Методы оптимальных решений графический метод пример. Графические методы

Решение задачи линейного программирования (ЗЛП) графическим методом

Общая постановка злп

Найти значения n переменных x 1 , x 2 , …,x n , доставляющих экстремум (минимум или максимум) линейной функции Z=C 1 x 1 ,+ C 2 x 2+…+ C n x n

и одновременно удовлетворяющих m ограничениям вида

a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +…+a 1,n x n £ =≥b 1 ,

a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 +…+a 2,n x n £ = ≥b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

a m,1 x 1 +a m,2 x 2 +…+a m,n x n £ = ≥b m ,

при заданных a i,j , b i, C j (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n). Знак отношения может принимать любое из трех приведенных значений.

Пример задачи линейного программирования

Рассмотрим следующую задачу. Менеджер предприятия, изготавливающего два вида красок, описал исследователю операций ситуацию, сложившуюся на производстве и рынке сбыта красок. Оказалось, что фабрика изготавливает два вида красок: для внутренних и внешних работ. Обе краски поступают в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов 6 и 8 тонн соответственно. Опыт показал, что суточный спрос на внешнюю краску никогда не превышает спрос на внутреннюю более чем на 1 тонну. Кроме того, установлено, что спрос на внешнюю краску никогда не превышает 2 тонны в сутки. Оптовые цены одной тонны красок сложились следующим образом: 3 тысячи рублей на внешнюю краску и 2 тысячи рублей – на внутреннюю. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации был максимальным?

Чтобы решить поставленную перед исследователем задачу, сначала необходимо разработать математическую модель описанной ситуации.

При построении математической модели специалист по исследованию операций ставит перед собой три вопроса.

• Для каких величин должна быть построена модель? Иначе говоря, нужно идентифицировать переменные задачи.
• Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
• В чем состоит цель, для достижения которой из всех возможных (допустимых) значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Введем переменные:

x 1 – суточный объем производства внешней краски (в тоннах),

x 2 – суточный объем производства внутренней краски (в тоннах).

Учитывая оптовые цены на тонну каждого вида краски, суточный доход от продажи произведенной продукции задается линейной целевой функцией Z = 3x 1 + 2x 2 .

Целью производства является получение максимальной прибыли, значит, необходимо найти значения x 1 и x 2 , которые максимизируют целевую функцию Z.

Поскольку производитель красок не может распорядиться значениями переменных произвольным образом, постольку необходимо выделить множество возможных значений этих переменных, которое определяется конкретными условиями производства и сбыта. Это множество называется областью допустимых значений.

Первый тип ограничений определяется запасами продуктов А и В, из которых производятся краски. Из технологии производства известно, что на производство тонны внешней краски идут две части продукта А, а на тонну внутренней – одна часть. Для продукта В соотношение обратное. Эти технологические условия описываются неравенствами

2x 1 + x 2 £ 6 (на складе 6 тонн продукта А),

x 1 + 2x 2 £ 8 (на складе 8 тонн продукта В).

Последние два ограничения означают очевидное обстоятельство: нельзя использовать для производства красок больше продуктов А и В, чем их имеется фактически на складе.

Ситуация с реализацией красок на рынке приводит к следующим ограничениям: x 1 – x 2 £ 1 (внешней краски реализуется не более, чем на одну тонну больше внутренней), x 1 £ 2 (внешней краски продается не более двух тонн в день).

Суммируя все сказанное, можно математическую модель, описывающую сложившуюся производственную ситуацию, задать в следующей форме:

найти ® max{ Z=2× x 1 + 3× x 2 } при следующих ограничениях на значения переменных x 1 и x 2

2 × x 1 + x 2 £ 6 ограничение (1),

X 1 + 2 × x 2 £ 8 ограничение (2),

X 1 - x 2 £ 1 ограничение (3),

X 1 £ 2 ограничение (4)

и требование неотрицательности переменных x 1 ³ 0 (5), x 2 ³ 0 (6).

Полученная математическая модель представляет собой задачу линейного программирования.

Графический метод решения злп

Графический метод решения злп может быть реализован только в двумерном случае.

Математическая модель, полученная для сформулированной типовой задачи, требует исследования, так как заранее не известно, имеет ли она (как математическая задача) решение. Исследование проведем с использованием графических построений. Одновременно с таким исследованием найдем (если оно есть) и решение.

1 этап. Построение области допустимых решений

Цель – построить область, каждая точка которой удовлетворяет всем ограничениям.

Каждое из шести ограничений геометрически задает полуплоскость. Для того, чтобы ее построить, нужно:

• · заменить в ограничении знак неравенства на равенство (получим уравнение прямой);

• · построить прямую по двум точкам;

• · определить, какую полуплоскость задает знак неравенства. Для этого подставить в неравенство какую-нибудь точку (например, начало координат). Если она удовлетворяет неравенству – закрашиваем полуплоскость, ее содержащую.

Такие действия выполняем для всех ограничений. Каждую из прямых обозначим номерами, принятыми при нумерации ограничений (см. рис).

Областью допустимых решений (удовлетворяющей всем ограничениям) является множество точек первого квадранта координатной плоскости (x 1 , x 2), представляющее собой пересечение всех полуплоскостей, определяемых неравенствами ограничений.

Множество точек, удовлетворяющих всем шести ограничениям задачи – многоугольник AFEDCB.

2 этап Построение линий уровня целевой функции и определение точки максимума

Цель - найти в построенном многоугольнике A FEDCB точку, в которой функция цели Z=2x 1 + 3x 2 принимает максимальное значение.

Проведем прямую 2x 1 + 3x 2 = Сonst (линию уровня) так, чтобы она пересекала многоугольник AFEDCB (например, Const=10). Эта линия уровня на рисунке изображена пунктирной линией.

Если рассматривать значения линейной целевой функции Z на множестве точек (x 1 ,x 2), принадлежащих отрезку пунктирной прямой, расположенному внутри шестиугольника, то все они равны одному и тому же значению (Const=10).

Определим направление возрастания функции. Для этого построим линию уровня с бОльшим значением. Это будет прямая, параллельная с построенной, но расположенная правее. Значит, в заданном направлении значение целевой функции возрастает, и в наших интересах сдвинуть ее как можно дальше в этом направлении.

Сдвиг можно продолжать до тех пор, пока перемещаемая прямая пересекает многоугольник допустимых решений. Последнее положение прямой, когда она имеет одну общую точку с многоугольником AFEDCB (точка С), соответствует максимальному значению целевой функции Z и достигается в точке С с координатами x 1 = 4/3 (» 1.333), x 2 =10/3 (» 3.333). При этом Z = 38/3 (» 12.667).

Поставленная задача полностью решена. Из проведенных геометрических рассуждений видно, что решение единственное. Сделаем некоторые обобщения, вытекающие из геометрической интерпретации задачи.

Первое . Область допустимых решений – выпуклый многоугольник (Почему выпуклый? Может ли область допустимых решений представлять собой пустое множество? Точку? Отрезок? Луч? Прямую? Если да, приведите пример системы ограничений ).

Второе . Максимум целевой функции достигается в вершине многоугольника допустимых решений (а может ли быть не единственное решение? Может ли решения не быть? )

Задание 1 (выполнить на занятии, показать преподавателю)

Решить графическим методом

A) x1=6 x2=4 F=24

B) x1=2 x2=3 F=26

C) x1Î x2=8-x1 F=24

Задание 2 (выполнить на занятии, показать преподавателю)

Ответить на вопросы, выделенные курсивом.

Задание 3 (домашнее)

Написать программу.

Дан текстовый файл вида

2 3 (коэффициенты целевой функции)

4 (количество ограничений)

2 2 12 (ограничения)

1 2 8

4 0 16

0 4 12

Построить прямые так, чтобы многоугольник допустимых решений был целиком на экране (определение масштаба см. в кн. Онегова). Прямые могут быть параллельны осям!

Построить несколько линий уровня целевой функции (нажимаем клавишу – прямая перемещается, отображается значение целевой функции). Отобразить масштаб.

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи линейного программирования (1.2) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.2) ОДР является пустым множеством.

Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.2) включает равенства, поскольку любое равенство

можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)

ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня .

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см.рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1). Направление вектора совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.

Рисунок 2.1 Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи.

Методика решения задач ЛП графическим методом.

I. В ограничениях задачи (1.2) заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые.

II. Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (1.2). Для этого нужно подставить в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверить истинность полученного неравенства.

Если неравенство истинное,

то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку;

иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку и должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси и правее оси, т.е. в I-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой. Поэтому необходимо выделить на графике такие прямые.

III. Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений.

IV. Если ОДР - не пустое множество, то нужно построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня (где L - произвольное число, например, кратное и, т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

V. Построить вектор, который начинается в точке (0;0) и заканчивается в точке. Если целевая прямая и вектор построены верно, то они будут перпендикулярны .

VI. При поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора, при поиске минимума ЦФ - против направления вектора. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум).

VII. Определить координаты точки max (min) ЦФ и вычислить значение ЦФ. Для вычисления координат оптимальной точки необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится.

Графические методы связаны прежде всего с геометрическим изображением функциональной зависимости при помощи линий на плоскости. Графики используются для быстрого нахождения значения функций по соответствующему значению аргумента, для наглядного изображения функциональных зависимостей.
В экономическом анализе применяются почти все виды графиков: диаграммы сравнения, диаграммы временных рядов, кривые распределения, графики корреляционного поля, статистические картограммы. Особенно широко распространены в анализе диаграммы сравнения - для сравнения отчетных показателей с плановыми, предшествующих периодов и передовых предприятий отечественных или зарубежных. Для наглядного изображения динамики экономических явлений (а в анализе с динамическими рядами приходится иметь дело очень часто) используются диаграммы временных рядов.
С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня издержек от объема произведенной и реализованной продукции, а также. графики, на которых можно изображать и корреляционные связи между показателями. В системе осей координат изображение показывает влияние различных факторов на тот или иной показатель.
Широко применяется графический метод для исследования производственных процессов, организационных структур, процессов программирования и т. д. Например, для анализа эффективности использования производственного оборудования строятся расчетные графики, в том числе графики множественных факторов.

Обозначения: каждый круг считается одной из вершин графика; цифра в верхнем секторе каждой вершины означает ее порядковый номер; нз номеров двух соседних вершин складывается шифр работы; цифра в нижнем секторе каждой вершины является порядковым номером предшествующей вершины, а линия, соединяющая эти две вершины, означает определенную работу. Внизу под линией записана плановая продолжительность данной работы; цифра в левом секторе каждой вершины означает общую продолжительность всех предшествующих работ, цифра в правом секторе отличается от цифры в левом на величину резерва (запаса времени). Такнм образом, для вершин, лежащих на критическом пути, цифры в левом и правом секторах вершины совпадают, поскольку запас времени равен 0.

В математически формализованной системе анализа, планирования и управления особое место занимают сетевые графики. Они дают большой экономический эффект при строительстве и монтаже промышленных и других предприятий.
Сетевой график (рис. 6.1) позволяет выделить из всего комплекса работ наиболее важные, лежащие на критическом пути, и сосредоточить на них основные ресурсы строительномонтажных организаций, устанавливать взаимосвязь между различными специализированными организациями и координировать их работу. Работы, лежащие на критическом пути, требуют наиболее продолжительного ожидания поступления очередного события. На стадии оперативного анализа и управления сетевой график дает возможность осуществлять действенный контроль за ходом строительства, своевременно принимать меры по устранению возможных задержек в работе.
Применение сетевых графиков анализа, планирования и управления обеспечивает, как показывают многие примеры, сокращение сроков строительства на 20-30%, повышение производительности труда на 15-20%.
При анализе, осуществляемом непосредственно на стройках, использование материалов сетевого планирования и управления способствует правильному определению причин, влияющих на ход строительства, и выявлению предприятий, не обеспечивающих выполнение порученных им работ или поставку оборудования в сроки, установленные графиком.
Разработка сетевого графика в строительстве осуществляется при наличии: норм продолжительности строительства и срока ввода в действие объекта или комплекса объектов, проектно-сметной документации, проекта организации строительства и производства работ, типовых технологических карт, действующих норм затрат труда, материалов и работы машин. Кроме того, при составлении графика используются опыт выполнения отдельных работ, а также данные о производственной базе строительных и монтажных организаций.
На основе всех этих данных составляется таблица работ и ресурсов, где в технологической последовательности производства работ указываются их характеристика, объем, трудоемкость в человеко-днях, исполнитель (организация и бригада), численность рабочих, сменность, потребность в механизмах и материалах, источники их поступления, общая продолжительность выполнения работы в днях, а также предшествующее задание, после окончания которого можно начинать данную работу. Исходя из показателей такой таблицы, подготавливают сетевой график, который может иметь различную степень детализации в зависимости от принятой схемы произ
водства работ и уровня руководства; кроме общего графика исполнители разрабатывают график выполняемых ими работ.
Основные элементы сетевого графика: событие, работа, ожидание, зависимость.
При анализе хода строительства объекта следует устанавливать, правильно ли составлен сетевой график, не допущено ли при этом завышение критического пути, учтены ли при оптимизации графика все возможности его сокращения, нельзя ли какие-либо работы выполнять параллельно или сократить время, затрачиваемое на них, путем увеличения средств механизации и др. Это особенно важно в тех случаях, когда продолжительность работ по графику не обеспечивает окончание строительства в срок.
Основным материалом сетевого планирования, используемого при анализе, является информация о ходе работ по графику, который обычно составляется не реже одного раза в декаду. В качестве примера приводится карта задания и информации о ходе работы по объекту строительства, осуществляемому по сетевому графику (табл. 6.1). По данным карты, критические работы выполнялись в начале месяца с опережением графика, однако затем было допущено отставание монтажа подкрановых балок по ряду Б, а последующая работа - монтаж подкрановых балок по ряду А - закончена с отставанием на один день.
Оптимизация сетевых графиков осуществляется на стадии планирования посредством сокращения критического пути, т. е. минимизации сроков выполнения строительных работ при заданных уровнях ресурсов, минимизации уровня потребления материальных, трудовых и финансовых ресурсов при фиксированных сроках выполнения строительных работ. Возможен и смешанный подход: для одной части работ (более дорогостоящих) - минимизировать уровень потребления ресурсов при фиксированных сроках выполнения работ, для другой - минимизировать сроки при фиксированном уровне ресурсов.
Решение оптимизационных задач существенно облегчается наличием пакетов прикладных программ (ППП), приспособленных к составлению оптимальных сетевых графиков на ЭВМ.
В зарубежной практике системного анализа распространен графо-математический метод, получивший название «дерево решений». Суть этого метода заключается в следующем.
Путем предварительной оценки потребностей, предварительного анализа возможных организационных, технических или технологических условий намечаются все предполагаемые варианты решения данной задачи. Вначале разрабатываются

Устройство подкрановых путей и монтаж башенного крана 7-10
Установка опорных рам на фундамент под оборудование 7-16 Монтаж подкрановых балок:
по ряду Б 8-11
20/IV 24/IV 4
20/IV 24/IV 4
24/IV 25/IV 2

по ряду А 10-12 25/IV 26/IV
Монтаж первой части балок и плит покрытия 12-13 27/IV 4/V
Монтаж подкрановых путей мостового lt;3 крана 12-14 27/IV 3/V

1. 100 -

укрупненные варианты. Затем по мере введения дополнительных условий каждый из них расчленяется на ряд вариантов. Графическое изображение этих вариантов позволяет исключить менее выгодные из них и избрать наиболее приемлемый.
Этот метод может найти у нас применение при определении порядка обработки тех или иных деталей на нескольких станках в целях минимизации общего времени обработки; при установлении размеров ресурсов для минимизации общих производственных издержек; при распределении капиталовложений и других ресурсов по промышленным объектам; при решении транспортных и других задач.

Важным методом научного анализа статистического материала выступают графические изображения. Первые попытки использования графических методов в экономических исследованиях начались еще в 1780-х годах. Однако более широкого применения графический метод получил позже - в середине XVIII в., Особенно после впервые в истории сделанной статистики докладе представителя Берлинского статистического бюро Швабе "Теория графических изображений" на 8-м Международном статистическом конгрессе (Петербург, 1872 г.). По известному выражению немецкого физика Ф. Ауэрбаха, XX в. ознаменовалось "триумфальной поступью графического метода в науке".

Что же такое график? График - это форма наглядного представления статистических данных о социально-экономические явления и процессы через геометрические образы, рисунки или схематические географические карты и пояснения к ним.

График имеет пять основных элементов общей конструкции: поле, координатную сетку, графические знаки и их размещения в поле графика, масштаб и экспликация (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Основные элементы графика

Каждый из этих элементов имеет свое назначение и выполняет соответствующую роль в построении и интерпретации. Поле графика - это пространство, на котором размещаются геометрические и другие знаки, составляющие графическое изображение.

Графический образ - это совокупность различных символических знаков, с помощью которых отражаются статистические данные. Эти знаки могут изображаться в формах: линий, точек, геометрических, графических, а иногда негеометричних фигур.

Координатная сетка - это прямоугольная система координат, в которой на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат - количественные показатели по масштабу.

Масштаб - условная мера перевода числовой величины статистического явления в графическую и наоборот. Он служит для установки числовых значений явлений, выраженных на графике.

Экспликация графика - словесное объяснение его конкретного содержания, которое обычно включает:

1) заголовок с необходимыми дополнительными пояснениями;

2) точное объяснение сущности, условно предоставляется в данном графике его графическим знакам (геометрическим, изобразительным, фоновым, чисто условным)

3) другие объяснения, примечания и т.

Кроме того, на поле графика можно наносить некоторые дополнительные сведения, например числовые данные, которые сказываются у некоторых графических знаков и повторяют в цифровой форме их точные значения, выраженные графически.

Графики играют особенно важную роль в изучении сложных взаимосвязей социально-экономических явлений и процессов, выявлении тенденций, закономерностей и изменения показателей динамики, а также в текущем анализе. Основными отличиями и преимуществами графического метода по сравнению с другими является: лучшая наглядность; возможность в целом охватить данные изучаемых; возможность выражения некоторых аналитических зависимостей, которые не очень четкие и тяжелые для выявления при других способах представления данных.

С помощью графиков можно осуществлять оперативный контроль за производством, реализацией продукции, выполнением договорных обязательств и поставленных задач. Таким образом, графики назначены:

Для обобщения и анализа данных;

Изображение распределения данных;

Выявление закономерностей развития исследуемых явлений и процессов в динамике;

Отражение взаимосвязей показателей;

Осуществление контроля за производством, выполнением договоров по сбыту продукции и тому подобное.

Есть различные классификации графиков - по форме графических образов, по содержанию, характеру поставленных задач.

По форме графических образов различают следующие типы графиков:

1) точечные;

2) линейные;

3) плоскостные;

4) объемные;

5) художественные (изобразительные, условные).

В точечных графиках объем совокупности выражается или одной точкой, или накоплением точек. Одна точка может означать один случай или несколько (например, один завод, 500 работников).

Линейные графики состоят из одних линий: отрезков прямой, ломаных, ступенчатых, плавных кривых (в основном для передачи динамики совокупности). Часто отрезки прямой заменяют полосками одинаковой ширины, которые выступают также как графические знаки но одним измерением (длиной). В таких случаях графики называют столбиковой, если полоски размещены вертикально, или ленточными, когда полоски лежат горизонтально.

В свою очередь колонке графики делятся на колонке диаграммы: простые и сплошные, из групп столбиков и т.д., а ленточные - на ленточные диаграммы: простые и ступенчатые, компонентнипарни, скользящие, двусторонне направлены (например, "возрастная пирамида" состава населения).

К специальным видам линейных графиков относятся спиральные (для явлений, которые неограниченно развиваются во времени и по нарастающей величине), радиальные диаграммы (для отображения закономерностей периодически повторяющихся явлений, их ритмичности, сезонности).

Плоскостные графики - это графики двух измерений в виде плоскостей разных геометрических форм. В зависимости от этого они могут быть квадратными, круговыми, секторными. Эти графики целесообразно использовать для сравнения явлений, представленных абсолютными и относительными величинами.

Важными особенностями плоскостных графиков является двухмерный "знак Варзара", ленточная или текущая диаграмма и балансовая диаграмма.

Двухмерный "знак Варзара" (по имени его изобретателя русского статистика В.Е. Варзара) - это прямоугольник с основанием а высотой Ь и площадью Sab, который является полезным для графического выражения довольно частых подобных соотношений трех величин a, by S.

Ленточная, или текущая, диаграмма применяется для схематического выражения объема и состава грузопотоков между двумя пунктами в одном и втором направлениях.

Балансовая диаграмма - это двусторонняя ленточная диаграмма, ленты которой разветвляются в две стороны на более узкие полоски, своей шириной выражают соответствующие величины статей доходов и расходов, статей актива и пассива и тому подобное.

Объемные - трехмерные графики, которые используются редко, поскольку они менее выразительные по сравнению с линейными и плоскостными.

Художественные (изобразительные, условные) - графики с условными графическими знаками, которые отражают совокупности или ее отдельные значения в виде фигур людей, контуров животных, схематических рисунков предметов и т.

Большое значение имеет классификация графиков по их содержанию. Учитывая это графики делятся на два класса - диаграммы и статистические карты.

Диаграмма - это графическое выражение объемов и особенностей одной или нескольких совокупностей с помощью количественных графических знаков (геометрических, художественных, фоновых, чисто условных).

Однако диаграмма не дает графического представления о территориальное размещение изображаемых совокупностей или территориальную изменение их признаков. Для этого используются статистические карты, предназначенные для изображения территориального размещения совокупностей или территориальной изменения их признаков. Они делятся на два класса - картограммы и картодиаграммы.

Картограммы - контурные географические карты, на которых с помощью графических знаков представлена количественная территориальная характеристика совокупности.

Картодиаграммы - контурные географические карты, где отдельные районы (области, пункты) территории нанесены одинакового вида диаграммы (одна или несколько), изображающие объем и территориальные особенности однотипных совокупностей в этих районах. Так, например, изображаются потоки грузов, перевозимых пассажиров, население, мигрирует и тому подобное.

Диаграммы и статистические карты выполняют такие важные задачи по исследованию совокупности:

Общее их сравнения;

Изучение структуры;

Изучение динамики;

Изучение взаимосвязей их признаков;

Измерение степени выполнения хозяйственных планов, договорных обязательств в планово-экономической практике.

В свою очередь и диаграммы, и картограммы в зависимости от их назначения делятся на подклассы, группы и формы (табл. 10.27).

При построении графиков следует соблюдать следующие требования:

1) опираться на достоверные числовые данные;

2) графики должны быть значимыми по замыслу и интересными по содержанию;

3) должны быть построенными в соответствии с поставленными задачами и их практического назначения;

4) быть предельно экономными - содержать максимум сведений, идей при минимуме средств их графического выражения, простыми, четкими, понятными;

5) технически хорошо выполненными.

Рассмотрим подробнее основные виды и формы диаграмм и статистических карт, которые чаще всего используются в практике аналитической работы.

Линейная диаграмма - один из самых распространенных видов графиков, который служит для изображения динамики исследуемых явлений. Для его построения используется прямоугольная система координат. На оси абсцисс откладывают равные отрезки - периоды времени (дни, месяцы, годы и т. П.), А на оси ординат - принят масштаб, характеризующий единицы измерения. На координатном поле наносят точки, равны величине показателя на определенный период. Затем все точки соединяются прямыми линиями, в результате чего получают ломаную линию, которая характеризует изменение изучаемого явления за определенный период времени (табл. 10.28, рис. 10.4).

Таблица 10.28. Инвестиции в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 pp., В фактических ценах, млн грн

Данные графика свидетельствуют, что объемы инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в фактических ценах росли с 2000 в 2005

Рис. 10.4. Динамика объема инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 гг., В фактических ценах, млн грн

Планово-линейные графики строят на специально разработанной сетке, где по горизонтали откладывают единицы времени, а по вертикали размещают объекты исследования. Причем, каждый отрезок по горизонтали соответствует 100% -му выполнению планового задания. Эти отрезки делятся на 5 равных частей, каждая из которых соответствует 20% планового задания.

Степень выполнения плана на графике изображается двумя линиями: тонкой прерывистой - за единицу времени (день, декаду) и сплошной жирной - за отчетный период в целом.

Рассмотрим порядок построения планово-линейного графика на примере.

Пример. Построить линейный график выполнения планового задания бригадой рабочих из строительно-монтажных работ, используя данные табл. 10.29.

Таблица 10.29. Выполнение планового задания бригадой рабочих из строительно-монтажных работ

График выполнения планового задания бригадой строителей по строительно-монтажных работ представлен на рис. 10.5.

Тонкая непрерывный линия первого дня соответствует 90% выполнения плана и занимает четыре с половиной ячейки, а линия второго дня - 80% и занимает четыре клетки, линия третий день протянулась ровно на пять, а четвертого - на пять ячеек (100%) плюс еще дополнительный отрезок ниже, который занимает 20% и т.п.

Изображение уровня выполнения плана нарастающим итогом требует некоторых дополнительных расчетов. Так, за первый день сплошная жирная линия будет такой длины, как и тонкая непрерывный - 90% и займет четыре с половиной клетки. Далее следует сделать следующие расчеты: за два дня фактически выполнено 513 м 2 (225 + 288). Из этой суммы 250 м 2 относят в счет выполнения плана за первый день. Тогда в счет второго дня останется 263 м 2, что согласно плану в этот день составляет 91% (263 288).

Согласно жирная линия занимает пять ячеек первого дня и 91% второго. За три дня фактически было выполнено 923 м 2 (225 + 288 + 410). В счет выполнения плана первых двух дней записывается 610 м 2, а в счет третьего дня - 313 м 2, что согласно плану на этот день составляет 76% (313: 410). Жирная линия займет по 5 ячеек первого и второго дней и 76% третьему. Аналогично проводятся все дальнейшие расчеты. Степень выполнения плана за каждый день на жирной линии сказывается точками.

Колонке диаграммы - очень распространенный вид графиков в одном измерении благодаря их наглядности и простоте. Статистические данные в них изображаются в виде прямоугольников одинаковой ширины, расположенных вертикально по горизонтальной прямой (рис. 10.6).

Высота столбиков должна соответствовать величине изображенных явлений. Если же столбики размещают горизонтально, то такой график называется ленточным (рис. 10.7).

Колонке и ленточные диаграммы позволяют сравнивать величины разного значения, характеризовать одно и то же явление в динамике; характеризовать совокупность.

Секторные диаграммы (или круговые) - диаграммы, предназначенные для отображения структуры исследуемых явлений и процессов. Они изображаются в виде круга, разделенного на сектора, величины которых соответствуют размерам изображаемых явлений (рис. 10.8).

Как свидетельствуют данные графика (рис. 10.8), основным источником финансирования лизинговых операций в Украине выступают банковские кредиты (80,9%), затем - собственные средства (16,1%). Заемные средства юридических лиц составляют лишь 3,6%.

Рис. 10.6. Динамика объема инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 pp., В фактических ценах, млн грн

Рис. 10.7. Динамика объема инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 pp., В фактических ценах, млн грн

В современных условиях развития информационно-компьютерных систем появилась возможность строить графики с помощью пакетов компьютерных программ, в том числе электронных таблиц EXCEL, "Statistica-6" и др. Они удобны в использовании и значительно упрощают эту работу.

Рис. 10.8. Структура источников финансирования лизинговых операций в Украине на начало 2005 p.,%

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Условие задачи

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В - 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Условие задачи

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

Пример отсутствия решения

Условие задачи

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.