum of maximum) van de lineaire functie wordt gegeven Z = C 1 x 1, + C 2 x 2 +… + C n x n

en tegelijkertijd voldoen aan m beperkingen van de vorm

een 1,1 x 1 + een 1,2 x 2 +… + een 1, n x n£ = ≥b 1,

een 2,1 x 1 + een 2,2 x 2 +… + een 2, n x n£ = ≥b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

een m, 1 x 1 + een m, 2 x 2 +… + een m, n x n£ = b m,

voor gegeven a i, j, b i, C j (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n). Het relatieteken kan elk van de drie getoonde waarden aannemen.

Een voorbeeld van een lineair programmeerprobleem

Denk aan het volgende probleem. De manager van een bedrijf dat twee soorten verf produceert, beschreef aan de operationeel onderzoeker de situatie op de productie- en verkoopmarkt van verf. Het bleek dat de fabriek twee soorten verf produceert: voor interne en externe werken. Beide verven zijn verkrijgbaar voor de groothandel. Voor de productie van verven worden twee initiële producten gebruikt - A en B. De maximaal mogelijke dagelijkse voorraden van deze producten zijn respectievelijk 6 en 8 ton. De ervaring leert dat de dagelijkse vraag naar buitenverf nooit meer dan 1 ton groter is dan de vraag naar binnenverf. Daarnaast is gebleken dat de vraag naar buitenverf nooit hoger is dan 2 ton per dag. De groothandelsprijzen voor één ton verf waren als volgt: 3000 roebel voor de externe verf en 2000 roebel voor de interne verf. Hoeveel van elke verf moet een fabriek produceren om de verkoopopbrengst te maximaliseren?

Om het probleem dat aan de onderzoeker wordt gesteld op te lossen, moet eerst een wiskundig model van de beschreven situatie worden ontwikkeld.

Bij het construeren van een wiskundig model stelt de operations researcher drie vragen.

• Voor welke hoeveelheden moet het model worden gebouwd? Met andere woorden, u moet de taakvariabelen identificeren.
• Welke beperkingen moeten aan de variabelen worden opgelegd om te voldoen aan de voorwaarden die kenmerkend zijn voor het systeem dat wordt gemodelleerd?
• Wat is het doel, voor het bereiken van welke van alle mogelijke (toegestane) waarden van variabelen is het noodzakelijk om die te kiezen die overeenkomen met de optimale (beste) oplossing van het probleem?

Laten we variabelen introduceren:

x 1 - dagelijkse productie van buitenverf (in tonnen),

x 2 is de dagelijkse productie van interieurverf (in ton).

Rekening houdend met de groothandelsprijzen per ton van elk type verf, wordt het daginkomen uit de verkoop van vervaardigde producten gegeven door de lineaire doelfunctie Z = 3x 1 + 2x 2.

Het doel van productie is om de winst te maximaliseren, wat betekent dat je de waarden x 1 en x 2 moet vinden die de doelfunctie Z maximaliseren.

Aangezien de verffabrikant niet willekeurig over de waarden van de variabelen kan beschikken, is het noodzakelijk om de reeks mogelijke waarden van deze variabelen te benadrukken, die wordt bepaald door de specifieke productie- en marketingvoorwaarden. Deze set wordt het bereik van geldige waarden genoemd.

Het eerste type beperkingen wordt bepaald door de voorraden van producten A en B, waaruit verven worden gemaakt. Uit de productietechnologie is bekend dat twee delen van product A worden gebruikt voor de productie van een ton externe verf en een deel voor een ton interne verf. Voor product B is de verhouding omgekeerd. Deze technologische voorwaarden worden beschreven door de ongelijkheden

2x 1 + x 2 £ 6 (op voorraad 6 ton product A),

x 1 + 2x 2 £ 8 (op voorraad 8 ton product B).

De laatste twee beperkingen betekenen een voor de hand liggende omstandigheid: je kunt niet meer producten A en B gebruiken voor de productie van verven dan ze daadwerkelijk in voorraad hebben.

De situatie met de verkoop van verf op de markt leidt tot de volgende beperkingen: x 1 - x 2 £ 1 (buitenverf wordt niet meer dan een ton meer verkocht dan de interne), x 1 £ 2 (niet meer dan twee ton buitenverf worden per dag verkocht).

Alles samenvattend wat er is gezegd, is het mogelijk om een ​​wiskundig model op te stellen dat de huidige productiesituatie in de volgende vorm beschrijft:

vind® max (Z = 2 × x 1 + 3 × x 2) met de volgende beperkingen op de waarden van de variabelen x 1 en x 2

2 × x 1 + x 2 £ 6 beperking (1),

X 1 + 2 × x 2 £ 8 beperking (2),

X 1 - x 2 £ 1 beperking (3),

X 1 £ 2 beperking (4)

en de eis van niet-negativiteit van de variabelen x 1 0 (5), x 2 ³ 0 (6).

Het resulterende wiskundige model is een lineair programmeerprobleem.

Grafische methode voor het oplossen van zlp

De grafische methode voor het oplossen van slp kan alleen worden geïmplementeerd in een tweedimensionaal geval.

Het verkregen wiskundige model voor het geformuleerde typische probleem vereist onderzoek, omdat niet van tevoren bekend is of het (als wiskundig probleem) een oplossing heeft. Het onderzoek zal worden uitgevoerd met behulp van grafische constructies. Gelijktijdig met dergelijk onderzoek vinden we (indien aanwezig) een oplossing.

Fase 1. Bouw van de regio van haalbare oplossingen

Het doel is om een ​​gebied te bouwen waarvan elk punt aan alle beperkingen voldoet.

Elk van de zes beperkingen definieert geometrisch een halfvlak. Om het te bouwen, heb je nodig:

• · Vervang het ongelijkheidsteken door gelijkheid in de beperking (we krijgen de vergelijking van de rechte lijn);

• · Bouw een rechte lijn door twee punten;

• · Bepaal welk halfvlak wordt gegeven door het ongelijkheidsteken. Om dit te doen, vervangt u een punt in de ongelijkheid (bijvoorbeeld de oorsprong van coördinaten). Als het aan de ongelijkheid voldoet, schilder dan over het halve vlak dat het bevat.

We voeren dergelijke acties uit voor alle beperkingen. Elk van de rechte lijnen wordt aangegeven met de nummers die zijn aangenomen in de nummering van de beperkingen (zie Fig.).

Het gebied van haalbare oplossingen (voldoet aan alle beperkingen) is de verzameling punten van het eerste kwadrant van het coördinatenvlak (x 1, x 2), dat het snijpunt is van alle halve vlakken gedefinieerd door ongelijkheden van beperkingen.

De reeks punten die aan alle zes de beperkingen van het probleem voldoet, is de AFEDCB-polygoon.

Fase 2 Constructie van lijnen van het objectieve functieniveau en bepaling van het maximale punt

Het doel is om in de geconstrueerde veelhoek A . te vindenFEDCB is het punt waarop de doelfunctie Z = 2x 1 + 3x 2 zijn maximale waarde bereikt.

Laten we een rechte lijn trekken 2x 1 + 3x 2 = Const (waterpaslijn) zodat deze de AFEDCB-polygoon snijdt (bijvoorbeeld Const = 10). Deze niveaulijn wordt weergegeven als een stippellijn in de figuur.

Als we kijken naar de waarden van de lineaire doelfunctie Z op de verzameling punten (x 1, x 2) die behoren tot het segment van de stippellijn dat zich binnen de zeshoek bevindt, dan zijn ze allemaal gelijk aan dezelfde waarde (Const = 10).

Laten we de richting van de toename van de functie bepalen. Teken hiervoor een niveaulijn met een grotere waarde. Het zal een rechte lijn zijn, evenwijdig aan de geconstrueerde, maar aan de rechterkant. Dit betekent dat in een bepaalde richting de waarde van de objectieve functie toeneemt, en het is in ons belang om deze zo ver mogelijk in die richting te verplaatsen.

De verschuiving kan worden voortgezet zolang de verplaatste lijn de haalbare oplossingsveelhoek snijdt. De laatste positie van de rechte lijn, wanneer deze één gemeenschappelijk punt heeft met de AFEDCB-polygoon (punt C), komt overeen met de maximale waarde van de doelfunctie Z en wordt bereikt in punt C met coördinaten x 1 = 4/3 ("1.333 ), x 2 = 10/3 (" 3.333). In dit geval is Z = 38/3 (»12.667).

De taak is volledig opgelost. Uit de uitgevoerde geometrische redenering blijkt duidelijk dat de oplossing uniek is. Laten we enkele generalisaties maken die volgen uit de geometrische interpretatie van het probleem.

Eerst. Het gebied van haalbare oplossingen is een convexe veelhoek ( Waarom convex? Kan het domein van haalbare oplossingen een lege verzameling zijn? Punt? Sectie? Straal? rechtstreeks? Zo ja, geef een voorbeeld van een beperkingssysteem).

Tweede. Het maximum van de doelfunctie wordt bereikt op het hoekpunt van de veelhoek van haalbare oplossingen ( maar kan er meer zijn dan de enige oplossing? Kan er geen oplossing zijn?)

Taak 1 (in de klas voltooien, aan de leraar laten zien)

Oplossen via grafische methode

A) F = 2 x 1 +3 x 2 и max Met beperkingen x 1 +3 x 2 ≤ 18 2 x 1 + x 2 ≤ 16 x 2 ≤ 5 3 x 1 ≤ 21 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	B) F = 4 x 1 +6 x 2 и min Met beperkingen 3 x 1 + x 2 ≥ 9 x 1 +2 x 2 ≥ 8 x 1 + 6x 2 ≥ 12 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0
C) F = 3 x 1 +3 x 2 è max Met beperkingen x 1 + x 2 ≤ 8 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 2 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	D) F = 2 x 1 -3 x 2 и min Met beperkingen x 1 + x 2 ≥ 4 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 1 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

A) x1 = 6 x2 = 4 F = 24

B) x1 = 2 x2 = 3 F = 26

C) x1Î x2 = 8-x1 F = 24

Taak 2 (in de klas voltooien, aan de leraar laten zien)

Beantwoord de vragen cursief.

Opdracht 3 (huiswerk)

Schrijf een programma.

Gegeven een tekstbestand van het formulier

2 3 (coëfficiënten van de doelfunctie)

4 (aantal beperkingen)

2 2 12 (beperkingen)

1 2 8

4 0 16

0 4 12

Construeer rechte lijnen zodat de veelhoek van haalbare oplossingen volledig op het scherm te zien is (voor de definitie van de schaal, zie het boek. Onegov). Rechte lijnen kunnen evenwijdig aan de assen zijn!

Construeer meerdere lijnen van het doelfunctieniveau (druk op de toets - de lijn beweegt, de waarde van de doelfunctie wordt weergegeven). Toon schaal.

De grafische methode is vrij eenvoudig en intuïtief voor het oplossen van lineaire programmeerproblemen met twee variabelen. Het is gebaseerd op geometrisch representatie van haalbare oplossingen en CF van het probleem.

Elk van de ongelijkheden van het lineaire programmeerprobleem (1.2) definieert een bepaald halfvlak op het coördinatenvlak (Fig. 2.1), en het systeem van ongelijkheden als geheel definieert het snijpunt van de corresponderende vlakken. De verzameling snijpunten van deze halve vlakken heet domein van haalbare oplossingen(ODR). SDT vertegenwoordigt altijd convex figuur, d.w.z. die de volgende eigenschap heeft: als twee punten A en B bij deze figuur horen, dan hoort het hele segment AB daarbij. ODR kan grafisch worden weergegeven door een convexe veelhoek, een onbegrensd convex veelhoekig gebied, een segment, een straal of een punt. In het geval van inconsistentie van het systeem van beperkingen voor probleem (1.2), is de ODR een lege verzameling.

Al het bovenstaande is ook van toepassing op het geval waarin het systeem van beperkingen (1.2) gelijkheden omvat, aangezien elke gelijkheid

kan worden weergegeven als een systeem van twee ongelijkheden (zie figuur 2.1)

Bij een vaste waarde definieert de ZF een rechte lijn op het vlak. Als we de waarden van L veranderen, krijgen we een familie van parallelle lijnen, genaamd niveau lijnen.

Dit komt door het feit dat een verandering in de waarde van L alleen een verandering in de lengte van het segment met zich meebrengt dat wordt afgesneden door de horizontale lijn op de as (initiële ordinaat), en de helling van de rechte lijn constant blijft ( zie figuur 2.1). Daarom, om het op te lossen, volstaat het om een ​​​​van de niveaulijnen te bouwen, waarbij willekeurig de waarde van L wordt gekozen.

Een vector met coördinaten van de CF-coëfficiënten op en loodrecht op elk van de niveaulijnen (zie Fig. 2.1). De richting van de vector is hetzelfde als de richting neemt toe CF, wat een belangrijk punt is voor het oplossen van problemen. Richting afnemend CF is tegengesteld aan de richting van de vector.

De essentie van de grafische methode is als volgt. In de richting (tegen de richting in) van de vector in de ODR wordt gezocht naar het optimale punt. Het optimale punt is het punt waardoor de niveaulijn, die overeenkomt met de grootste (kleinste) waarde van de functie, passeert. De optimale oplossing bevindt zich altijd op de rand van de ODR, bijvoorbeeld op het laatste hoekpunt van de ODR-polygoon waar de doellijn doorheen gaat, of op zijn gehele zijde.

Bij het zoeken naar een optimale oplossing voor lineaire programmeerproblemen zijn de volgende situaties mogelijk: er is een unieke oplossing voor het probleem; er is een oneindig aantal oplossingen (alternatief optium); CF is niet beperkt; het gebied van toelaatbare oplossingen is het enige punt; de taak heeft geen oplossingen.

Figuur 2.1 Geometrische interpretatie van beperkingen en CF van het probleem.

Methodologie voor het oplossen van LP-problemen door een grafische methode.

I. Vervang in de beperkingen van probleem (1.2) de tekens van ongelijkheden door tekens van exacte gelijkheden en construeer de bijbehorende lijnen.

II. Zoek en verduister halve vlakken die worden opgelost door elk van de ongelijkheidsbeperkingen van probleem (1.2). Om dit te doen, moet je de coördinaten van een punt [bijvoorbeeld (0; 0)] vervangen door een specifieke ongelijkheid en de waarheid van de resulterende ongelijkheid controleren.

Indien de ongelijkheid is waar,

dan het is noodzakelijk om het halve vlak met het gegeven punt te verduisteren;

anders(de ongelijkheid is onwaar) het is noodzakelijk om het halve vlak dat het gegeven punt niet bevat te verduisteren.

Omdat en niet-negatief moeten zijn, zullen hun toegestane waarden altijd boven de as en rechts van de as liggen, d.w.z. in het I kwadrant.

Gelijkheidsbeperkingen staan ​​alleen die punten toe die op de corresponderende lijn liggen. Daarom is het noodzakelijk om dergelijke rechte lijnen in de grafiek te markeren.

III. Definieer de ODR als een deel van het vlak dat bij alle toegestane gebieden tegelijk hoort, en selecteer het. Bij afwezigheid van een IDT heeft het probleem geen oplossingen.

NS. Als ODR geen lege set is, moet u een doellijn bouwen, d.w.z. een van de niveaulijnen (waarbij L een willekeurig getal is, bijvoorbeeld een veelvoud van en, d.w.z. handig voor het maken van berekeningen). De constructiemethode is vergelijkbaar met de constructie van directe beperkingen.

V. Construeer een vector die begint bij punt (0; 0) en eindigt bij punt. Als de doellijn en de vector correct zijn uitgezet, dan zijn ze: loodrecht.

Vi. Bij het zoeken naar het maximum van de CF, is het noodzakelijk om de doellijn te verplaatsen in de richting vector, bij het zoeken naar het minimum van de CF - tegen de richting in vector. De laatste top van de ODR in de loop van de beweging zal het punt zijn van het maximum of minimum van de CF. Als zo'n punt (punten) niet bestaat, dan kunnen we concluderen dat onbegrensdheid van de CF op de set van plannen van boven (bij het zoeken naar een maximum) of van onder (bij het zoeken naar een minimum).

Vii. Bepaal de coördinaten van het punt max (min) van de CF en bereken de waarde van de CF. Om de coördinaten van het optimale punt te berekenen, is het noodzakelijk om het stelsel vergelijkingen van de rechte lijnen op te lossen, waarvan het snijpunt is.

Grafische methoden worden voornamelijk geassocieerd met de geometrische weergave van functionele afhankelijkheid met behulp van lijnen op een vlak. Grafieken worden gebruikt om snel de waarde van functies te vinden door de corresponderende waarde van het argument, voor een visuele weergave van functionele afhankelijkheden.
Bijna alle soorten grafieken worden gebruikt in economische analyse: vergelijkingsgrafieken, tijdreeksgrafieken, distributiecurves, correlatieveldgrafieken, statistische cartogrammen. Vergelijkingsdiagrammen zijn vooral wijdverbreid in de analyse - voor het vergelijken van gerapporteerde indicatoren met geplande indicatoren, van eerdere perioden en geavanceerde ondernemingen van binnen- of buitenland. Om de dynamiek van economische fenomenen in beeld te brengen (en in de analyse met tijdreeksen heb je heel vaak te maken) worden tijdreeksdiagrammen gebruikt.
Met behulp van een coördinatenraster worden grafieken van afhankelijkheid gemaakt, bijvoorbeeld het kostenniveau van het volume van vervaardigde en verkochte producten. grafieken waarop u correlaties tussen indicatoren kunt weergeven. In het coördinatensysteem toont de afbeelding de invloed van verschillende factoren op een bepaalde indicator.
De grafische methode wordt veel gebruikt om productieprocessen, organisatiestructuren, programmeerprocessen, enz. te bestuderen. Om bijvoorbeeld de efficiëntie van het gebruik van productieapparatuur te analyseren, worden rekengrafieken gebouwd, inclusief grafieken van meerdere factoren.

Legenda: elke cirkel wordt beschouwd als een van de hoekpunten van de grafiek; het nummer in de bovenste sector van elk hoekpunt betekent het serienummer; van de nummers van twee aangrenzende hoekpunten wordt het werkcijfer toegevoegd; het getal in de onderste sector van elk hoekpunt is het volgnummer van het vorige hoekpunt, en de lijn die deze twee hoekpunten verbindt, geeft een bepaald werk aan. Onder de lijn staat de geplande duur van dit werk; de figuur in de linker sector van elk hoekpunt betekent de totale duur van alle voorgaande werken, de figuur in de rechter sector verschilt van de figuur in de linker door de hoeveelheid reserve (tijdreserve). Dus, voor hoekpunten die op het kritieke pad liggen, vallen de getallen in de linker- en rechtersectoren van het hoekpunt samen, aangezien de tijdsmarge 0 is.

In een wiskundig geformaliseerd systeem van analyse, planning en beheer nemen netwerkdiagrammen een bijzondere plaats in. Ze geven een groot economisch effect bij de bouw en installatie van industriële en andere ondernemingen.
Het netwerkdiagram (Fig. 6.1) stelt u in staat om de belangrijkste uit het hele werkcomplex, liggend op het kritieke pad, te markeren en daarop de belangrijkste bronnen van bouw- en installatieorganisaties te concentreren, relaties tot stand te brengen tussen verschillende gespecialiseerde organisaties en te coördineren hun werk. Werken op het kritieke pad vereisen het langst wachten op de volgende gebeurtenis. In de fase van operationele analyse en beheer maakt het netwerkschema het mogelijk om de voortgang van de bouw effectief te volgen, tijdige maatregelen te nemen om mogelijke vertragingen in het werk te elimineren.
Het gebruik van netwerkdiagrammen van analyse, planning en beheer zorgt, zoals vele voorbeelden laten zien, voor een vermindering van de bouwtijd met 20-30%, een toename van de arbeidsproductiviteit met 15-20%.
In de analyse die rechtstreeks op bouwplaatsen wordt uitgevoerd, draagt ​​​​het gebruik van materialen voor netwerkplanning en -beheer bij aan de juiste bepaling van de oorzaken die de voortgang van de bouw beïnvloeden, en de identificatie van ondernemingen die niet zorgen voor de uitvoering van het aan hen toevertrouwde werk of de levering van apparatuur binnen het door de planning vastgestelde tijdsbestek.
De ontwikkeling van een netwerkschema in de bouw wordt uitgevoerd in aanwezigheid van: normen voor de duur van de constructie en de periode van ingebruikname van een object of een complex van objecten, ontwerpschattingen, een project voor het organiseren van constructie en productie van werk, standaard stroomschema's, huidige normen voor arbeidskosten, materialen en machinebediening. Bovendien wordt bij het opstellen van de planning gebruik gemaakt van de ervaring van het uitvoeren van individuele werken, evenals gegevens over de productiebasis van bouw- en installatieorganisaties.
Op basis van al deze gegevens wordt een tabel met werken en middelen samengesteld, met hun kenmerken, volume, arbeidsintensiteit in mandagen, uitvoerder (organisatie en team), aantal werknemers, ploegen, behoefte aan mechanismen en materialen, bronnen van hun ontvangst worden aangegeven in de technologische volgorde van het werk , de totale duur van het werk in dagen, evenals de vorige taak, waarna u met dit werk kunt beginnen. Op basis van de indicatoren van een dergelijke tabel wordt een netwerkschema opgesteld, dat een variërende mate van detail kan hebben, afhankelijk van het aangenomen productieschema.
werkleiderschap en managementniveau; naast het algemene schema ontwikkelen performers een schema voor het werk dat ze uitvoeren.
De belangrijkste elementen van het netwerkschema: gebeurtenis, werk, verwachting, afhankelijkheid.
Bij het analyseren van de voortgang van de constructie van een object moet worden vastgesteld of het netwerkschema correct is opgesteld, of het kritieke pad niet is overschat, of bij het optimaliseren van de planning rekening is gehouden met alle mogelijkheden van reductie , of het mogelijk is om werkzaamheden parallel uit te voeren of de tijd die eraan wordt besteed te verminderen door de middelen voor mechanisering te vergroten, enz. Dit is vooral belangrijk in gevallen waarin de duur van het werk volgens schema niet garandeert dat de bouw op tijd wordt voltooid.
Het belangrijkste materiaal voor netwerkplanning dat in de analyse wordt gebruikt, is informatie over de voortgang van het werk volgens een schema, dat meestal minstens eens per decennium wordt opgesteld. Als voorbeeld wordt een plattegrond van de opgave gegeven en informatie over de voortgang van de werkzaamheden aan een bouwobject, uitgevoerd volgens de netplanning (tabel 6.1). Volgens de kaart werden kritieke werkzaamheden aan het begin van de maand eerder dan gepland uitgevoerd, maar toen was een vertraging in de installatie van kraanbalken in rij B toegestaan, en het daaropvolgende werk - installatie van kraanbalken in rij A - was voltooid met een vertraging van een dag.
Optimalisatie van netwerkschema's wordt uitgevoerd in de planningsfase door het kritieke pad te verminderen, dwz de timing van bouwwerkzaamheden op bepaalde niveaus van middelen te minimaliseren, het verbruik van materiaal, arbeid en financiële middelen te minimaliseren met een vaste timing van bouwwerkzaamheden . Een gemengde benadering is ook mogelijk: voor het ene deel van het werk (duurder) - om het niveau van het verbruik van hulpbronnen op een vast tijdsbestek voor het werk te minimaliseren, voor het andere - om de tijd op een vast niveau van hulpbronnen te minimaliseren.
De oplossing van optimalisatieproblemen wordt enorm vergemakkelijkt door de aanwezigheid van toegepaste softwarepakketten (APP), aangepast aan het samenstellen van optimale netwerkdiagrammen op een computer.
In de buitenlandse praktijk van systeemanalyse is een graaf-wiskundige methode genaamd "beslissingsboom" wijdverbreid. De essentie van deze methode is als volgt.
Door middel van een voorlopige behoefteanalyse, een voorlopige analyse van mogelijke organisatorische, technische of technologische voorwaarden, worden alle voorgestelde opties voor het oplossen van dit probleem geschetst. in eerste instantie ontwikkeld

	Oefening					Informatie				Tijdreserve voor werk		Num e
Naam werken	cijfer	datum begin	datum einde	gepland doorgaan met	Met betrekking tot korrel tijd	% die-	benodigde tijd voor	Bij rang	werkelijke datum	vinden schreeuwen	niet gelokaliseerd	tijdreserve vanaf
	werken	werken (plan)	niya werken (plan)	een burger heid, dagen	mij	terughoudend klaar ness	einde niya werken, dagen	rukken zhki	einde niya werken	op het kritieke pad	een kritiek pad	begin van de maand, dagen
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Bodemontwikkeling	1-2	1 / IV	6 / IV	5	0	100	-	-	6 / IV	¦-	-	-
Betonfunderingen voor ketels	2-3	7 / IV	17 / 1V	9	0	100	14 / IV	2	2
Funderingen betonneren in rij A	2-4	7 / IV	14 / 1V	7	2	100	14 / IV
Hetzelfde voor rij B	2-5	7 / IV	14 / IV	7	2	100	-	-	14 / IV
Leidingapparaat	6-18	18 / IV	21 / IV	4	19	100	-	-	29 / IV	-7
Opvulapparaat	6-7	18 / IV	19 / IV	2	0	100	17 / IV	2	2
Installatie van geprefabriceerd gewapend beton
alleen: op rij B	7-8	20 / IV	22 / IV	3	1	100	-	-	22 / IV	_	-	-
op rij A	7-9	20 / IV	22 / IV	3	1	100	-	-	22 / IV	-	-	-

Aanleg kraanbanen en installatie torenkraan 7-10
Installatie van steunframes op de fundering voor apparatuur 7-16 Installatie van kraanbalken:
op rij B 8-11
20 / IV 24 / IV 4
20 / IV 24 / IV 4
24 / IV 25 / IV 2

op een rij A 10-12 25 / IV 26 / IV
Installatie van het eerste deel van balken en dakplaten 12-13 27 / IV 4 / V
Installatie van kraanbanen lt; 3 kranen 12-14 27 / IV 3 / V

6	7	8	9	10	11	12	13
0	100	-	-	22 / IV	1	-	1
14	100.	-	-	29 / IV	-	-5	-
1	100	per-	27 / IV	-2

27 / IV -1
ondersteuning bij levering van gewapende betonconstructies

1. 100 -

vergrote opties. Vervolgens worden, naarmate er aanvullende voorwaarden worden ingevoerd, elk daarvan onderverdeeld in een aantal opties. Door de grafische weergave van deze opties kunt u de minder winstgevende uitsluiten en de meest acceptabele kiezen.
Deze methode kan in ons bedrijf worden gebruikt bij het bepalen van de volgorde van bewerking van bepaalde onderdelen op meerdere machines om de totale bewerkingstijd te minimaliseren; bij het bepalen van de omvang van middelen om de totale productiekosten te minimaliseren; bij het verdelen van kapitaalinvesteringen en andere middelen voor industriële installaties; bij het oplossen van transport- en andere problemen.

Grafische afbeeldingen zijn een belangrijke methode voor wetenschappelijke analyse van statistisch materiaal. De eerste pogingen om grafische methoden te gebruiken in economisch onderzoek begonnen in de jaren 1780. De grafische methode kreeg later echter een bredere toepassing - in het midden van de 18e eeuw, vooral na het rapport van de vertegenwoordiger van het Berlijnse bureau voor de statistiek Schwabe "Theorie van grafische afbeeldingen" op het 8e Internationale Statistische Congres (Petersburg, 1872) voor de eerste keer in de geschiedenis van de statistiek. Volgens de bekende uitdrukking van de Duitse natuurkundige F. Auerbach, XX eeuw. werd gekenmerkt door "het triomfantelijke tempo van de grafische methode in de wetenschap."

Wat is een grafiek? Een grafiek is een vorm van visuele presentatie van statistische gegevens over sociaal-economische verschijnselen en processen door middel van geometrische afbeeldingen, tekeningen of schematische geografische kaarten en verklaringen daarvoor.

De grafiek heeft vijf hoofdelementen van de algemene structuur: het veld, het coördinatenraster, grafische symbolen en hun plaatsing in het grafiekveld, schaal en uitleg (Fig. 10.3).

Rijst. 10.3. Belangrijkste elementen van de grafiek

Elk van deze elementen heeft zijn eigen doel en speelt een overeenkomstige rol in constructie en interpretatie. Het grafiekveld is de ruimte waarin geometrische en andere tekens worden geplaatst die het grafische beeld vormen.

Een grafische afbeelding is een verzameling van verschillende symbolische tekens met behulp waarvan statistische gegevens worden weergegeven. Deze tekens kunnen worden afgebeeld in vormen: lijnen, punten, geometrische, grafische en soms niet-geometrische vormen.

Een coördinatenraster is een rechthoekig coördinatensysteem waarin de tijd is uitgezet op de abscis en schaalaanduidingen op de ordinaat-as.

Schaal is een voorwaardelijke maat voor het omzetten van een numerieke waarde van een statistisch fenomeen in een grafische en vice versa. Het dient om de numerieke waarden in te stellen van de verschijnselen die in de grafiek worden uitgedrukt.

Grafiekuitleg is een mondelinge uitleg van de specifieke inhoud ervan, die meestal het volgende omvat:

1) een kopje met de nodige aanvullende toelichtingen;

2) een nauwkeurige uitleg van de essentie wordt conventioneel in deze afbeelding gegeven aan zijn grafische tekens (geometrisch, grafisch, achtergrond, puur conventioneel)

3) andere uitleg, opmerkingen, enz.

Bovendien kan enige aanvullende informatie op het grafiekveld worden toegepast, bijvoorbeeld numerieke gegevens die sommige grafische karakters beïnvloeden en in digitale vorm hun exacte grafisch uitgedrukte waarden reproduceren.

Grafieken spelen een bijzonder belangrijke rol in de studie van complexe relaties van sociaal-economische fenomenen en processen, het identificeren van trends, patronen en veranderingen in dynamische indicatoren, evenals in de huidige analyse. De belangrijkste verschillen en voordelen van de grafische methode in vergelijking met andere zijn: betere duidelijkheid; het vermogen om in het algemeen de gegevens van de bestudeerde te dekken; het vermogen om bepaalde analytische afhankelijkheden uit te drukken die niet erg duidelijk en moeilijk te identificeren zijn op andere manieren om gegevens te presenteren.

Met behulp van planningen voert u operationele controle uit over productie, verkoop van producten, nakoming van contractuele verplichtingen en toegewezen taken. Zo worden de schema's toegewezen:

Gegevens samenvatten en analyseren;

Afbeelding van gegevensdistributie;

Onthulling van de ontwikkelingspatronen van de bestudeerde fenomenen en processen in de dynamiek;

Reflectie van de relatie van indicatoren;

Controle over productie, uitvoering van contracten voor de verkoop van producten en dergelijke.

Er zijn verschillende classificaties van grafieken - volgens de vorm van grafische afbeeldingen, volgens de inhoud, de aard van de toegewezen taken.

De volgende soorten grafieken onderscheiden zich door de vorm van de grafische afbeeldingen:

1) punt;

2) lineair;

3) vlak;

4) volumetrisch;

5) artistiek (picturaal, conventioneel).

In spreidingsplots wordt het volume van de populatie uitgedrukt als een enkel punt of als een opeenstapeling van punten. Eén punt kan één gebeurtenis of meerdere vertegenwoordigen (bijvoorbeeld één fabriek, 500 werknemers).

Lijngrafieken bestaan ​​uit enkele lijnen: rechte lijnsegmenten, onderbroken lijnen, getrapte, vloeiende krommen (voornamelijk om de dynamiek van de populatie over te brengen). Vaak worden rechte lijnsegmenten vervangen door stroken van dezelfde breedte, die ook als grafische tekens fungeren, maar in één dimensie (lengte). In dergelijke gevallen worden grafieken staafgrafieken genoemd als de strepen verticaal zijn geplaatst, of lintgrafieken als de strepen horizontaal zijn.

De kolomdiagrammen zijn op hun beurt onderverdeeld in een kolomdiagram: eenvoudig en solide, uit groepen van staven, enz. de "leeftijdspiramide" van de bevolkingssamenstelling) ...

Speciale soorten lijngrafieken zijn onder meer spiraal (voor verschijnselen die zich oneindig in de tijd en in toenemende omvang ontwikkelen), radiale diagrammen (voor het weergeven van patronen van periodiek herhalende verschijnselen, hun ritme, seizoensgebondenheid).

Vlakplots zijn plots van twee dimensies in de vorm van vlakken met verschillende geometrische vormen. Afhankelijk hiervan kunnen ze vierkant, cirkelvormig, sector zijn. Het is raadzaam om deze grafieken te gebruiken om de verschijnselen te vergelijken die worden weergegeven door absolute en relatieve waarden.

Belangrijke kenmerken van vlakke plots zijn het tweedimensionale "Varzar-teken", de strip- of streamingkaart en de balanskaart.

Het tweedimensionale "teken van Varzar" (genoemd naar zijn uitvinder, de Russische statisticus VE Varzar) is een rechthoek met basis a en hoogte b en oppervlakte Sab, wat handig is voor het grafisch uitdrukken van vrij frequente vergelijkbare verhoudingen van drie grootheden a, door S .

Het strip- of stroomdiagram wordt gebruikt om het volume en de samenstelling van het vrachtverkeer tussen twee punten in de ene en de tweede richting schematisch weer te geven.

Een balanskaart is een tweezijdige strookkaart, waarvan de linten zich in twee richtingen vertakken in smallere stroken, waarbij hun breedte de overeenkomstige waarden uitdrukt van posten van baten en lasten, posten van activa en passiva, en dergelijke.

Volumetrische - 3D-afbeeldingen die zelden worden gebruikt omdat ze minder expressief zijn dan lineaire en vlakke.

Artistiek (picturaal, conventioneel) - grafieken met conventionele grafische tekens die het aggregaat of zijn individuele betekenissen weerspiegelen in de vorm van menselijke figuren, dierlijke contouren, schematische tekeningen van objecten, enz.

De classificatie van grafieken naar hun inhoud is van groot belang. Met dit in gedachten zijn grafieken verdeeld in twee klassen: grafieken en statistische kaarten.

Een diagram is een grafische weergave van de volumes en kenmerken van een of meer aggregaten met behulp van kwantitatieve grafische tekens (geometrisch, artistiek, achtergrond, puur conventioneel).

Het diagram geeft echter geen grafische weergave van de territoriale verdeling van de afgebeelde aggregaten of de territoriale verandering in hun kenmerken. Hiervoor worden statistische kaarten gebruikt om de territoriale verspreiding van populaties of de territoriale verandering van hun kenmerken weer te geven. Ze zijn onderverdeeld in twee klassen - cartogrammen en cartodiagrammen.

Cartogrammen zijn geografische contourkaarten waarop de kwantitatieve territoriale kenmerken van de bevolking worden weergegeven met behulp van grafische tekens.

Cartografische diagrammen zijn geografische contourkaarten, waarop afzonderlijke gebieden (regio's, punten) van het territorium zijn uitgezet met hetzelfde type diagram (een of meerdere), die het volume en de territoriale kenmerken van hetzelfde type aggregaten in deze gebieden weergeven. Zo worden bijvoorbeeld de goederenstromen van passagiers, de bevolking, migraties en dergelijke in beeld gebracht.

Grafieken en statistische kaarten voeren zulke belangrijke taken uit bij populatieverkenning:

Algemene vergelijkingen tussen hen;

Studie van de structuur;

Studie van dynamiek;

Studie van de relatie van hun tekens;

Meting van de mate van uitvoering van economische plannen, contractuele verplichtingen in planning en economische praktijk.

Op hun beurt zijn zowel diagrammen als cartogrammen, afhankelijk van hun doel, onderverdeeld in subklassen, groepen en vormen (tabel 10.27).

Bij het maken van grafieken moeten de volgende vereisten in acht worden genomen:

1) vertrouwen op betrouwbare numerieke gegevens;

2) afbeeldingen moeten betekenisvol zijn qua ontwerp en interessant qua inhoud;

3) moet worden gebouwd in overeenstemming met de toegewezen taken en hun praktische doel;

4) uiterst zuinig zijn - een maximum aan informatie bevatten, ideeën met een minimum aan middelen voor hun grafische expressie, eenvoudig, duidelijk, begrijpelijk;

5) technisch goed uitgevoerd.

Laten we in meer detail de belangrijkste soorten en vormen van diagrammen en statistische kaarten bekijken die het vaakst worden gebruikt in de praktijk van analytisch werk.

Een lijndiagram is een van de meest voorkomende soorten grafieken die dienen om de dynamiek van de bestudeerde verschijnselen weer te geven. Voor de constructie wordt een rechthoekig coördinatensysteem gebruikt. Gelijke intervallen worden uitgezet op de abscis - perioden (dagen, maanden, jaren, enz.), En op de ordinaat - wordt een schaal aangenomen die de meeteenheden kenmerkt. Op het coördinatenveld worden punten aangebracht, gelijk aan de waarde van de indicator voor een bepaalde periode. Vervolgens worden alle punten verbonden door rechte lijnen, waardoor een onderbroken lijn wordt verkregen, die de verandering in het bestudeerde fenomeen gedurende een bepaalde periode kenmerkt (Tabel 10.28, Fig. 10.4).

	subklasse		Rassen en grafische vorm, het vaakst gevonden
diagrammen	I. Algemene vergelijkingsgrafieken	1.homogene aggregaten	Kolom, tape, artistiek
		2. Ongelijke populaties	Kolom, tape, vlak
	II. Structuurdiagrammen	1. Diagrammen van bevolkingsverdeling	Veelhoek, histogram, cumulatief, ogive, distributiecurve, Lorentz-grafiek, correlatieveld
		2. Diagrammen voor groepen	Grafieken van staven, banden, onderverdeeld in absolute of procentuele delen, cirkeldiagrammen, balanstabellen, "leeftijdspiramide", enz.
	III. Dynamiek diagrammen	1. Diagrammen van dynamiek van volumes	Kolom-, lineaire, cumulatieve, spiraal-, kunstgrafieken
		2. Diagrammen van structuurdynamiek	Staafdiagrammen met procentuele verdelingen, in cirkels met verdeling in sectoren, enz.
		3. Seizoenskaarten	Lineaire, staaf-, radiale grafieken
	NS. diagrammen onderlinge verbindingen tekens	1. Constellatieconfiguratiediagrammen	Spot, achtergrond
		2. Communicatievormdiagrammen:	Gebroken of vloeiende rondingen
		3. Schema's van de mate van dichtheid van communicatie	Gesloten contouren van het correlatieveld in de vorm van getrapte onderbroken lijnen of elliptische krommen, enz.
	V. Diagrammen van uitvoering van plannen	1. Diagrammen van huidige uitvoering	Lijndiagrammen, Gantt-diagrammen
		2. Voortgangsgrafieken vanaf het begin van de periode	Cumuleert, cumulatieve Gantt-diagrammen, Lorentz-diagrammen
Statistische kaarten	Vi. Cartogrammen	1. Cartogrammen van toewijzing van bevolkingseenheden	Puntencartogrammen
		2. Cartogrammen van plaatsing van het totale aantal tekens	Puntencartogrammen
		3. Cartogrammen van veranderingen in samenvattende kenmerken	Punt, achtergrondcartogrammen
		4. Isolijnen-cartogrammen	Lineaire cartogrammen
		5. Centrogrammen	Puntencartogrammen

Tabel 10.28. Investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in 2000-2005 pp., In werkelijke prijzen, UAH miljoen

De grafiekgegevens geven aan dat het volume van investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in werkelijke prijzen groeide van 2000 tot 2005

Rijst. 10.4. Dynamiek van het volume van investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in 2000-2005, in werkelijke prijzen, UAH miljoen

Lineaire grafieken worden gebouwd op een speciaal ontworpen raster, waar tijdseenheden horizontaal worden gelegd en onderzoeksobjecten verticaal worden geplaatst. Bovendien komt elk horizontaal segment overeen met 100% vervulling van de geplande taak. Deze segmenten zijn verdeeld in 5 gelijke delen, die elk overeenkomen met 20% van de geplande doelstelling.

De mate van uitvoering van het plan in de grafiek wordt weergegeven door twee lijnen: een dunne stippellijn - per tijdseenheid (dag, decennium) en een dikke vette lijn - voor de verslagperiode als geheel.

Laten we eens kijken naar de procedure voor het construeren van een schema met geplande regels aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld. Bouw een lineair schema op voor de uitvoering van de geplande taak door een team van arbeiders van bouw- en installatiewerken, met behulp van de gegevens in de tabel. 10.29.

Tabel 10.29. Uitvoering van de geplande taak door een team van arbeiders van bouw- en installatiewerken

Het schema voor de uitvoering van de geplande taak door een team van bouwers voor constructie- en installatiewerkzaamheden wordt getoond in Fig. 10.5.

De dunne ononderbroken lijn van de eerste dag komt overeen met 90% van het plan en beslaat vier en een halve cel, en de lijn van de tweede dag - 80% en beslaat vier cellen, de derde daglijn strekt zich precies vijf uit, en de vierde - vijf cellen (100%) plus een extra het segment eronder, dat 20% in beslag neemt, enz.

Cumulatieve weergave van het planuitvoeringsniveau vereist enkele aanvullende berekeningen. Dus op de eerste dag zal een ononderbroken dikke lijn zo lang zijn als een dunne ononderbroken lijn - 90% en vier en een halve cel nodig hebben. Verder moeten de volgende berekeningen worden gemaakt: in twee dagen is 513 m2 (225 + 288) daadwerkelijk gerealiseerd. Van dit bedrag wordt 250 m 2 bijgeschreven op de uitvoering van het plan voor de eerste dag. Dan is er vanwege de tweede dag 263 m 2, wat volgens de planning voor deze dag 91% is (263 288).

Volgens de vette lijn beslaat vijf cellen op de eerste dag en 91% op de tweede. In drie dagen werd 923 m2 (225 + 288 + 410) daadwerkelijk opgeleverd. 610 m 2 wordt geregistreerd voor de uitvoering van het plan voor de eerste twee dagen en 313 m 2 voor de derde dag, wat volgens het plan voor deze dag 76% is (313: 410). De vetgedrukte lijn beslaat 5 cellen op de eerste en tweede dag en 76% op de derde. Alle verdere berekeningen worden op dezelfde manier uitgevoerd. De mate van vervulling van het plan voor elke dag op de vetgedrukte lijn wordt aangegeven met stippen.

Staafdiagram- een veel voorkomend type grafieken in één dimensie vanwege hun duidelijkheid en eenvoud. Statistische gegevens daarin worden weergegeven in de vorm van rechthoeken van dezelfde breedte, verticaal geplaatst langs een horizontale lijn (Fig. 10.6).

De hoogte van de staven moet overeenkomen met de omvang van de afgebeelde verschijnselen. Als de staven horizontaal worden geplaatst, wordt zo'n diagram een ​​stripdiagram genoemd (Figuur 10.7).

Met kolom- en stripgrafieken kunt u waarden van verschillende waarden vergelijken, om hetzelfde fenomeen in de dynamiek te karakteriseren; karakteriseren het geheel.

Cirkeldiagrammen (of taartdiagrammen) - diagrammen die zijn ontworpen om de structuur van de bestudeerde verschijnselen en processen weer te geven. Ze zijn afgebeeld in de vorm van een cirkel verdeeld in sectoren, waarvan de waarden overeenkomen met de afmetingen van de afgebeelde verschijnselen (Fig. 10.8).

Zoals te zien is in de grafiek (Fig. 10.8), zijn bankleningen (80,9%) de belangrijkste financieringsbron voor leasingactiviteiten in Oekraïne (16,1%). De geleende gelden van rechtspersonen bedragen slechts 3,6%.

Rijst. 10.6. Dynamiek van het volume van investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in 2000-2005 pp. In werkelijke prijzen, UAH miljoen

Rijst. 10.7. Dynamiek van het volume van investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in 2000-2005 pp. In werkelijke prijzen, UAH miljoen

In moderne omstandigheden van ontwikkeling van informatie- en computersystemen, werd het mogelijk om grafieken te bouwen met behulp van softwarepakketten, waaronder spreadsheets EXCEL, "Statistica-6", enz. Ze zijn handig in gebruik en vereenvoudigen dit werk aanzienlijk.

Rijst. 10.8. Structuur van financieringsbronnen voor leasingactiviteiten in Oekraïne begin 2005 p.,%

Als er slechts twee variabelen zijn in een lineair programmeerprobleem, dan kan het grafisch worden opgelost.

Beschouw een lineair programmeerprobleem met twee variabelen en:
(1.1) ;
(1.2)
Hier zijn er willekeurige getallen. De taak kan zowel zijn om het maximum (max) als het minimum (min) te vinden. In het systeem van beperkingen kunnen zowel tekens als tekens aanwezig zijn.

Bouw van de regio van haalbare oplossingen

De grafische methode voor het oplossen van probleem (1) is als volgt.
Eerst tekenen we de coördinaatassen en selecteren we de schaal. Elk van de ongelijkheden van het systeem van beperkingen (1.2) definieert een halfvlak begrensd door de overeenkomstige lijn.

Dus de eerste ongelijkheid
(1.2.1)
definieert een halfvlak begrensd door een rechte lijn. Aan de ene kant van deze rechte lijn, en aan de andere kant. Op de meest rechte lijn. Om erachter te komen aan welke kant ongelijkheid (1.2.1) geldt, kiezen we een willekeurig punt dat niet op een rechte lijn ligt. Vervolgens vervangen we de coördinaten van dit punt in (1.2.1). Als de ongelijkheid geldt, dan bevat het halve vlak het geselecteerde punt. Als niet aan de ongelijkheid is voldaan, bevindt het halve vlak zich aan de andere kant (bevat niet het geselecteerde punt). Schaduw van het halve vlak waarvoor ongelijkheid (1.2.1) geldt.

Hetzelfde doen we voor de overige ongelijkheden van systeem (1.2). Dit geeft ons de gearceerde halve vlakken. De punten van het gebied van haalbare oplossingen voldoen aan alle ongelijkheden (1.2). Daarom is grafisch het gebied van haalbare oplossingen (ADS) het snijpunt van alle geconstrueerde halve vlakken. ODT in de schaduw stellen. Het is een convexe veelhoek waarvan de vlakken behoren tot de geconstrueerde rechte lijnen. ODR kan ook een onbegrensde convexe vorm, lijnsegment, straal of rechte lijn zijn.

Het kan voorkomen dat de halve vlakken geen gemeenschappelijke punten bevatten. Dan is het domein van haalbare oplossingen de lege verzameling. Dit probleem heeft geen oplossingen.

De methode kan worden vereenvoudigd. Je hoeft niet elk halfvlak te verduisteren, maar bouw eerst alle rechte lijnen
(2)
Selecteer vervolgens een willekeurig punt dat niet tot een van deze lijnen behoort. Vervang de coördinaten van dit punt in het systeem van ongelijkheden (1.2). Als aan alle ongelijkheden is voldaan, wordt het gebied van haalbare oplossingen beperkt door de geconstrueerde rechte lijnen en omvat het het geselecteerde punt. We verduisteren het gebied van haalbare oplossingen langs de grenzen van de rechte lijnen, zodat het het geselecteerde punt omvat.

Als ten minste één ongelijkheid niet wordt bevredigd, kiezen we een ander punt. En zo verder, totdat er één punt is gevonden waarvan de coördinaten voldoen aan systeem (1.2).

Het uiterste van de objectieve functie vinden

We hebben dus het gearceerde gebied van haalbare oplossingen (ODS). Het wordt begrensd door een polylijn die bestaat uit segmenten en stralen die behoren tot de geconstrueerde rechte lijnen (2). ODR is altijd een convexe verzameling. Het kan een begrensde verzameling zijn of niet begrensd langs sommige richtingen.

Nu kunnen we zoeken naar het uiterste van de objectieve functie
(1.1) .

Kies hiervoor een willekeurig getal en bouw een rechte lijn
(3) .
Voor het gemak van verdere presentatie nemen we aan dat deze lijn door de ODR gaat. Op deze lijn is de doelfunctie constant en gelijk. zo'n rechte lijn wordt een functieniveaulijn genoemd. Deze rechte lijn verdeelt het vlak in twee halve vlakken. Op een half-vlak
.
Op het andere halfvlak
.
Dat wil zeggen, aan één kant van de rechte lijn (3) neemt de doelfunctie toe. En hoe verder we het punt van de rechte lijn (3) verwijderen, hoe groter de waarde zal zijn. Aan de andere kant van de rechte lijn (3) neemt de doelfunctie af. En hoe verder we het punt van de rechte lijn (3) naar de andere kant verplaatsen, hoe lager de waarde zal zijn. Trekken we een rechte lijn evenwijdig aan de rechte (3), dan wordt de nieuwe rechte ook de lijn van het objectieve functieniveau, maar met een andere waarde.

Om de maximale waarde van de doelfunctie te vinden, is het dus noodzakelijk om een ​​rechte lijn te tekenen evenwijdig aan de rechte lijn (3), het verst verwijderd ervan in de richting van toenemende waarden, en door ten minste één punt te gaan van de ODR. Om de minimumwaarde van de doelfunctie te vinden, is het noodzakelijk om een ​​rechte lijn te trekken evenwijdig aan de rechte lijn (3) en het verst verwijderd ervan in de richting van afnemende waarden, en door ten minste één punt van de ODR te gaan.

Als de DDR onbegrensd is, kan er een geval ontstaan ​​waarin zo'n rechte lijn niet kan worden getrokken. Dat wil zeggen, hoe we de rechte lijn ook verwijderen van de niveaulijn (3) in de richting van toenemend (afnemend), de rechte lijn zal altijd door de ODR gaan. In dit geval kan het willekeurig groot (klein) zijn. Er is dus geen maximale (minimale) waarde. Het probleem kent geen oplossingen.

Beschouw het geval wanneer een extreme rechte lijn evenwijdig aan een willekeurige rechte lijn van de vorm (3) door één hoekpunt van de ODR-polygoon gaat. Uit de grafiek bepalen we de coördinaten van dit hoekpunt. Vervolgens wordt de maximale (minimale) waarde van de doelfunctie bepaald door de formule:
.
De oplossing voor het probleem is:
.

Er kan ook een geval zijn waarin een rechte lijn evenwijdig is aan een van de vlakken van de ODR. Vervolgens gaat de lijn door twee hoekpunten van de ODR-polygoon. Bepaal de coördinaten van deze hoekpunten. Om de maximale (minimale) waarde van de doelfunctie te bepalen, kunt u de coördinaten van elk van deze hoekpunten gebruiken:
.
Het probleem heeft oneindig veel oplossingen. De oplossing is elk punt op het segment tussen de punten en, inclusief de punten en zichzelf.

Een voorbeeld van het oplossen van een lineair programmeerprobleem met behulp van een grafische methode

De taak

Het bedrijf produceert jurken van twee modellen A en B. In dit geval worden drie soorten stof gebruikt. De productie van één jurk van model A vereist 2 m van het eerste type stof, 1 m van het tweede type stof en 2 m van het derde type stof. De productie van één jurk van model B vereist 3 m van het eerste type stof, 1 m van het tweede type stof, 2 m van het derde type stof. De reserves van het eerste type stof zijn 21 m, het tweede type - 10 m, het derde type - 16 m. De release van één type A-product levert een inkomen op van 400 den. eenheden, een product van het type B - 300 den. eenheden

Stel een productieplan op waarmee het bedrijf het hoogste inkomen krijgt. Los het probleem grafisch op.

Oplossing

Laat de variabelen en geef het aantal geproduceerde jurken van respectievelijk model A en B aan. Dan is de hoeveelheid verbruikte stof van het eerste type:
(m)
De hoeveelheid verbruikte stof van het tweede type is:
(m)
De hoeveelheid verbruikte stof van het derde type is:
(m)
Aangezien het aantal geproduceerde jurken niet negatief kan zijn, dan
en .
Het inkomen van de geproduceerde jurken zal zijn:
(monetaire eenheden)

Dan heeft het economische en wiskundige model van het probleem de vorm:

We lossen het grafisch op.
We tekenen de coördinaatassen en.

We bouwen een rechte lijn.
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (0; 7) en (10.5; 0).

We bouwen een rechte lijn.
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (0; 10) en (10; 0).

We bouwen een rechte lijn.
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (0; 8) en (8; 0).

Het gebied in de schaduw stellen zodat punt (2; 2) in het gearceerde gedeelte valt. We krijgen een vierhoek OABC.

(A1.1) .
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (0; 4) en (3; 0).

Verder merken we op dat, aangezien de coëfficiënten bij en van de objectieve functie positief zijn (400 en 300), deze toeneemt met toenemende en. We trekken een rechte lijn evenwijdig aan de rechte lijn (A1.1), het verst verwijderd ervan in stijgende richting, en door ten minste één punt van de vierhoek OABC. Zo'n rechte lijn gaat door punt C. Uit de constructie bepalen we de coördinaten.
.

De oplossing van het probleem: ;

Antwoord geven

.
Dat wil zeggen, om het hoogste inkomen te verkrijgen, is het noodzakelijk om 8 jurken van model A te maken. In dit geval is het inkomen 3200 den. eenheden

Voorbeeld 2

De taak

Los een lineair programmeerprobleem op met een grafische methode.

Oplossing

We lossen het grafisch op.
We tekenen de coördinaatassen en.

We bouwen een rechte lijn.
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (0; 6) en (6; 0).

We bouwen een rechte lijn.
Vanaf hier.
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (3; 0) en (7; 2).

We bouwen een rechte lijn.
We bouwen een rechte lijn (abscisas).

Het gebied van haalbare oplossingen (ODD) wordt beperkt door de geconstrueerde rechte lijnen. Om erachter te komen van welke kant, merken we op dat het punt tot de ODR behoort, omdat het voldoet aan het systeem van ongelijkheden:

We verduisteren het gebied langs de grenzen van de geconstrueerde lijnen zodat het punt (4; 1) in het gearceerde deel valt. We krijgen een driehoek ABC.

We bouwen een willekeurige lijn van het objectieve functieniveau, bijvoorbeeld
.
Bij .
Bij .
We trekken een rechte lijn van het niveau door de punten (0; 6) en (4; 0).
Omdat de doelfunctie toeneemt met toenemende en, dan trekken we een rechte lijn, evenwijdig aan de waterpaslijn en zo ver mogelijk daarvan in de richting van toenemend, en die door ten minste één punt van de driehoek ABC gaat. Zo'n rechte lijn gaat door punt C. Uit de constructie bepalen we de coördinaten.
.

De oplossing van het probleem: ;

Antwoord geven

Een voorbeeld van geen oplossing

De taak

Los een lineair programmeerprobleem grafisch op. Zoek de maximale en minimale waarde van de doelfunctie.

Oplossing

We lossen het probleem grafisch op.
We tekenen de coördinaatassen en.

We bouwen een rechte lijn.
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (0; 8) en (2.667; 0).

We bouwen een rechte lijn.
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (0; 3) en (6; 0).

We bouwen een rechte lijn.
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (3; 0) en (6; 3).

Rechte lijnen zijn de coördinaatassen.

Het gebied van toelaatbare oplossingen (ODS) wordt beperkt door de geconstrueerde rechte lijnen en coördinaatassen. Om erachter te komen van welke kant, merken we op dat het punt tot de ODR behoort, omdat het voldoet aan het systeem van ongelijkheden:

We verduisteren het gebied zodat het punt (3; 3) in het gearceerde gedeelte valt. We krijgen een onbegrensd gebied begrensd door de polylijn ABCDE.

We bouwen een willekeurige lijn van het objectieve functieniveau, bijvoorbeeld
(A3.1) .
Bij .
Bij .
Trek een rechte lijn door de punten (0; 7) en (7; 0).
Omdat de coëfficiënten op en positief zijn, neemt deze toe met toenemende en.

Om het maximum te vinden, moet je een evenwijdige rechte lijn trekken die in stijgende richting maximaal ver weg is, en door minstens één punt van het gebied ABCDE gaat. Omdat het gebied echter niet begrensd is vanaf de kant van grote waarden van en, kan zo'n rechte lijn niet worden getrokken. Welke rechte lijn we ook tekenen, er zullen altijd punten in de regio zijn die verder weg liggen in de richting van toenemende en. Er is dus geen maximum. willekeurig groot kan worden gemaakt.

We zijn op zoek naar een minimum. We trekken een rechte lijn evenwijdig aan de rechte lijn (A3.1) en het verst ervan verwijderd in de richting van afnemend, en die door ten minste één punt van het gebied ABCDE gaat. Zo'n rechte lijn gaat door punt C. Uit de constructie bepalen we de coördinaten.
.
Minimale objectieve functiewaarde:

Antwoord geven

Er is geen maximale waarde.
Minimale waarde
.