Линейното програмиране използва графичен метод за дефиниране на изпъкнали множества (полиедър на решението). Ако основният проблем за линейно програмиране има оптимален дизайн, тогава целевата функция придобива стойност в един от върховете на полиедъра на решението (виж фигурата).
Цел на услугата... С помощта на тази услуга е възможно да се реши задачата за линейно програмиране по геометричен метод в онлайн режим, както и да се получи решение на двойната задача (за оценка на оптималността на използването на ресурсите). Освен това в Excel се създава шаблон за решение.
Инструкция. Изберете броя на редовете (броя на ограниченията).
Ако броят на променливите е повече от две, е необходимо системата да се приведе в SZLP (виж пример и пример №2). Ако ограничението е двойно, например 1 ≤ x 1 ≤ 4, то се разделя на две: x 1 ≥ 1, x 1 ≤ 4 (т.е. броят на редовете се увеличава с 1).Можете също така да изградите осъществимо решение (ADR), като използвате тази услуга.
Следното също се използва с този калкулатор:
Симплексен метод за решаване на LPP
Решение на транспортния проблем
Матрично решение за игра
Използвайки услугата онлайн, можете да определите цената на матрична игра (долни и горни граници), да проверите наличието на седловина, да намерите решение на смесена стратегия, като използвате следните методи: минимакс, симплексен метод, графичен (геометричен) метод, метод на Браун.
Екстремум на функция от две променливи
Изчисляване на лимити
Решаването на задачата за линейно програмиране чрез графичния метод включва следните стъпки:
- Върху равнината X 1 0X 2 са начертани прави линии.
- Определят се полуравнини.
- Определете многоъгълника на решението;
- Конструирайте вектор N (c 1, c 2), който указва посоката на целевата функция;
- Преместете директната целева функция c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 в посока на вектора N към крайната точка на многоъгълника на решението.
- Изчисляват се координатите на точката и стойността на целевата функция в тази точка.
Пример. Фирмата произвежда два вида продукти - P1 и P2. За производството на продукти се използват два вида суровини - C1 и C2. Цената на едро на единица продукция е равна на: 5 CU. за P1 и 4 бр за P2. Разходът на суровини за единица продукти от тип P1 и тип P2 е даден в таблицата.
Таблица - Разход на суровини за производство
Необходимо е да се дефинират:
Колко продукта от всеки тип трябва да произвежда компанията, за да максимизира приходите от продажба на продукти?
- Формулиране на математически модел на задача за линейно програмиране.
- Решете проблема с линейното програмиране графично (за две променливи).
Нека формулираме математически модел на задачата за линейно програмиране.
x 1 - производство на продукти P1, бр.
x 2 - производство на продукти P2, бр.
x 1, x 2 ≥ 0
Ограничения на ресурсите
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6
Ограничения на търсенето
x 1 +1 ≥ x 2
х 2 ≤ 2
Обективна функция
5x 1 + 4x 2 → макс
Тогава получаваме следния LPP:
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
х 2 ≤ 2
x 1, x 2 ≥ 0
5x 1 + 4x 2 → макс
Пример 6.1.
Решение:
Задачата за линейно програмиране е дадена в стандартна форма и следователно има два проектни параметъра
Възможно е да се реши чрез геометричен метод.
Етап 1: ( SDT ).
Помислете за първото ограничение, заменете знака за неравенство със знак за равенство и изразете променливата х2през x1:
.
По същия начин определяме точките за останалите ограничения на системата и построяваме прави, съответстващи на всяко неравенство (фиг. 1). Правите линии се номерират по приетата по-рано схема.
Етап 2: .
Нека дефинираме полуравнини - решения на всяко от неравенствата.
Да разгледаме първото неравенство на системата от ограничения на задачата. Вземете някаква точка (контролна точка), която не принадлежи на правата, съответстваща на това неравенство, например точката (0; 0). Заместваме го в разглежданото неравенство:
При заместване на координатите на контролната точка неравенството остава вярно. Следователно множеството точки, принадлежащи на тази права линия (тъй като неравенството не е строго), както и тези, разположени под него, ще бъдат решения на разглежданото неравенство (отбелязваме на графиката (фиг. 1) намерената половина -равнина с две стрелки надолу до правата линия аз ) .
По същия начин, ние дефинираме решения на други неравенства и ги маркираме в графиката съответно. В резултат на това графиката ще изглежда така:
Етап 3: .
Намерените полуравнини (решения на всяко от неравенствата на системата от ограничения) в тяхното пресичане образуват многоъгълник ABCDEO, което е ODR на разглеждания проблем.
Ориз. 1. Област на възможните решения на проблема
Етап 4:
Градиентният вектор показва посоката на максимизиране на целевата функция. Нека дефинираме неговите координати: координати на началната му точка (точка на приложение) - (0; 0), координати на втората точка:
Нека построим този вектор върху графиката (фиг. 2).
Етап 5: .
Помислете за целевата функция на тази задача:
.
Нека му дадем някаква стойност, например. Нека изразим променливата х2през x1:
.
За да построим права линия според това уравнение, ние задаваме две произволни точки, например:
Нека построим права линия, съответстваща на целевата функция (фиг. 2).
Ориз. 2. Построяване на целевата функция F (X) и градиентния вектор С
Етап 6: определяне на максимума на целевата функция.
Движение направо Ф(х) успоредно на себе си в посока на градиентния вектор, ние дефинираме крайната точка (точки) на ODR. Според графиката (фиг. 3) такава точка е точка C - точката на пресичане на прави линии аз и II .
Ориз. 3. Определяне на максималната точка на целевата функция F (X)
Определете координатите на точка C, за тази цел решете следната система от линейни уравнения:
Заместете намерените координати в целевата функция и намерете нейната оптимална (максимална) стойност:
Отговор:при дадените ограничения максималната стойност на целевата функция Ф(NS) = 24, което се достига в точка C, чиито координати x1=6, х2=4.
Пример 6.2.Решете задачата за линейно програмиране по геометричния метод:
Решение:
Стъпки 1-3 са подобни на съответните стъпки в предишната задача.
Етап 4: изграждане на вектор-градиент.
Конструирането на градиентния вектор се извършва по същия начин, както в предишната задача. Нека построим този вектор върху графиката (фиг. 4). Също така отбелязваме на тази графика със стрелка посоката, противоположна на градиентния вектор - посоката на минимизиране на целевата функция Ф (х).
Етап 5: изграждане на пряка целева функция.
Построяване на пряка целева функция Ф(х) се извършва по същия начин, както в предходната задача (резултатът от конструирането е показан на фиг. 4).
Ориз. 4. Построяване на целевата функция F (x) и градиентния вектор С
Етап 6: определяне на оптимума на целевата функция.
Движение направо Ф(х) успоредно на себе си в посока, противоположна на градиентния вектор, определяме крайната точка (точки) на ODR. Според графиката (фиг. 5) такава точка е точка О с координати (0; 0).
Ориз. 5. Определяне на минималната точка на целевата функция
Замествайки координатите на минималната точка в целевата функция, ние определяме нейната оптимална (минимална) стойност, която е равна на 0.
Отговор:при дадените ограничения минималната стойност на целевата функция Ф(NS) = 0, което се постига в точка O (0; 0).
Пример 6.3.Решете следната задача за линейно програмиране по геометричен метод:
Решение:
Разглежданият проблем за линейно програмиране е даден в канонична форма, нека отделим основните променливи х 1 и х2 .
Нека съставим разширена матрица и да изберем основните променливи по метода на Джордан-Гаус х1 и х 2 .
Нека умножим (елемент по елемент) първия ред по –3 и го добавим с втория: 
.
Нека умножим втория ред по:
.
Добавете втория към първия ред:
.
В резултат на това системата от ограничения ще приеме следната форма:
Нека изразим основните променливи чрез свободни:
Ние също така изразяваме целевата функция чрез свободни променливи, като за това заместваме получените стойности на основните променливи в целевата функция:
Нека напишем получения проблем за линейно програмиране:
Тъй като променливите х1 и х2 са неотрицателни, тогава получената система от ограничения може да бъде записана в следния вид:
Тогава оригиналният проблем може да бъде написан като следния еквивалентен на него стандартен проблем за линейно програмиране:
Тази задача има два конструктивни параметъра, следователно може да бъде решена чрез геометричен метод.
Етап 1: изграждане на линии, ограничаващи областта на възможните решения ( SDT ).
Помислете за системата от ограничения за проблема с линейното програмиране (за удобство ще изброим неравенствата):
Нека построим прави, съответстващи на всяко неравенство (фиг. 6). Правите линии се номерират по приетата по-рано схема.
Етап 2: определяне на решението на всяко от неравенствата на системата от ограничения.
С помощта на контролните точки дефинираме полуравнините - решенията на всяко от неравенствата и ги маркираме на графиката (фиг. 6) със стрелките.
Етап 3: дефиниция на ODR на проблем за линейно програмиране.
Намерените полуравнини (т.е. решенията на всяко от неравенствата на системата от ограничения) нямат общо пресичане (така че решенията на неравенството I противоречат като цяло на други неравенства на системата от ограничения), следователно, системата от ограничения не е съвместима и следователно проблемът с линейното програмиране няма решение.
Ориз. 6. Фрагмент от документа MathCAD:
изграждане на областта на възможните решения на проблема
Отговор:разглежданата задача за линейно програмиране няма решение поради несъвместимост на системата от ограничения.
Ако след заместване на координатите на контролната точка в неравенството нейното значение е нарушено, тогава решението на това неравенство е полуравнина, която не съдържа тази точка (т.е. разположена от другата страна на правата линия).
Посоката, противоположна на градиентния вектор, съответства на посоката на минимизиране на целевата функция.
Графичните изображения са важен метод за научен анализ на статистическия материал. Първите опити за използване на графични методи в икономическите изследвания започват през 1780-те години. Графичният метод обаче получава по-широко приложение по-късно - в средата на 18-ти век, особено след като за първи път в историята на статистиката прави представителя на Берлинското статистическо бюро Швабе "Теория на графичните изображения" на 8-та международна Статистически конгрес (Петербург, 1872 г.). Според добре познатия израз на немския физик Ф. Ауербах, XX век. бе белязан от „триумфалния ход на графичния метод в науката“.
Какво е графика? Графиката е форма на визуално представяне на статистически данни за социално-икономически явления и процеси чрез геометрични изображения, чертежи или схематични географски карти и обяснения към тях.
Графиката има пет основни елемента от цялостната структура: поле, координатна мрежа, графични символи и тяхното разположение в графичното поле, мащаб и експликация (фиг. 10.3).
Ориз. 10.3. Основните елементи на диаграмата
Всеки от тези елементи има свое собствено предназначение и играе съответна роля в изграждането и интерпретацията. Графичното поле е пространство, в което се поставят геометрични и други знаци, които съставляват графично изображение.
Графичното изображение е съвкупност от различни символични знаци, с помощта на които се отразяват статистически данни. Тези знаци могат да бъдат изобразени във форми: линии, точки, геометрични, графични и понякога негеометрични форми.
Координатната мрежа е правоъгълна координатна система, в която времето е нанесено по оста на абсцисата, а индикаторите на мащаба по оста на ординатите.
Мащабът е условна мярка за преобразуване на числена стойност на статистическо явление в графична и обратно. Той служи за задаване на числените стойности на явленията, изразени на графиката.
Експликацията на графиката е словесно обяснение на нейното специфично съдържание, което обикновено включва:
1) заглавие с необходимите допълнителни обяснения;
2) точното обяснение на същността е условно предоставено в тази графика на нейните графични знаци (геометрични, графични, фонови, чисто конвенционални)
3) други обяснения, бележки и др.
В допълнение към полето на графиката може да се приложи някаква допълнителна информация, например цифрови данни, които засягат някои графични знаци и повтарят в цифров вид точните им стойности, изразени графично.
Графиките играят особено важна роля при изследването на сложни взаимовръзки на социално-икономическите явления и процеси, идентифициране на тенденции, закономерности и промени в показателите на динамиката, както и в текущия анализ. Основните разлики и предимства на графичния метод в сравнение с другите са: по-добра яснота; способността за общо покриване на данните от изследваното; способността да се изразят някои аналитични зависимости, които не са много ясни и трудни за идентифициране по други начини за представяне на данни.
С помощта на графици можете да извършвате оперативен контрол върху производството, продажбите на продукти, изпълнението на договорните задължения и възложените задачи. По този начин графиците се задават:
Да обобщава и анализира данни;
Изображение за разпространение на данни;
Разкриване на закономерностите на развитие на изследваните явления и процеси в динамиката;
Отражение на връзката на показателите;
Контрол върху производството, изпълнение на договори за продажба на продукти и други подобни.
Съществуват различни класификации на графиките - според формата на графичните изображения, според съдържанието, естеството на поставените задачи.
Следните видове графики се различават по формата на графичните изображения:
1) точка;
2) линейни;
3) равнинен;
4) обемни;
5) художествен (изобразителен, конвенционален).
В диаграмите на разсейване обемът на популацията се изразява или като една точка, или като натрупване на точки. Една точка може да представлява едно събитие или няколко (напр. едно предприятие, 500 работници).
Линейните графики се състоят от една линия: прави сегменти, прекъснати линии, стъпаловидни, плавни криви (предимно за предаване на динамиката на населението). Често отсечките от прави линии се заменят с ивици със същата ширина, които също действат като графични знаци, но в едно измерение (дължина). В такива случаи графиките се наричат лентови графики, ако ивиците са поставени вертикално, или лентови графики, когато ивиците са хоризонтални.
От своя страна колонните диаграми са разделени на колонна диаграма: проста и плътна, от групи от ленти и т.н., а лентовидните диаграми са разделени на лентови диаграми: прости и стъпкови диаграми, компонентни момчета, плъзгащи се, двустранно насочени (напр. "възрастовата пирамида" на състава на населението) ...
Специалните видове линейни графики включват спирални (за явления, които се развиват неограничено във времето и с нарастваща величина), радиални диаграми (за показване на модели на периодично повтарящи се явления, техния ритъм, сезонност).
Равнините са диаграми с две измерения под формата на равнини с различни геометрични форми. В зависимост от това те могат да бъдат квадратни, кръгли, секторни. Препоръчително е да използвате тези графики за сравняване на явленията, представени чрез абсолютни и относителни стойности.
Важни характеристики на планарните графики са двуизмерният "знак на Варзар", лентова или поточна диаграма и балансова диаграма.
Двуизмерният "знак на Варзар" (наречен на своя изобретател, руския статистик В. Е. Варзар) е правоъгълник с основа a, височина b и площ Sab, който е полезен за графично изразяване на доста често сходни съотношения на три величини a, от С.
Лентовата или текущата диаграма се използва за схематично изразяване на обема и състава на товарните потоци между две точки в едната и втората посока.
Балансовата диаграма е двустранна лентова диаграма, чиито ленти се разклоняват в две посоки в по-тесни ивици, като тяхната ширина изразява съответните стойности на позиции на приходи и разходи, позиции на активи и пасиви и други подобни.
Обемни - 3D графики, които се използват рядко, защото са по-малко изразителни от линейните и равнинните.
Художествени (изобразителни, конвенционални) - графики с конвенционални графични знаци, които отразяват съвкупността или отделните й значения под формата на човешки фигури, животински контури, схематични рисунки на обекти и др.
Класификацията на графиките по тяхното съдържание е от голямо значение. Имайки предвид това, графиките се разделят на два класа - диаграми и статистически карти.
Диаграмата е графичен израз на обемите и характеристиките на един или повече агрегати с помощта на количествени графични знаци (геометрични, художествени, фонови, чисто конвенционални).
Диаграмата обаче не дава графично представяне на териториалното разпределение на изобразените агрегати или териториалната промяна в техните характеристики. За целта се използват статистически карти за изобразяване на териториалното разпределение на популациите или териториалната промяна на техните характеристики. Те се разделят на два класа – картограми и картодиаграми.
Картограмите са контурни географски карти, на които с помощта на графични знаци са представени количествените териториални характеристики на населението.
Картографските диаграми са контурни географски карти, където отделни зони (райони, точки) на територията са нанесени с еднакъв тип диаграма (една или няколко), изобразяващи обема и териториалните характеристики на един и същи вид агрегати в тези райони. Така например са изобразени потоците от стоки, превозвани от пътници, населението, мигриращите и други подобни.
Графиките и статистическите карти изпълняват такива важни задачи при изследването на населението:
Общи сравнения между тях;
Проучване на структурата;
Изучаване на динамиката;
Изучаване на връзката на техните знаци;
Измерване на степента на изпълнение на бизнес планове, договорни задължения в плановата и икономическата практика.
От своя страна и диаграмите, и картограмите, в зависимост от предназначението им, се разделят на подкласове, групи и форми (Таблица 10.27).
При конструирането на графики трябва да се спазват следните изисквания:
1) разчитат на надеждни цифрови данни;
2) графиката трябва да бъде смислена като дизайн и интересна по съдържание;
3) трябва да бъдат изградени в съответствие с възложените задачи и практическото им предназначение;
4) бъдете изключително икономични – съдържат максимум информация, идеи с минимум средства за тяхното графично изразяване, прости, ясни, разбираеми;
5) технически добре изпълнен.
Нека разгледаме по-подробно основните видове и форми на диаграми и статистически карти, които най-често се използват в практиката на аналитичната работа.
Линейната диаграма е един от най-разпространените видове графики, който служи за изобразяване на динамиката на изследваните явления. За неговото изграждане се използва правоъгълна координатна система. На абсцисата се нанасят равни интервали - периоди от време (дни, месеци, години и т.н.), а на ординатата - се приема скала, която характеризира мерните единици. Върху координатното поле се прилагат точки, равни на стойността на индикатора за определен период. Тогава всички точки се свързват с прави линии, в резултат на което се получава прекъсната линия, която характеризира изменението на изследваното явление за определен период от време (табл. 10.28, фиг. 10.4).
|
Подклас |
Разновидности и графична форма, най-често срещани |
||
|
диаграми |
I. Диаграми на общо сравнение на популациите |
1.хомогенни агрегати |
Колона, лента, художествена |
|
2. Различни популации |
Колона, лента, равнинна |
||
|
II. Структурни диаграми |
1. Диаграми на разпределение на населението |
Многоъгълник, хистограма, кумулатив, огив, крива на разпределение, график на Лоренц, корелационно поле |
|
|
2. Диаграми за групи |
Столкови диаграми, ленти, разделени на абсолютни или процентни части, кръгови диаграми, балансови диаграми, "възрастова пирамида" и др. |
||
|
III. Динамични диаграми |
1. Диаграми на динамиката на обемите |
Колонни, линейни, кумулативни, спираловидни, художествени диаграми |
|
|
2. Диаграми на динамиката на структурата |
Столкови диаграми с процентни деления, в кръгове с разделяне на сектори и т.н. |
||
|
3. Диаграми на сезонни колебания |
Линейни, лентови, радиални диаграми |
||
|
IV. диаграми взаимовръзки знаци |
1. Диаграми за конфигурация на съзвездието |
Петно, фон |
|
|
2. Диаграми на комуникационните форми |
Начупени или гладки извивки |
||
|
3. Диаграми на степента на плътност на комуникацията |
Затворени контури на корелационното поле под формата на стъпаловидни прекъснати линии или елипсовидни криви и др. |
||
|
V. Схеми на изпълнение на плановете |
1. Схеми на текущо изпълнение |
Линейни диаграми, диаграми на Гант |
|
|
2. Графики за напредъка от началото на периода |
Кумулати, кумулативни диаграми на Гант, диаграми на Лоренц |
||
|
Статистически карти |
Vi. Картограми |
1. Картограми на разпределение на единици население |
Точкови картограми |
|
2. Картограми на разположение на съвкупния обем на знаците |
Точкови картограми |
||
|
3. Картограми на промените в обобщените характеристики |
Точкови, фонови картограми |
||
|
4. Картограми на изолинии |
Линейни картограми |
||
|
5. Центрограми |
Точкови картограми |
Таблица 10.28. Инвестиции в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна през 2000-2005 г. стр., в реални цени, милиона UAH
Данните от графиката показват, че обемът на инвестициите в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна в реални цени е нараснал от 2000 до 2005 г.
Ориз. 10.4. Динамика на обема на инвестициите в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна през 2000-2005 г., в реални цени, милиона UAH
Линейните графики се изграждат върху специално проектирана решетка, където единиците за време са разположени хоризонтално, а изследователските обекти са разположени вертикално. Освен това всеки хоризонтален сегмент отговаря на 100% изпълнение на планираната задача. Тези сегменти са разделени на 5 равни части, всяка от които отговаря на 20% от планираната цел.
Степента на изпълнение на плана на графиката е изобразена с две линии: тънка пунктирана линия - за единица време (ден, десетилетие) и плътна удебелена линия - за отчетния период като цяло.
Нека разгледаме процедурата за конструиране на планов график с помощта на пример.
Пример. Изградете линеен график за изпълнение на планираната задача от екип от работници от СМР, като използвате данните в табл. 10.29.
Таблица 10.29. Изпълнение на планираната задача от екип от работници от СМР
Графикът за изпълнение на планираната задача от екип от строители за СМР е показан на фиг. 10.5.
Тънката непрекъсната линия на първия ден съответства на 90% от плана и заема четири клетки и половина, а линията на втория ден - 80% и заема четири клетки, линията на третия ден се простира точно на пет, а четвъртата - пет клетки (100%) плюс допълнителен сегментът по-долу, който заема 20% и т.н.
Кумулативното показване на нивото на изпълнение на плана изисква някои допълнителни изчисления. И така, през първия ден плътната удебелена линия ще бъде толкова дълга, колкото тънката непрекъсната линия - 90% и ще отнеме четири клетки и половина. Освен това трябва да се направят следните изчисления: за два дни действително бяха завършени 513 m2 (225 + 288). От това количество 250 м 2 са включени в изпълнението на плана за първия ден. Тогава за сметка на втория ден ще има 263 m 2, което според плана за този ден е 91% (263 288).
Според удебеления ред той заема пет клетки през първия ден и 91% на втория. За три дни реално бяха завършени 923 м2 (225 + 288 + 410). За изпълнение на плана за първите два дни се записват 610 m 2, а за третия ден 313 m 2, което според плана за този ден е 76% (313: 410). Удебелата линия ще заема 5 клетки през първия и втория ден и 76% в третия. Всички следващи изчисления се извършват по същия начин. Степента на изпълнение на плана за всеки ден на удебелата линия е обозначена с точки.
Колонна диаграма- много често срещан тип графики в едно измерение поради тяхната яснота и простота. Статистическите данни в тях са изобразени под формата на правоъгълници със същата ширина, разположени вертикално по хоризонтална линия (Фигура 10.6).
Височината на лентите трябва да съответства на величината на изобразените явления. Ако лентите са разположени хоризонтално, тогава такава диаграма се нарича лентова диаграма (Фигура 10.7).
Диаграмите с колони и ленти ви позволяват да сравнявате стойности на различни стойности, да характеризирате едно и също явление в динамиката; характеризират съвкупността.
Кругови диаграми (или кръгови) - диаграми, предназначени да показват структурата на изследваните явления и процеси. Те са изобразени под формата на кръг, разделен на сектори, чиито стойности съответстват на размерите на изобразените явления (фиг. 10.8).
Според данните на графиката (фиг. 10.8), основният източник на финансиране за лизингови операции в Украйна са банковите заеми (80,9%), след това - собствените средства (16,1%). Привлечените средства на юридически лица представляват едва 3,6%.
Ориз. 10.6. Динамика на обема на инвестициите в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна през 2000-2005 г. стр., в реални цени, милиона UAH
Ориз. 10.7. Динамика на обема на инвестициите в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна през 2000-2005 г. стр., в реални цени, милиона UAH
В съвременните условия на развитие на информационни и компютърни системи стана възможно изграждането на графики с помощта на софтуерни пакети, включително електронни таблици EXCEL, "Statistica-6" и др. Те са удобни за използване и значително опростяват тази работа.
Ориз. 10.8. Структура на източниците на финансиране за лизингови операции в Украйна в началото на 2005 г. п.,%
Графичният метод е доста прост и интуитивен за решаване на задачи за линейно програмиране с две променливи. Тя се основава на геометричнапредставяне на възможни решения и CF на проблема.
Всяко от неравенствата на задачата за линейно програмиране (1.2) дефинира определена полуравнина на координатната равнина (фиг. 2.1), а системата от неравенства като цяло определя пресечната точка на съответните равнини. Множеството от пресечни точки на тези полуравнини се нарича област на осъществими решения(ODR). SDT винаги представлява изпъкналфигура, т.е. която има следното свойство: ако две точки A и B принадлежат на тази фигура, то целият отсечка AB й принадлежи. ODR може да бъде графично представен чрез изпъкнал многоъгълник, неограничен изпъкнал многоъгълен регион, сегмент, лъч или една точка. В случай на несъответствие на системата от ограничения за задача (1.2), ODR е празно множество.
Всичко по-горе важи и за случая, когато системата от ограничения (1.2) включва равенства, тъй като всяко равенство
може да се представи като система от две неравенства (виж фигура 2.1)
DF при фиксирана стойност дефинира права линия върху равнината. Променяйки стойностите на L, получаваме семейство от успоредни линии, наречени нива на линии.
Това се дължи на факта, че промяната в стойността на L ще доведе до промяна само в дължината на сегмента, отрязан от линията на нивото на оста (първоначална ордината), а наклонът на правата линия ще остане постоянен ( виж Фигура 2.1). Следователно, за да го решите, ще бъде достатъчно да построите една от линиите на ниво, като произволно изберете стойността L.
Вектор с координати от CF коефициентите при и е перпендикулярен на всяка от линиите на ниво (виж фиг. 2.1). Посоката на вектора е същата като посоката се увеличава CF, което е важен момент за решаване на проблеми. Посока намаляващи CF е противоположна на посоката на вектора.
Същността на графичния метод е следната. В посоката (срещу посоката) на вектора в ODR се извършва търсенето на оптималната точка. Оптималната точка е точката, през която минава линията на ниво, съответстваща на най-голямата (най-малката) стойност на функцията. Оптималното решение винаги се намира на границата на ODR, например, в последния връх на ODR многоъгълника, през който преминава целевата линия, или от цялата му страна.
При търсене на оптимално решение на задачи за линейно програмиране са възможни следните ситуации: има уникално решение на проблема; има безкраен брой решения (алтернативен оптимум); CF не е ограничен; площта на допустимите решения е единствената точка; задачата няма решения.
Фигура 2.1 Геометрична интерпретация на ограниченията и CF на проблема.
Методика за решаване на ЛП задачи по графичен метод.
I. В ограниченията на задача (1.2) заменете знаците на неравенствата със знаците на точните равенства и построете съответните линии.
II. Намерете и засенчете полуравнини, които са разрешени от всяко от ограниченията на неравенството на задача (1.2). За да направите това, трябва да замените координатите на точка [например (0; 0)] в определено неравенство и да проверите истинността на полученото неравенство.
Аконеравенството е вярно,
тогаванеобходимо е да се засенчи полуравнината, съдържаща дадената точка;
в противен случай(неравенството е невярно) е необходимо да се засенчи полуравнината, която не съдържа дадената точка.
Тъй като и трябва да са неотрицателни, техните допустими стойности винаги ще бъдат над оста и вдясно от оста, т.е. в квадрант I.
Ограниченията за равенство позволяват само онези точки, които лежат на съответната права. Следователно е необходимо да се подчертаят такива прави линии на графиката.
III. Дефинирайте ODR като част от равнина, която принадлежи към всички разрешени зони едновременно, и го изберете. При липса на IDT проблемът няма решения.
IV. Ако ODR не е празен набор, тогава трябва да изградите целева линия, т.е. която и да е от линиите на ниво (където L е произволно число, например, кратно на и, т.е. удобно за извършване на изчисления). Методът на изграждане е подобен на конструирането на директни ограничения.
V. Конструирайте вектор, който започва в точка (0; 0) и завършва в точка. Ако целевата линия и векторът са конструирани правилно, тогава те ще бъдат перпендикулярно.
Vi. При търсене на максимума на CF е необходимо да преместите целевата линия в посокатавектор, когато се търси минимума от CF - срещу посокавектор. Последният връх на ODR в хода на движение ще бъде точката на максимума или минимума на CF. Ако такава точка (точки) не съществува, тогава можем да заключим, че неограниченост на CF върху набора от плановеотгоре (при търсене на максимум) или отдолу (при търсене на минимум).
VII. Определете координатите на точката max (min) DF и изчислете стойността на DF. За да се изчислят координатите на оптималната точка, е необходимо да се реши системата от уравнения на правите линии, в пресечната точка на които е.
Графичните методи се свързват предимно с геометричното представяне на функционалната зависимост с помощта на линии в равнина. Графиките се използват за бързо намиране на стойността на функциите по съответната стойност на аргумента, за визуално представяне на функционалните зависимости.
В икономическия анализ се използват почти всички видове диаграми: сравнителни диаграми, диаграми с времеви редове, криви на разпределение, диаграми на корелационни полета, статистически картограми. Особено широко разпространени в анализа са сравнителните диаграми – за съпоставяне на отчетени показатели с планови, на предходни периоди и напреднали предприятия на местно или чуждестранно ниво. За да се визуализира динамиката на икономическите явления (а при анализа с времеви редове трябва да се занимавате много често), се използват диаграми на времеви редове.
С помощта на координатна мрежа се изграждат графики на зависимостта, например, нивото на разходите от обема на произведените и продадените продукти. графики, на които можете да изобразите корелации между индикаторите. В координатната система изображението показва влиянието на различни фактори върху конкретен индикатор.
Графичният метод се използва широко за изучаване на производствени процеси, организационни структури, процеси на програмиране и т.н. Например, за да се анализира ефективността на използването на производствено оборудване, се изграждат изчислителни графики, включително графики на множество фактори.
Легенда: всеки кръг се счита за един от върховете на графиката; номерът в горния сектор на всеки връх означава неговия пореден номер; от числата на два съседни върха се добавя работният шифър; числото в долния сектор на всеки връх е поредният номер на предишния връх, а линията, свързваща тези два върха, показва определена работа. Под чертата е планираната продължителност на тази работа; цифрата в левия сектор на всеки връх означава общата продължителност на всички предишни работи, цифрата в десния сектор се различава от цифрата в левия с размера на резерва (резерв за време). По този начин за върховете, лежащи на критичния път, числата в левия и десния сектор на върха съвпадат, тъй като границата на времето е 0.
В една математически формализирана система за анализ, планиране и управление мрежовите диаграми заемат специално място. Те дават голям икономически ефект при строителството и монтажа на промишлени и други предприятия.
Мрежовата диаграма (фиг. 6.1) ви позволява да подчертаете най-важните по критичния път от целия комплекс от работа и да съсредоточите върху тях основните ресурси на строително-монтажните организации, да установите връзки между различни специализирани организации и да координирате тяхната работа . Работата на критичния път изисква най-дългото чакане за следващото събитие. На етапа на оперативен анализ и управление мрежовият график дава възможност за ефективно наблюдение на напредъка на строителството, вземане на навременни мерки за отстраняване на възможни забавяния в работата.
Използването на мрежови диаграми за анализ, планиране и управление осигурява, както показват много примери, намаляване на времето за строителство с 20-30%, повишаване на производителността на труда с 15-20%.
При анализа, извършван директно на строителни обекти, използването на материали за планиране и управление на мрежата допринася за правилното идентифициране на причините, влияещи върху хода на строителството, и идентифицирането на предприятия, които не осигуряват изпълнението на поверената им работа или доставката на оборудването в срока, определен от графика.
Разработването на мрежов график в строителството се извършва при наличие на: норми за продължителност на строителството и срока за въвеждане в експлоатация на обект или комплекс от обекти, проектни оценки, проект за организиране на строителство и производство на работа, стандартен поток диаграми, актуални норми на разходите за труд, материали и работа на машината. Освен това при съставянето на графика се използва опитът от извършване на отделни работи, както и данни за производствената база на строително-монтажните организации.
Въз основа на всички тези данни се съставя таблица на работите и ресурсите, където техните характеристики, обем, интензивност на труда в човекодни, изпълнител (организация и екип), брой работници, смени, нужда от механизми и материали, източници на тяхното получаване са посочени в технологичната последователност на работа, общата продължителност на работата в дни, както и предишната задача, след края на която можете да започнете тази работа. Въз основа на показателите на такава таблица се изготвя мрежов график, който може да има различна степен на детайлност в зависимост от приетата производствена схема.
работно ръководство и ниво на управление; в допълнение към общия график изпълнителите разработват график за работата, която изпълняват.
Основните елементи на мрежовия график: събитие, работа, чакане, зависимост.
При анализиране на напредъка на строителството на обект трябва да се установи дали мрежовият график е съставен правилно, дали критичният път не е надценен, дали всички възможности за неговото намаляване са взети предвид при оптимизиране на графика , дали е възможно паралелно извършване на някаква работа или намаляване на времето, изразходвано за тях чрез увеличаване на средствата за механизация и др. Това е особено важно в случаите, когато продължителността на работата по график не осигурява завършване на строителството в срок .
Основният материал за мрежово планиране, използван в анализа, е информация за напредъка на работата по график, който обикновено се изготвя поне веднъж на десетилетие. Като пример е дадена карта на заданието и информация за хода на работата по строителен обект, извършена съгласно мрежовия график (Таблица 6.1). Според картата критичната работа е била извършена в началото на месеца предсрочно, но след това е имало забавяне при монтажа на подкранови греди в ред Б, а последващата работа - монтаж на подкранови греди в ред А - е била завършен със закъснение от един ден.
Оптимизирането на мрежовите графици се извършва на етапа на планиране чрез намаляване на критичния път, т.е. минимизиране на времето на строителните работи при дадени нива на ресурси, минимизиране на нивото на потребление на материални, трудови и финансови ресурси с фиксирано време на строителните работи . Възможен е и смесен подход: за една част от работата (по-скъпа) - за минимизиране на нивото на потребление на ресурси с фиксирана времева рамка за работа, за другата - за минимизиране на времето при фиксирано ниво на ресурси.
Решаването на оптимизационни проблеми е значително улеснено от наличието на приложни софтуерни пакети (APP), адаптирани за компилиране на оптимални мрежови диаграми на компютър.
В чуждестранната практика на системния анализ е широко разпространен граф-математическият метод, наречен "дърво на решенията". Същността на този метод е следната.
Чрез предварителна оценка на потребностите, предварителен анализ на възможни организационни, технически или технологични условия се очертават всички предложени варианти за решаване на този проблем. Първоначално разработен
| | Упражнение | | Информация | Временен резерв за работа | бр ти |
|||||||
| име върши работа | шифър | дата започнете | дата край | планирано продължи | Re zerv време | % тези- | необходимо време за | в ранг | действителна дата | намиране крещящ | не се намира | резерв за време от |
| | върши работа | върши работа (план) | ния върши работа (план) | гражданин нещо, дни | аз | срам готов ност | край ния върши работа, дни | грабвам zhki | край ния върши работа | на критичния път | критичен път | началото на месеца, дни |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| Развитие на почвата | 1-2 | 1 / IV | 6 / IV | 5 | 0 | 100 | - | - | 6 / IV | ¦- | - | - |
| Бетониране на основи за котли | 2-3 | 7 / IV | 17 / 1V | 9 | 0 | 100 | 14 / IV | 2 | 2 |
|||
| Бетониране на основи в ред А | 2-4 | 7 / IV | 14 / 1V | 7 | 2 | 100 | 14 / IV | | | |
||
| Същото за ред Б | 2-5 | 7 / IV | 14 / IV | 7 | 2 | 100 | - | - | 14 / IV | | | |
| Тръбопроводно устройство | 6-18 | 18 / IV | 21 / IV | 4 | 19 | 100 | - | - | 29 / IV | -7 |
||
| Устройство за запълване | 6-7 | 18 / IV | 19 / IV | 2 | 0 | 100 | 17 / IV | 2 | 2 |
|||
| Монтаж на сглобяем стоманобетон | | | | | | | | | | | | |
| lonnes: на ред Б | 7-8 | 20 / IV | 22 / IV | 3 | 1 | 100 | - | - | 22 / IV | _ | - | - |
| на ред А | 7-9 | 20 / IV | 22 / IV | 3 | 1 | 100 | - | - | 22 / IV | - | - | - |
Изграждане на подкранови писти и монтаж на кулокран 7-10
Монтаж на подпорни рамки на основата за оборудване 7-16 Монтаж на подкранови греди:
на ред B 8-11
20 / IV 24 / IV 4
20 / IV 24 / IV 4
24 / IV 25 / IV 2
в ред А 10-12 25 / IV 26 / IV
Монтаж на първа част от греди и покривни плочи 12-13 27 / IV 4 / V
Монтаж на подкранови писти lt; 3 крана 12-14 27 / IV 3 / V
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 0 | 100 | - | - | 22 / IV | 1 | - | 1 |
| 14 | 100. | - | - | 29 / IV | - | -5 | - |
| 1 | 100 | на- | 27 / IV | -2 |
27 / IV -1
поддръжка с доставка на стоманобетонни конструкции
- 100 -
увеличени опции. След това, като се въвеждат допълнителни условия, всяко от тях се разделя на редица опции. Графичното представяне на тези опции ви позволява да изключите по-малко печелившите и да изберете най-приемливия.
Този метод може да се използва в нашата компания при определяне на реда за обработка на определени детайли на няколко машини с цел минимизиране на общото време за обработка; при определяне на размера на ресурсите за минимизиране на общите производствени разходи; при разпределение на капиталови инвестиции и други ресурси за промишлени съоръжения; при решаване на транспортни и други проблеми.
