Simpel gezegd, dit zijn groenten gekookt in water volgens een speciaal recept. Ik zal twee initiële componenten (groentesalade en water) en het eindresultaat - borsjt, overwegen. Geometrisch kan dit worden gezien als een rechthoek waarvan de ene kant sla voorstelt en de andere kant water. De som van deze twee zijden zal borsjt vertegenwoordigen. De diagonaal en oppervlakte van zo'n "borsjt"-rechthoek zijn puur wiskundige concepten en worden nooit gebruikt in borsjtrecepten.

In wiskundeboeken vind je niets over lineaire hoekfuncties. Maar zonder hen kan er geen wiskunde zijn. De wetten van de wiskunde werken, net als de natuurwetten, ongeacht of we van hun bestaan ​​af weten of niet.

Lineaire hoekfuncties zijn optelwetten. Zie hoe algebra in geometrie verandert en geometrie in trigonometrie.

Kunnen lineaire hoekfuncties worden weggelaten? Dat kan, want wiskundigen doen het nog steeds zonder hen. De truc van wiskundigen is dat ze ons altijd alleen vertellen over die problemen die ze zelf kunnen oplossen, en nooit praten over die problemen die ze niet kunnen oplossen. Kijk. Als we het resultaat van optellen en één term kennen, gebruiken we aftrekken om de andere term te vinden. Alles. We kennen geen andere taken en kunnen ze ook niet oplossen. Wat te doen als we alleen het resultaat van de optelling kennen en niet beide termen? In dit geval moet het resultaat van de optelling worden ontleed in twee termen met behulp van lineaire hoekfuncties. Dan kiezen we zelf wat één term kan zijn, en de lineaire hoekfuncties laten zien wat de tweede term zou moeten zijn zodat het resultaat van de optelling precies is wat we nodig hebben. Er kan een oneindig aantal van dergelijke termenparen zijn. In het dagelijks leven redden we het perfect zonder de ontleding van de som, aftrekken is genoeg voor ons. Maar bij wetenschappelijk onderzoek van de natuurwetten kan de ontleding van de som in termen heel nuttig zijn.

Een andere optelwet, waar wiskundigen niet graag over praten (nog een trucje van hen), vereist dat de termen dezelfde meeteenheden hebben. Voor salade, water en borsjt kunnen dit gewichts-, volume-, waarde- of maateenheden zijn.

De afbeelding toont twee niveaus van verschil voor wiskunde. Het eerste niveau zijn de verschillen op het gebied van getallen, die worden aangegeven een, B, C... Dit is wat wiskundigen doen. Het tweede niveau zijn de verschillen op het gebied van meeteenheden, die worden weergegeven tussen vierkante haken en aangegeven met de letter jij... Dit is wat natuurkundigen doen. We kunnen het derde niveau begrijpen - verschillen op het gebied van de beschreven objecten. Verschillende objecten kunnen hetzelfde aantal identieke maateenheden hebben. Hoe belangrijk dit is, kunnen we zien aan het voorbeeld van de borsjt-driehoeksmeting. Als we subscripts toevoegen aan dezelfde aanduiding van meeteenheden van verschillende objecten, kunnen we precies zeggen welke wiskundige waarde een bepaald object beschrijft en hoe het in de loop van de tijd of in verband met onze acties verandert. Per brief W Ik zal water aanduiden, met de letter S Ik zal de salade en de letter aanwijzen B- Borsch. Dit is hoe de lineaire hoekfuncties voor borsch eruit zouden zien.

Als we een deel van het water en een deel van de salade nemen, worden ze samen één portie borsjt. Hier stel ik voor dat je een pauze neemt van de borsjt en je je verre jeugd herinnert. Weet je nog hoe we geleerd hebben om konijntjes en eenden bij elkaar te zetten? Het was nodig om uit te vinden hoeveel dieren er zouden zijn. Wat is ons dan geleerd om te doen? We hebben geleerd eenheden van getallen te scheiden en getallen op te tellen. Ja, elk nummer kan aan elk ander nummer worden toegevoegd. Dit is een directe weg naar het autisme van de moderne wiskunde - we begrijpen niet wat, het is niet duidelijk waarom, en we begrijpen heel slecht hoe dit zich verhoudt tot de realiteit, vanwege de drie niveaus van verschil, werkt wiskunde er maar één. Het zou correcter zijn om te leren hoe u van de ene meeteenheid naar de andere kunt overschakelen.

En konijntjes, eenden en dieren kunnen in stukjes worden geteld. Eén gemeenschappelijke maateenheid voor verschillende objecten stelt ons in staat om ze bij elkaar op te tellen. Dit is een kinderachtige versie van het probleem. Laten we eens kijken naar een soortgelijk probleem voor volwassenen. Wat gebeurt er als je konijntjes en geld toevoegt? Er zijn hier twee mogelijke oplossingen.

Eerste optie... We bepalen de marktwaarde van de konijntjes en tellen deze op bij het beschikbare geldbedrag. We kregen de totale waarde van ons vermogen in geld uitgedrukt.

Tweede optie... U kunt het aantal konijntjes optellen bij het aantal bankbiljetten dat we hebben. Wij ontvangen het aantal roerende zaken in stukken.

Zoals u kunt zien, kunt u met dezelfde optellingswet verschillende resultaten krijgen. Het hangt allemaal af van wat we precies willen weten.

Maar terug naar onze borsjt. Nu kunnen we zien wat er zal gebeuren voor verschillende waarden van de hoek van de lineaire hoekfuncties.

De hoek is nul. We hebben salade, maar geen water. We kunnen geen borsjt koken. De hoeveelheid borsjt is ook nul. Dit betekent helemaal niet dat nul borsjt gelijk is aan nul water. Zero borsjt kan op nul salade zijn (rechte hoek).

Voor mij persoonlijk is dit het belangrijkste wiskundige bewijs van het feit dat. Nul verandert het nummer niet wanneer het wordt toegevoegd. Dit komt omdat de optelling zelf onmogelijk is als er maar één term is en de tweede term ontbreekt. Je kunt je hierin verhouden zoals je wilt, maar onthoud - alle wiskundige bewerkingen met nul zijn uitgevonden door wiskundigen zelf, dus negeer je logica en prop de definities die door wiskundigen zijn uitgevonden stomweg vol: "delen door nul is onmogelijk", "elk getal vermenigvuldigd met nul is gelijk aan nul" , "voor het knock-outpunt nul" en ander delirium. Het is voldoende om een ​​keer te onthouden dat nul geen getal is, en je zult nooit de vraag hebben of nul een natuurlijk getal is of niet, omdat zo'n vraag over het algemeen elke zin verliest: hoe kunnen we een getal beschouwen dat geen getal is. Het is alsof je vraagt ​​welke kleur een onzichtbare kleur zou moeten hebben. Nul toevoegen aan een getal is als schilderen met verf die niet bestaat. We zwaaiden met een droge kwast en vertelden iedereen dat "we hebben geschilderd". Maar ik dwaal een beetje af.

De hoek is groter dan nul, maar kleiner dan vijfenveertig graden. We hebben veel salade, maar niet genoeg water. Als resultaat krijgen we een dikke borsjt.

De hoek is vijfenveertig graden. We hebben gelijke hoeveelheden water en salade. Dit is de perfecte borsjt (ja, de koks zullen het me vergeven, het is maar wiskunde).

De hoek is groter dan vijfenveertig graden, maar kleiner dan negentig graden. We hebben veel water en weinig salade. Je krijgt vloeibare borsjt.

Juiste hoek. We hebben water. Van de salade blijven alleen herinneringen over, terwijl we de hoek blijven meten vanaf de lijn die ooit voor de salade stond. We kunnen geen borsjt koken. De hoeveelheid borsjt is nul. In dat geval, houd vol en drink water terwijl je het hebt)))

Hier. Iets zoals dit. Ik kan hier andere verhalen vertellen die hier meer dan gepast zijn.

Twee vrienden hadden hun aandeel in de gemeenschappelijke zaak. Na het doden van een van hen, ging alles naar de andere.

De opkomst van wiskunde op onze planeet.

Al deze verhalen worden verteld in de taal van de wiskunde met behulp van lineaire hoekfuncties. Een andere keer zal ik je de echte plaats van deze functies in de structuur van de wiskunde laten zien. Laten we in de tussentijd terugkeren naar de trigonometrie van de borsjt en de projecties bekijken.

zaterdag 26 oktober 2019

Ik heb een interessante video gezien over Grandi rij Eén min één plus één min één - Numberphile... Wiskundigen liegen. Ze hebben de gelijkheidstest niet uitgevoerd in de loop van hun redenering.

Dit sluit aan bij mijn redenering over.

Laten we de tekenen van misleiding door wiskundigen eens nader bekijken. Helemaal aan het begin van de redenering zeggen wiskundigen dat de som van de rij AFHANKELIJK is van het feit of het aantal elementen erin even is of niet. Dit is een OBJECTIEF BEPAALD FEIT. Wat gebeurt er nu?

Vervolgens trekken wiskundigen een rij van één af. Waar leidt dit toe? Dit leidt tot een verandering in het aantal elementen in de reeks - een even getal verandert in een oneven getal, een oneven getal verandert in een even getal. We hebben immers één element gelijk aan één aan de reeks toegevoegd. Ondanks alle uiterlijke overeenkomsten is de volgorde voor conversie niet gelijk aan de volgorde na conversie. Zelfs als we het hebben over een oneindige reeks, moet men bedenken dat een oneindige reeks met een oneven aantal elementen niet gelijk is aan een oneindige reeks met een even aantal elementen.

Door een gelijkteken te plaatsen tussen twee reeksen die verschillen in het aantal elementen, beweren wiskundigen dat de som van de reeks NIET AFHANKELIJK is van het aantal elementen in de reeks, wat in tegenspraak is met een OBJECTIEF BEPAALD FEIT. Verdere redenering over de som van een oneindige reeks is onjuist, omdat het gebaseerd is op valse gelijkheid.

Als je ziet dat wiskundigen in de loop van bewijzen haakjes plaatsen, de elementen van een wiskundige uitdrukking herschikken, iets toevoegen of verwijderen, wees dan heel voorzichtig, hoogstwaarschijnlijk proberen ze je te misleiden. Net als kaartgoochelaars leiden wiskundigen je aandacht af met verschillende uitdrukkingsmanipulaties om je uiteindelijk een vals resultaat te geven. Als je de kaarttruc niet kunt herhalen zonder het geheim van bedrog te kennen, dan is in de wiskunde alles veel eenvoudiger: je vermoedt zelfs niets van bedrog, maar door alle manipulaties met een wiskundige uitdrukking te herhalen, kun je anderen overtuigen van de juistheid van het resultaat , net als wanneer iets je overtuigde.

Vraag uit het publiek: En hoe zit het met oneindig (als het aantal elementen in reeks S), is het even of oneven? Hoe kun je de pariteit veranderen van iets dat geen pariteit heeft?

Oneindigheid voor wiskundigen, zoals het Koninkrijk der Hemelen voor priesters - niemand is er ooit geweest, maar iedereen weet precies hoe alles daar werkt))) Ik ben het ermee eens, na de dood zal het je absoluut onverschillig zijn of je een even of een oneven aantal hebt geleefd van dagen, maar ... slechts één dag aan het begin van je leven, krijgen we een heel ander persoon: zijn achternaam, naam en patroniem zijn precies hetzelfde, alleen de geboortedatum is compleet anders - hij is op een dag geboren voor jou.

En nu, in wezen))) Stel dat een eindige reeks die pariteit heeft deze pariteit verliest wanneer hij naar oneindig gaat. Dan moet elk eindig segment van een oneindige reeks ook pariteit verliezen. Wij zien dit niet. Het feit dat we niet met zekerheid kunnen zeggen of het aantal elementen in een oneindige reeks even of oneven is, betekent helemaal niet dat de pariteit verdwenen is. Pariteit, als die bestaat, kan niet spoorloos verdwijnen in het oneindige, zoals in de mouw van een scherper. Er is een zeer goede analogie voor dit geval.

Heb je ooit een koekoek die in een klok zit gevraagd in welke richting de wijzer draait? Voor haar draait de pijl in de tegenovergestelde richting van wat we "met de klok mee" noemen. Hoe paradoxaal het ook klinkt, de draairichting hangt alleen af ​​van aan welke kant we de draaiing waarnemen. En dus hebben we één wiel dat draait. We kunnen niet zeggen in welke richting de rotatie plaatsvindt, omdat we deze zowel vanaf de ene kant van het rotatievlak als vanaf de andere kant kunnen waarnemen. We kunnen alleen maar bevestigen dat er sprake is van rotatie. Volledige analogie met de pariteit van een oneindige reeks S.

Laten we nu een tweede spinnewiel toevoegen, waarvan het rotatievlak evenwijdig is aan het rotatievlak van het eerste spinnewiel. We kunnen nog steeds niet met zekerheid zeggen in welke richting deze wielen draaien, maar we kunnen absoluut met zekerheid zeggen of beide wielen in dezelfde richting draaien of in tegengestelde richting. Twee eindeloze reeksen vergelijken S en 1-S, Ik heb met behulp van wiskunde laten zien dat deze rijen een verschillende pariteit hebben en dat het een vergissing is om er een gelijkteken tussen te zetten. Persoonlijk geloof ik in wiskunde, ik vertrouw geen wiskundigen))) Trouwens, voor een volledig begrip van de geometrie van transformaties van oneindige reeksen, is het noodzakelijk om het concept te introduceren "gelijktijdigheid"... Dit zal moeten worden getekend.

woensdag 7 augustus 2019

Ter afsluiting van het gesprek over, er is een oneindig aantal om te overwegen. Het resultaat is dat het concept van "oneindigheid" op wiskundigen inwerkt als een boa constrictor op een konijn. De bevende horror van oneindigheid berooft wiskundigen van gezond verstand. Hier is een voorbeeld:

De originele bron staat. Alfa staat voor een reëel getal. Het gelijkteken in de bovenstaande uitdrukkingen geeft aan dat als u een getal of oneindig bij oneindig optelt, er niets zal veranderen, het resultaat dezelfde oneindigheid zal zijn. Als we als voorbeeld een oneindige reeks natuurlijke getallen nemen, kunnen de beschouwde voorbeelden in de volgende vorm worden weergegeven:

Voor een visueel bewijs van hun juistheid hebben wiskundigen veel verschillende methoden bedacht. Persoonlijk beschouw ik al deze methoden als dansende sjamanen met tamboerijnen. In wezen komen ze er allemaal op neer dat ofwel sommige kamers niet bezet zijn en er nieuwe gasten komen, ofwel dat sommige bezoekers de gang in worden gegooid om plaats te maken voor gasten (heel menselijk). Ik presenteerde mijn visie op dergelijke beslissingen in de vorm van een fantastisch verhaal over de Blonde. Waar is mijn redenering op gebaseerd? Het verplaatsen van een oneindig aantal bezoekers kost oneindig veel tijd. Nadat we de eerste kamer voor een gast hebben verlaten, loopt tot het einde van de eeuw altijd een van de bezoekers door de gang van zijn kamer naar de volgende. Natuurlijk kan de factor tijd dom worden genegeerd, maar dit zal al uit de categorie "de wet is niet voor dwazen geschreven" zijn. Het hangt allemaal af van wat we doen: de werkelijkheid aanpassen aan wiskundige theorieën of omgekeerd.

Wat is een "eindeloos hotel"? Een eindeloos hotel is een hotel dat altijd een willekeurig aantal vrije plaatsen heeft, ongeacht hoeveel kamers bezet zijn. Als alle kamers in de eindeloze bezoekersgang bezet zijn, is er weer een eindeloze gang met de gastenkamers. Er zullen oneindig veel van dergelijke gangen zijn. Bovendien heeft het "oneindige hotel" een oneindig aantal verdiepingen in een oneindig aantal gebouwen op een oneindig aantal planeten in een oneindig aantal universums gecreëerd door een oneindig aantal goden. Wiskundigen kunnen echter geen afstand nemen van alledaagse alledaagse problemen: God-Allah-Boeddha is altijd maar één, het hotel is één, de gang is slechts één. Hier proberen wiskundigen de serienummers van hotelkamers te manipuleren en ons ervan te overtuigen dat je 'de spullen erin kunt schuiven'.

Ik zal de logica van mijn redenering aan u demonstreren aan de hand van het voorbeeld van een oneindige reeks natuurlijke getallen. Eerst moet je een heel eenvoudige vraag beantwoorden: hoeveel sets natuurlijke getallen zijn er - één of veel? Er is geen juist antwoord op deze vraag, aangezien we getallen zelf hebben uitgevonden, in de natuur zijn er geen getallen. Ja, de natuur kan uitstekend tellen, maar hiervoor gebruikt ze andere wiskundige hulpmiddelen die ons niet bekend zijn. Zoals de natuur denkt, zal ik het je een andere keer vertellen. Omdat we de getallen hebben uitgevonden, gaan we zelf bepalen hoeveel sets natuurlijke getallen er zijn. Overweeg beide opties, zoals het een echte wetenschapper betaamt.

Optie één. "Laat ons worden gegeven" een enkele reeks natuurlijke getallen, die sereen op de plank ligt. We halen deze set uit het schap. Dat is het, er zijn geen andere natuurlijke getallen meer op de plank en er is geen plaats om ze te nemen. We kunnen er geen toevoegen aan deze set, omdat we hem al hebben. En als je dat echt wilt? Geen probleem. We kunnen er een nemen uit de set die we al hebben genomen en terugbrengen naar de plank. Daarna kunnen we een eenheid van de plank nemen en toevoegen aan wat we nog hebben. Als resultaat krijgen we opnieuw een oneindige reeks natuurlijke getallen. Je kunt al onze manipulaties als volgt schrijven:

Ik schreef de acties op in het algebraïsche notatiesysteem en in het notatiesysteem dat in de verzamelingenleer werd gehanteerd, met een gedetailleerde opsomming van de elementen van de verzameling. Het subscript geeft aan dat we één en enige set natuurlijke getallen hebben. Het blijkt dat de verzameling natuurlijke getallen alleen ongewijzigd blijft als je er één van aftrekt en dezelfde eenheid optelt.

Optie twee. We hebben veel verschillende oneindige sets van natuurlijke getallen op onze plank. Ik benadruk - VERSCHILLEND, ondanks het feit dat ze praktisch niet van elkaar te onderscheiden zijn. We nemen een van deze sets. Dan nemen we er een uit een andere reeks natuurlijke getallen en voegen deze toe aan de reeks die we al hebben genomen. We kunnen zelfs twee sets natuurlijke getallen optellen. Dit is wat we krijgen:

Subscripts "één" en "twee" geven aan dat deze items tot verschillende sets behoorden. Ja, als je er een toevoegt aan de oneindige verzameling, is het resultaat ook een oneindige verzameling, maar deze zal niet hetzelfde zijn als de oorspronkelijke verzameling. Als we nog een oneindige verzameling toevoegen aan een oneindige verzameling, is het resultaat een nieuwe oneindige verzameling die bestaat uit de elementen van de eerste twee verzamelingen.

Veel natuurlijke getallen worden gebruikt om te tellen op dezelfde manier als een liniaal voor metingen. Stel je nu voor dat je een centimeter aan de liniaal toevoegt. Dit zal al een andere regel zijn, niet gelijk aan de originele.

U kunt mijn redenering accepteren of niet accepteren - dit is uw eigen zaak. Maar als u ooit tegen wiskundige problemen aanloopt, denk er dan eens over na of u het pad van valse redeneringen volgt dat door generaties wiskundigen is bewandeld. Immers, het doen van wiskunde vormt in de eerste plaats een stabiel stereotype van denken in ons, en pas dan voegt het mentale vermogens aan ons toe (of vice versa, berooft ons van het vrije denken).

pozg.ru

zondag 4 augustus 2019

Ik was een postscript aan het schrijven voor een artikel over en zag deze prachtige tekst op Wikipedia:

We lezen: "... de rijke theoretische basis van de wiskunde van Babylon had geen holistisch karakter en werd gereduceerd tot een reeks ongelijksoortige technieken, verstoken van een gemeenschappelijk systeem en bewijsbasis."

Wauw! Hoe slim we zijn en hoe goed we de tekortkomingen van anderen kunnen zien. Is het moeilijk voor ons om de moderne wiskunde in dezelfde context te bekijken? De bovenstaande tekst enigszins parafraseren, kreeg ik persoonlijk het volgende:

De rijke theoretische basis van de moderne wiskunde is niet holistisch en wordt teruggebracht tot een reeks ongelijksoortige secties zonder een gemeenschappelijk systeem en bewijsbasis.

Ik zal niet ver gaan om mijn woorden te bevestigen - het heeft een taal en conventies die verschillen van de taal en conventies van veel andere takken van de wiskunde. Dezelfde namen in verschillende takken van de wiskunde kunnen verschillende betekenissen hebben. Ik wil een hele reeks publicaties wijden aan de meest voor de hand liggende blunders van de moderne wiskunde. Tot ziens.

zaterdag 3 augustus 2019

Hoe verdeel je een verzameling in subsets? Om dit te doen, is het noodzakelijk om een ​​nieuwe meeteenheid in te voeren die aanwezig is voor sommige elementen van de geselecteerde set. Laten we naar een voorbeeld kijken.

Laten we er veel hebben EEN bestaande uit vier personen. Deze set is gevormd op basis van "mensen" Laten we de elementen van deze set met de letter aanduiden een, een subscript met een cijfer geeft het volgnummer van elke persoon in deze set aan. Laten we een nieuwe meeteenheid "geslacht" introduceren en deze met de letter aanduiden B... Omdat geslachtskenmerken inherent zijn aan alle mensen, vermenigvuldigen we elk element van de set EEN op geslacht B... Merk op dat onze veelheid van "mensen" nu een veelheid van "mensen met geslachtskenmerken" is geworden. Daarna kunnen we de geslachtskenmerken onderverdelen in mannelijk bm en vrouwen bw seksuele kenmerken. Nu kunnen we een wiskundig filter toepassen: we selecteren één van deze geslachtskenmerken, het maakt niet uit welke man of vrouw is. Als een persoon het heeft, vermenigvuldigen we het met één, als er geen teken is, vermenigvuldigen we het met nul. En dan passen we de gebruikelijke schoolwiskunde toe. Kijk wat er is gebeurd.

Na vermenigvuldiging, reductie en herschikking kregen we twee subsets: een subset van mannen Bm en een subset van vrouwen Bw... Wiskundigen denken hetzelfde als ze de verzamelingenleer in de praktijk toepassen. Maar ze wijden ons niet aan de details, maar geven een afgewerkt resultaat - "veel mensen bestaan ​​uit een subset van mannen en een subset van vrouwen." Natuurlijk kun je je afvragen hoe correct de wiskunde wordt toegepast in de bovenstaande transformaties? Ik durf je te verzekeren dat de transformaties in feite correct zijn uitgevoerd, het is voldoende om de wiskundige basis van rekenkunde, Booleaanse algebra en andere takken van wiskunde te kennen. Wat het is? Ik zal je er een andere keer over vertellen.

Wat betreft de supersets, het is mogelijk om twee sets te combineren tot één superset door de meeteenheid te kiezen die aanwezig is voor de elementen van deze twee sets.

Zoals je kunt zien, maken eenheden en gewone wiskunde de verzamelingenleer tot het verleden. Een aanwijzing dat de verzamelingenleer niet in orde is, is dat wiskundigen hun eigen taal en notatie voor verzamelingenleer hebben bedacht. Wiskundigen deden wat sjamanen ooit deden. Alleen sjamanen weten hoe ze hun "kennis" "juist" moeten toepassen. Ze leren ons deze "kennis".

Tot slot wil ik je laten zien hoe wiskundigen manipuleren met
Laten we zeggen dat Achilles tien keer sneller loopt dan een schildpad en duizend passen achter hem loopt. Gedurende de tijd die Achilles nodig heeft om deze afstand af te leggen, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. Als Achilles honderd stappen heeft gelopen, kruipt de schildpad nog tien stappen, enzovoort. Het proces zal oneindig doorgaan, Achilles zal de schildpad nooit inhalen.

Deze redenering kwam als een logische schok voor alle volgende generaties. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Allemaal beschouwden ze op de een of andere manier Zeno's aporieën. De schok was zo sterk dat " ... de discussies gaan momenteel door, de wetenschappelijke gemeenschap is er nog niet in geslaagd om tot een gemeenschappelijke mening te komen over de essentie van paradoxen ... wiskundige analyse, verzamelingenleer, nieuwe fysieke en filosofische benaderingen waren betrokken bij de studie van het probleem ; geen van hen is een algemeen aanvaarde oplossing voor de vraag geworden ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"] Iedereen begrijpt dat ze voor de gek worden gehouden, maar niemand begrijpt wat het bedrog is.

Vanuit het oogpunt van wiskunde toonde Zeno in zijn aporia duidelijk de overgang van grootte naar. Deze overgang impliceert toepassing in plaats van constanten. Voor zover ik begrijp, is het wiskundige apparaat voor het toepassen van variabele meeteenheden ofwel nog niet ontwikkeld, ofwel is het niet toegepast op Zeno's aporie. Het toepassen van onze gebruikelijke logica leidt ons in een val. Wij, door traagheid van denken, passen constante meeteenheden van tijd toe op het wederkerige. Fysiek gezien lijkt het op tijdsvertraging totdat het volledig stopt op het moment dat Achilles gelijk staat met de schildpad. Als de tijd stopt, kan Achilles de schildpad niet meer inhalen.

Als we de logica die we gewend zijn omdraaien, valt alles op zijn plaats. Achilles loopt met een constante snelheid. Elk volgend segment van zijn pad is tien keer korter dan het vorige. Dienovereenkomstig is de tijd die wordt besteed aan het overwinnen ervan tien keer minder dan de vorige. Als we het concept van "oneindig" in deze situatie toepassen, dan zou het correct zijn om te zeggen: "Achilles zal de schildpad oneindig snel inhalen."

Hoe kunt u deze logische valkuil vermijden? Blijf in constante tijdseenheden en ga niet achteruit. In de taal van Zeno ziet het er als volgt uit:

Gedurende de tijd waarin Achilles duizend stappen zal rennen, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. In de volgende tijdspanne, gelijk aan de eerste, zal Achilles nog duizend stappen lopen en de schildpad honderd stappen. Achilles is nu achthonderd stappen voor op de schildpad.

Deze benadering beschrijft de werkelijkheid adequaat zonder enige logische paradox. Maar dit is geen volledige oplossing voor het probleem. Einsteins uitspraak over de onoverkomelijkheid van de lichtsnelheid lijkt sterk op de Zeno aporia "Achilles en de schildpad". We moeten dit probleem nog bestuderen, heroverwegen en oplossen. En de oplossing moet niet in oneindig grote aantallen worden gezocht, maar in meeteenheden.

Een andere interessante aporia Zeno vertelt over een vliegende pijl:

Een vliegende pijl is bewegingloos, omdat hij op elk moment in rust is, en aangezien hij op elk moment in rust is, is hij altijd in rust.

In deze aporie wordt de logische paradox heel eenvoudig overwonnen - het is voldoende om te verduidelijken dat op elk moment een vliegende pijl op verschillende punten in de ruimte rust, wat in feite beweging is. Een ander punt moet hier worden opgemerkt. Van een enkele foto van een auto op de weg is het onmogelijk om het feit van zijn beweging of de afstand er toe te bepalen. Om het feit van de beweging van de auto te bepalen, zijn twee foto's nodig, genomen vanaf hetzelfde punt op verschillende tijdstippen, maar de afstand kan daaruit niet worden bepaald. Om de afstand tot de auto te bepalen, heb je twee foto's nodig die tegelijkertijd vanaf verschillende punten in de ruimte zijn gemaakt, maar ze kunnen het feit van beweging niet bepalen (natuurlijk zijn er nog steeds aanvullende gegevens nodig voor berekeningen, trigonometrie zal je helpen). Waar ik speciaal de aandacht op wil vestigen, is dat twee punten in de tijd en twee punten in de ruimte verschillende dingen zijn die niet moeten worden verward, omdat ze verschillende mogelijkheden voor onderzoek bieden.
Laat me je het proces laten zien met een voorbeeld. We selecteren "rode vaste stof in een puistje" - dit is ons "geheel". Tegelijkertijd zien we dat deze dingen met een boog zijn, maar er zijn geen bogen. Daarna selecteren we een deel van het "geheel" en vormen een set "met een boog". Dit is hoe sjamanen zichzelf voeden door hun verzamelingenleer aan de werkelijkheid te koppelen.

Laten we nu een vuile truc doen. Neem "vast in een puistje met een boog" en combineer deze "gehelen" op kleur door de rode elementen te selecteren. We hebben veel "rood". Nu een vraag om in te vullen: de resulterende sets "met een boog" en "rood" zijn dezelfde set of zijn twee verschillende sets? Alleen sjamanen weten het antwoord. Om precies te zijn, ze weten zelf niets, maar zoals ze zeggen, het zij zo.

Dit eenvoudige voorbeeld laat zien dat de verzamelingenleer volkomen nutteloos is als het om de realiteit gaat. Wat is het geheim? We hebben een set van "rode vaste stof tot een bult met een strik" gevormd. De formatie vond plaats volgens vier verschillende meeteenheden: kleur (rood), sterkte (vast), ruwheid (in een puistje), ornamenten (met een strik). Alleen een reeks meeteenheden maakt het mogelijk om echte objecten adequaat te beschrijven in de taal van de wiskunde... Dit is hoe het eruit ziet.

De letter "a" met verschillende indices geeft verschillende meeteenheden aan. Tussen haakjes staan ​​de meeteenheden waarvoor in het voortraject het "geheel" wordt toegekend. De maateenheid waarmee de set wordt gevormd, wordt uit de haakjes gehaald. De laatste regel toont het eindresultaat - een element van de set. Zoals je kunt zien, als we meeteenheden gebruiken om een ​​set te vormen, hangt het resultaat niet af van de volgorde van onze acties. En dit is wiskunde, en geen dansende sjamanen met tamboerijnen. Sjamanen kunnen 'intuïtief' tot hetzelfde resultaat komen, door het 'met bewijs' te argumenteren, omdat meeteenheden niet zijn opgenomen in hun 'wetenschappelijke' arsenaal.

Het is heel gemakkelijk om eenheden te gebruiken om een ​​set te splitsen of om meerdere sets te combineren tot één superset. Laten we de algebra van dit proces eens nader bekijken.

Trigonometrische functiewaarden tabel

Opmerking... Deze tabel met trigonometrische functiewaarden gebruikt het √-teken om de vierkantswortel aan te geven. Om een ​​breuk aan te duiden - het symbool "/".

zie ook bruikbare materialen:

Voor het bepalen van de waarde van de trigonometrische functie, vind het op het snijpunt van de trigonometrische functielijn. Bijvoorbeeld, sinus 30 graden - zoek naar een kolom met de kop sin (sinus) en zoek het snijpunt van deze kolom van de tabel met de regel "30 graden", op hun snijpunt lezen we het resultaat - één seconde. Op dezelfde manier vinden we cosinus 60 graden, sinus 60 graden (nogmaals, op het snijpunt van de sin-kolom (sinus) en de 60 graden-rij vinden we de waarde sin 60 = √3 / 2), enz. Op dezelfde manier worden de waarden van sinussen, cosinuslijnen en raaklijnen van andere "populaire" hoeken gevonden.

Sinus van pi, cosinus van pi, tangens van pi en andere hoeken in radialen

De onderstaande tabel met cosinus-, sinus- en raaklijnen is ook geschikt voor het vinden van de waarde van trigonometrische functies waarvan het argument gegeven in radialen... Gebruik hiervoor de tweede kolom met hoekwaarden. Hierdoor kunt u de waarde van populaire hoeken converteren van graden naar radialen. Laten we bijvoorbeeld een hoek van 60 graden zoeken in de eerste regel en de waarde ervan aflezen in radialen eronder. 60 graden is gelijk aan π / 3 radialen.

Het getal pi drukt op unieke wijze de afhankelijkheid van de omtrek uit van de graadmaat van de hoek. Dus pi-radialen zijn gelijk aan 180 graden.

Elk getal uitgedrukt in pi (radiaal) kan eenvoudig worden omgezet in een graadmaat door pi (π) te vervangen door 180.

Voorbeelden van:
1. sinus pi.
zonde π = zonde 180 = 0
dus de sinus van pi is hetzelfde als de sinus van 180 graden en is nul.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
dus de cosinus van pi is hetzelfde als de cosinus van 180 graden en is gelijk aan min één.

3. raaklijn
tg π = tg 180 = 0
dus de tangens van pi is hetzelfde als de tangens van 180 graden en is nul.

Tabel met sinus-, cosinus-, tangenswaarden voor hoeken 0 - 360 graden (algemene waarden)

Als een streepje (tangens (tg) 90 graden, cotangens (ctg) 180 graden) wordt aangegeven in de tabel met waarden van goniometrische functies in plaats van de functiewaarde, dan heeft de functie geen definitieve betekenis bij deze waarde van de graadmaat van de hoek. Als er geen streepje is - de cel is leeg, dan hebben we de vereiste waarde nog niet ingevoerd. We zijn geïnteresseerd in welke verzoeken gebruikers bij ons komen en vullen de tabel aan met nieuwe waarden, ondanks het feit dat de huidige gegevens over de waarden van de cosinus, sinus en raaklijn van de meest voorkomende hoekwaarden voldoende zijn om de meeste problemen oplossen.

Tabel met waarden van trigonometrische functies sin, cos, tg voor de meest populaire hoeken
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 graden
(numerieke waarden "zoals in Bradis-tabellen")

Elke goniometrische functie voor een bepaalde hoek (of getal) α komt overeen met een bepaalde betekenis deze functie. Van definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens het is duidelijk dat de waarde van de sinus van de hoek α de ordinaat is van het punt waarnaar het startpunt van de eenheidscirkel gaat na zijn rotatie door de hoek α, de waarde van de cosinus is de abscis van dit punt, de waarde van de raaklijn is de verhouding van de ordinaat tot de ordinaat, en de waarde van de cotangens is de verhouding van de abscis tot de ordinaat.

Heel vaak wordt het bij het oplossen van problemen noodzakelijk om de waarden van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en cotangensen van de aangegeven hoeken te vinden. Voor sommige hoeken, bijvoorbeeld bij 0, 30, 45, 60, 90, ... graden, is het mogelijk om de exacte waarden van trigonometrische functies te vinden, voor andere hoeken blijkt het vinden van de exacte waarden problematisch en u moet tevreden zijn met benaderende waarden.

In dit artikel zullen we uitzoeken welke principes moeten worden gevolgd bij het berekenen van de waarde van sinus, cosinus, tangens of cotangens. Laten we ze in volgorde opsommen.

• De geschatte waarde van de opgegeven trigonometrische functie kan per definitie worden gevonden. En voor hoeken 0, ± 90, ± 180, enz. graden definitie van trigonometrische functies stelt u in staat om de exacte waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens te specificeren.
• De verhoudingen tussen de zijden en hoeken in een rechthoekige driehoek stellen u in staat om de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens te vinden voor de "hoofd" hoeken van 30, 45, 60 graden.
• Als de hoek buiten het bereik van 0 tot 90 graden ligt, moet u eerst reductie formules, waarmee u kunt doorgaan met het berekenen van de waarde van trigonometrische functies met een argument van 0 tot 90 graden.
• Als de waarde van een van de goniometrische functies voor een gegeven hoek α bekend is, kunnen we altijd de waarde van een andere goniometrische functie met dezelfde hoek berekenen. We mogen dit doen trigonometrische basisidentiteiten.
• Soms is het mogelijk om de waarde van een bepaalde goniometrische functie voor een bepaalde hoek te berekenen, uitgaande van de waarden van de functies voor de hoofdhoeken en met behulp van de juiste trigonometrische formules... Als u bijvoorbeeld de bekende sinuswaarde van 30 graden en de sinusformule voor een halve hoek gebruikt, kunt u de sinuswaarde van 15 graden vinden.
• Ten slotte kunt u altijd de geschatte waarde van een bepaalde trigonometrische functie voor een bepaalde hoek vinden, verwijzend naar de gewenste van tabellen van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en cotangenten.

Nu zullen we elk van de genoemde principes voor het berekenen van de waarden van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en cotangensen in detail bekijken.

Paginanavigatie.

Per definitie de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens vinden

Op basis van de definitie van sinus en cosinus kun je de waarden van de sinus en cosinus van een bepaalde hoek α vinden. Om dit te doen, moet je de eenheidscirkel nemen, het startpunt A (1, 0) met een hoek α roteren, waarna het naar punt A1 gaat. Dan geven de coördinaten van punt A 1 respectievelijk de cosinus en sinus van de gegeven hoek α. Daarna kun je de tangens en cotangens van de hoek berekenen door respectievelijk de verhouding van de ordinaat tot de abscis en de abscis tot de ordinaat te berekenen.

Per definitie kunnen we de exacte waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens van hoeken berekenen 0, ± 90, ± 180, ± 270, ± 360, ... graden ( 0, ± / 2, ± π, ± 3π / 2, ± 2π, ... radialen). We verdelen deze hoeken in vier groepen: 360 z graden (2π z rad), 90 + 360 z graden (π / 2 + 2π z rad), 180 + 360 z graden (π + 2π z rad), en 270 + 360 z graden (3π / 2 + 2π z rad), waarbij z willekeurig is. Laten we in de figuren weergeven waar het punt A 1 zich zal bevinden, verkregen door het startpunt A door deze hoeken te draaien (bestudeer indien nodig het materiaal van het artikel draaihoek).

Voor elk van deze groepen hoeken vinden we de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens met behulp van de definities.

Wat betreft de rest van de andere hoeken dan 0, ± 90, ± 180, ± 270, ± 360, ... graden, dan kunnen we per definitie alleen benaderende waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens vinden. Laten we bijvoorbeeld de sinus, cosinus, tangens en cotangens vinden van een hoek van −52 graden.

Laten we de constructie uitvoeren.

Volgens de tekening vinden we dat de abscis van punt A1 ongeveer gelijk is aan 0,62, en de ordinaat is ongeveer gelijk aan -0,78. Dus, en ... Het blijft om de waarden van de tangens en cotangens te berekenen, we hebben en .

Het is duidelijk dat hoe nauwkeuriger de constructies worden uitgevoerd, hoe nauwkeuriger de geschatte waarden van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een bepaalde hoek zullen worden gevonden. Het is ook duidelijk dat het vinden van de waarden van trigonometrische functies per definitie in de praktijk niet handig is, omdat het lastig is om de beschreven constructies uit te voeren.

Lijnen van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en cotangensen

Kortom, het is de moeite waard om stil te staan ​​bij de zogenaamde lijnen van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en cotangensen... Lijnen van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en cotangenten worden lijnen genoemd die samen met de eenheidscirkel zijn getekend, met een referentiepunt en een maateenheid gelijk aan één in het geïntroduceerde rechthoekige coördinatensysteem, ze vertegenwoordigen duidelijk alle mogelijke waarden van sinussen, cosinuslijnen , raaklijnen en cotangenten. We zullen ze in de onderstaande tekening weergeven.

De waarden van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en cotangensen van hoeken 30, 45 en 60 graden

Voor hoeken van 30, 45 en 60 graden zijn de exacte waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens bekend. Ze kunnen worden verkregen uit de definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek met behulp van Stellingen van Pythagoras.

Om de waarden van trigonometrische functies voor hoeken van 30 en 60 graden te krijgen, overweeg je een rechthoekige driehoek met deze hoeken en neem je deze zo dat de lengte van de hypotenusa gelijk is aan één. Het is bekend dat het been, dat tegenover de hoek van 30 graden ligt, half zo groot is als de hypotenusa, daarom is de lengte 1/2. We vinden de lengte van het andere been door de stelling van Pythagoras: .

Aangezien de sinus van de hoek de verhouding is van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa, dan en ... Op zijn beurt is de cosinus de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa, dan en ... Tangens is de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende been, en de cotangens is de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenovergestelde. en , en en .

Het blijft om de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens te verkrijgen voor een hoek van 45 graden. Laten we kijken naar een rechthoekige driehoek met hoeken van 45 graden (het zal gelijkbenig zijn) en een hypotenusa gelijk aan één. Dan, door de stelling van Pythagoras, is het gemakkelijk om te controleren of de lengtes van de benen gelijk zijn. Nu kunnen we de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens berekenen als de verhouding van de lengtes van de overeenkomstige zijden van de betreffende rechthoekige driehoek. we hebben en .

De verkregen waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens van hoeken van 30, 45 en 60 graden zullen heel vaak worden gebruikt bij het oplossen van verschillende geometrische en trigonometrische problemen, dus we raden u aan ze te onthouden. Voor het gemak zullen we ze toevoegen aan: tabel met basiswaarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens.

Ter afsluiting van deze paragraaf presenteren we een illustratie van de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens van hoeken 30, 45 en 60 met behulp van de eenheidscirkel en lijnen van sinus, cosinus, tangens en cotangens.

Conversie naar een hoek van 0 tot 90 graden

We merken meteen op dat het handig is om de waarden van trigonometrische functies te vinden wanneer de hoek in het bereik van 0 tot 90 graden ligt (van nul tot pi in halve rad). Als het argument van de goniometrische functie, waarvan we de waarde moeten vinden, verder gaat dan 0 tot 9 0 graden, dan gebruiken we altijd reductie formules we kunnen doorgaan met het vinden van de waarde van de trigonometrische functie, waarvan het argument binnen de gespecificeerde limieten zal zijn.

Laten we bijvoorbeeld de sinuswaarde van 210 graden vinden. Door 210 voor te stellen als 180 + 30 of 270-60, verminderen de overeenkomstige reductieformules ons probleem van het vinden van de sinus van 210 graden tot het vinden van de waarde van de sinus van 30 graden, of de cosinus van 60 graden.

Laten we het voor de toekomst eens zijn bij het vinden van de waarden van trigonometrische functies, waarbij we altijd de reductieformules gebruiken om naar de hoeken van het interval van 0 tot 90 graden te gaan, tenzij de hoek natuurlijk al binnen deze limieten ligt.

Het is voldoende om de waarde van een van de trigonometrische functies te kennen

Trigonometrische basisidentiteiten verbanden leggen tussen sinus, cosinus, tangens en cotangens van dezelfde hoek. Met hun hulp kunnen we dus uit de bekende waarde van een van de trigonometrische functies de waarde van elke andere functie met dezelfde hoek vinden.

Laten we eens kijken naar de oplossing van een voorbeeld.

Voorbeeld.

Bepaal wat de sinus van de hoek pi is met acht als .

Oplossing.

Eerst zoeken we waar de cotangens van deze hoek gelijk aan is:

Gebruik nu de formule , kunnen we berekenen wat het kwadraat is van de sinus van de hoek pi met acht, en dus de gewenste waarde van de sinus. Wij hebben

Het blijft alleen om de waarde van de sinus te vinden. Aangezien pi bij acht de hoek is van het eerste coördinaatkwartaal, is de sinus van deze hoek positief (zie indien nodig het theoriegedeelte sinus-, cosinus-, tangens- en cotangenstekens in kwarten). Dus, .

Antwoord geven:

.

Waarden vinden met behulp van goniometrische formules

In de twee vorige paragrafen zijn we al begonnen met het behandelen van de kwestie van het vinden van de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens met behulp van trigonometrische formules. Hier willen we alleen zeggen dat het soms mogelijk is om de vereiste waarde van de goniometrische functie te berekenen met behulp van goniometrische formules en de bekende waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens (bijvoorbeeld voor hoeken van 30, 45 en 60 graden ).

Met behulp van trigonometrische formules berekenen we bijvoorbeeld de waarde van de tangens van de hoek pi met acht, die we in de vorige paragraaf hebben gebruikt om de waarde van de sinus te vinden.

11 graden? De vraag is erg moeilijk.

De exacte waarden van goniometrische functies zijn in de praktijk echter vaak niet zo noodzakelijk. Meestal zijn geschatte waarden met enige vereiste mate van nauwkeurigheid voldoende. Er zijn tabellen met waarden van trigonometrische functies, van waaruit we altijd de geschatte waarde van de sinus, cosinus, tangens of cotangens van een bepaalde hoek die we nodig hebben, kunnen vinden. Voorbeelden van dergelijke tabellen zijn: tabellen van sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen en cotangenten van VM Bradis... Deze tabellen bevatten de waarden van goniometrische functies met een nauwkeurigheid van vier decimalen.

Bibliografie.

• Algebra: Leerboek. voor 9cl. woensdag school / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S.A. Telyakovsky.- M.: Onderwijs, 1990.- 272 p.: ziek.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra en het begin van de analyse: Leerboek. voor 10-11cl. algemene educatie. instellingen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn en anderen; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14e ed. - M .: Education, 2004. - 384 p.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Basjmakov M.I. Algebra en het begin van analyse: leerboek. voor 10-11cl. woensdag shk. - 3e druk. - M.: Onderwijs, 1993 .-- 351 p.: ziek. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (handleiding voor kandidaten voor technische scholen): leerboek. handleiding - M.; Hoger. shk., 1984.-351 p., afb.