Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.
Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:
- если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;
- если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;
- если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
- если некоторая переменная x j
не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными:
x 3 = x 3 + - x 3 - , где x 3 + , x 3 - ≥ 0 .
Пример 1 . Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:
min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ;
2x 2 - x 3 ≤ 5;
x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1;
2x 1 - x 2 ≤ -3;
x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.
Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x 4 , x 5 , x 6 . Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные x 4 , x 6 вводятся в левую часть со знаком "+", а во второе уравнение переменная x 5 вводится со знаком "-".
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1;
2x 1 - x 2 + x 6 = -3;
x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.
Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1;
-2x 1 + x 2 - x 6 = 3.
В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть отрицательными. Допустим, что x 1 = x 1 " - x 7 , где x 1 " ≥ 0, x 7 ≥ 0 .
Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и, записывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу линейного программирования, представленную в канонической форме:
L min = 2x 1 " + x 2 - x 3 - 2x 7 ;
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 " - x 2 + x 3 + x 5 + x 7 = 1;
-2x 1 " + x 2 - x 6 + 2x 7 = 3;
x 1 " ≥ 0; x i ≥ 0, i=2, 3, 4, 5, 6, 7.
Условие оптимальности базисного плана канонической задачи ЛП. Симплекс-метод и его сходимость.
Симплексный метод является универсальным, так как позволяет решать практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде.
Идея симплексногометода последовательного улучшения плана, заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному.
Значение целевой функции при этом перемещении для задач на максимум не убывает.
Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное опорное решение.
Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.
Алгоритм симплексного метода
1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.
2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность.
Для этого заполняем симплексную таблицу 1.
Все строки таблицы 1-го шагазаполняем по данным системы ограничений и целевой функции.
Возможны следующие случаи при решении задач на максимум:
1. Если все коэффициенты последней строки симплекс-таблицы Dj ³ 0, то найденное
решение оптимальное.
2 Если хотя бы один коэффициент Dj £ 0, но при соответствующей переменной нет ни одного положительного оценочного отношения, то решение задачи прекращаем , так как F(X) ® ¥ , т.е.целевая функция не ограничена в области допустимых решений.
Если хотя бы один коэффициент последней строки отрицателен, а при соответствующей переменной есть хотя бы одно положительное оценочное отношение, то нужно перейти к другому опорному решению.
4. Если отрицательных коэффициентов в последней строке несколько, то в столбец базисной переменной (БП) вводят ту переменную , которой соответствует наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.
5. Если хотя бы один коэффициент Dk < 0 ,то k - тый столбец принимаем за ведущий.
6. За ведущую строку принимаем ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов bi к положительным коэффициентам ведущего, k – того столбца.
7. Элемент, находящийся на пересечении ведущих строк и столбца, называется ведущим элементом.
Заполняем симплексную таблицу 2:
· заполняем базисный столбец нулями и единицей
· переписываем ведущую строку, разделив ее на ведущий элемент
· если ведущая строка имеет нули, то в следующую симплекс-таблицу можно перенести соответствующие столбцы
· остальные коэффициенты находим по правилу “прямоугольника”
Получаем новое опорное решение, которое проверяем на оптимальность:
Если все коэффициенты последней строки Dj ³ 0, то найденное решение максимальное.
Если нет, то заполняем симплексную таблицу 8-го шага и так далее.
Если целевая функция F(X) требует нахождения минимального значения , то критерием оптимальности задачи является неположительность коэффициентов Dj при всех j = 1,2,...n.
Сходимость симплекс-метода. Вырожденность в задачах ЛП. Важнейшим свойством любого вычислительного, алгоритма является сходимость, т. е. возможность получения в ходе его применения искомых результатов (с заданной точностью) за конечное число шагов (итераций).
Легко заметить, что проблемы со сходимостью симплекс-метода потенциально могут возникнуть на этапе выбора значения r (п. 2") в случае, когда одинаковые минимальные значения отношения
будут достигнуты для нескольких строк таблицы Т (q) одновременно. Тогда на следующей итерации столбец b(β(q+1)) будет содержать нулевые элементы.
Каноническая форма ЗЛП - задача линейного программирования вида ax = b где a - матрица коэффициентов, b - вектор ограничений.Назначение сервиса
. Онлайн-калькулятор предназначен для перехода ЗЛП к КЗЛП. Приведение задачи к канонической форме означает, что все ограничения будут иметь вид равенств, путем ввода дополнительных переменных.
Если на какую-либо переменную x j не наложено ограничение, то она заменяется на разность дополнительных переменных, x j = x j1 - x j2 , x j1 ≥ 0, x j2 ≥ 0.
Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word .
Как привести задачу линейного программирования к канонической формеМатематическая модель ЗЛП называется основной , если ограничения в ней представлены в виде уравнений при условии неотрицательности переменных.
Математическая модель называется канонической , если ее система ограничений представлена в виде системы m линейно независимых уравнений (ранг системы r=m), в системе выделен единичный базис , определены свободные переменные и целевая функция выражена через свободные переменные. При этом правые части уравнений неотрицательны (b i ≥ 0).
Переменные, входящие в одно из уравнений системы с коэффициентом один и отсутствующие в других уравнениях называются базисными неизвестными , а все другие - свободными .
Решение системы называется базисным
, если в нем свободные переменные равны 0, и оно имеет вид:
X баз = (0, 0; b 1 , …, b m), f(X баз) = c 0
Базисное решение является угловой точкой множества решений системы, т.е. определяет вершину многоугольника решений модели. Среди таких решений находится и то, при котором целевая функция принимает оптимальное значение .
Базисное решение называется опорным, если оно допустимо, т.е. все правые части уравнений системы (или неравенств) положительны b i ≥ 0.
Компактная форма канонической модели имеет вид:
AX = b
X ≥ 0
Z = CX(max)
Понятие допустимого решения, области допустимых решений, оптимального решения задачи линейного программирования
.
Определение 1
. Вектор X, удовлетворяющий системе ограничений ЗЛП, в том числе и условиям неотрицательности, если они имеются, называется допустимым решением ЗЛП.
Определение 2
. Совокупность всех допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
Определение 3
. Допустимое решение, для которого целевая функция достигает максимума (или минимума), называется оптимальным решением.
Пример №1
. Следующую задачу ЛП привести к каноническому виду: F(X) = 5x 1 + 3x 2 → max при ограничениях:
2x 1 + 3x 2 ≤20
3x 1 + x 2 ≤15
4x 1 ≤16
3x 2 ≤12
Модель записана в стандартной форме. Введем балансовые неотрицательные переменные x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , которые прибавим к левым частям ограничений-неравенств. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентами, равными нулю:
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 3 . Во 2-ом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 . В третьем неравенстве вводим базисную переменную x 5 . В 4-м неравенстве - базисную переменную x 6 .
Получим каноническую форму модели:
2x 1 + 3x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 20
3x 1 + 1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 15
4x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 + 0x 6 = 16
0x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 1x 6 = 12
F(X) = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 → max
Пример №2
. Найти два опорных решения системы
x 1 + 2x 4 - 2x 5 = 4
x 3 + 3x 4 + x 5 = 5
x 2 + 3x 5 = 2
Запись целевой функции и системы ограничений в различных задачах линейного программирования неодинаков: в одних задачах требуется найти минимум целевой функции, а в других – максимум; в одних случаях искомые переменные зависят от одного индекса, а в других – от двух; в одних задачах ограничения заданы в виде системы линейных неравенств, а в других – в виде системы линейных уравнений. На практике возможны также задачи, в которых часть ограничений имеет вид линейных неравенств, а часть – линейных уравнений. Также не во всех задачах может требоваться неотрицательность переменных .
Учет такого разнообразия задач линейного программирования требует разработки специальных методов для решения отдельных их классов. Мы же сосредоточим свое внимание на изучении общих свойств и методов линейного программирования, записанных в так называемой канонической форме.
Если в задаче линейного программирования система исходных ограничений приобретает вид уравнений типа
и нужно найти максимум линейной целевой функции
то считается, что задача линейного программирования записана в канонической форме.
Любую задачу линейного программирования можно легко свести к канонической форме. В общем случае для этого достаточно уметь, во-первых, свести задачу минимизации целевой функции к задаче ее максимизации, во-вторых, переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, и в-третьих, менять те переменные, которые не подчинены условию неотрицательности.
В
том случае, когда нужно найти минимум
функции
,
можно перейти к нахождению максимума
функции
,
поскольку справедливо утверждение:
.
Ограничение-неравенство
исходной задачи, которое
имеет вид
«
»
, можно превратить в ограничение-уравнение
путем добавления к его левой части
дополнительной неотрицательной
переменной, а ограничение-неравенство
вида «
»–
путем вычитания из его левой части
дополнительной неотрицательной
переменной.
Заметим, что количество введенных дополнительных неотрицательных переменных всегда равно количеству неравенств в исходной системе ограничений.
Введены дополнительные переменные имеют вполне конкретный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражаются расходы и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной показывает объем соответствующего неиспользованного ресурса.
Отметим
также, что если некоторая переменная
не подчиняется условию неотрицательности,
то ее нужно заменить двумя неотрицавтельными
переменными
и
,
приняв
.
Пример
.
Записать в
канонической форме следующую задачу
линейной оптимизации: найти минимум
функции
при
ограничениях
Решение
В данной задаче нужно найти минимум целевой функции, а система ограничений включает четыре неравенства. Для того, чтобы записать ее в канонической форме, нужно перейти от ограничений-неравенств к ограничениям-уравнениям, а также превратить целевую функцию.
Так
как количество неравенств, входящих в
систему ограничений задачи, равно
четырем, то этот переход должен быть
осуществлен с введением четырех
дополнительных неотрицательных
переменных. При этом во втором и четвертом
неравенствах стоит знак «
»
, поэтому к их левой части дополнительные
переменные добавляем. В первом и третьем
неравенствах – знак «
»,
значит от их левой части дополнительные
переменные вычитаем.
Также превращаем целевую функцию, поменяв все знаки на противоположные, и находим ее максимум.
Таким образом, данная задача линейного программирования будет записана в следующем каноническом виде:
найти
максимум функции
при
ограничениях
Аналитическим методом решения задачи линейного программирования является симплексный метод. Для его применения задачи ЛП, представленные различным образом, должны быть приведены к канонической форме. Задача линейного программирования, записанная в виде (2.1.1)-(2.1.3), представляет собой развернутую форму записи общей задачи линейного программирования (ЗЛП).
Канонической задачей линейного программирования (КЗЛГТ) будем называть следующую задачу:
при ограничениях, имеющих вид равенств,
Если для задачи в форме (2.3.1)-(2.3.4) выполняется условие т = п, то ее решение сводится к решению системы уравнений
- (2.3.2) . При этом задача не будет иметь решений, если условие
- (2.3.3) не выполняется или система уравнений не имеет решения.
условие т
- 1. Для перехода от задачи максимизации целевой функции (2.3.1) к задаче минимизации достаточно взять все коэффициенты Cj целевой функции с обратными знаками и решить полученную задачу на максимум. После нахождения максимума значение целевой функции надо взять с обратным знаком. Оптимальное решение останется прежним.
- 2. Для перехода от ограничения типа «меньше или равно» к равенству в него необходимо со знаком «плюс»:
3. Для перехода от ограничения типа «больше или равно» к равенству в него необходимо ввести дополнительную неотрицательную переменную со знаком «минус»:
При этом в каждое неравенство вводится своя (п + /)-я дополнительная переменная.
- 4. Все равенства, имеющие отрицательные свободные члены, делятся на -1, для того чтобы выполнялось условие (2.3.4).
- 5. Если на некоторую переменнуюXj не накладывается условие неотрицательности , то делают замену переменных Xj=х". - х" x"j > 0, х"> 0. В преобразованной задаче все переменные неотрицательные.
Имеет место утверждение, что любую ЗЛП можно привести к канонической форме.
Пример 2.3.1. Преобразуем задачу, приведенную в примере 2.2.2, в каноническую форму. Целевая функция и система ограничений выглядят следующим образом:
Введем в первое неравенство дополнительную переменную jc 3 > 0 со знаком «плюс», во второе х 4 > 0 со знаком «минус» и в третье х 5 > 0 также со знаком «плюс». В результате получим систему ограничений задачи в канонической форме:
При этих ограничениях нужно найти максимальное значение функции:
Рассмотрим экономический смысл дополнительных переменных в канонической задаче оптимального использования ресурсов.
Пример 2.3.2. Задача оптимального использования ресурсов (задача о коврах) [ 17 J.
В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов трех видов: труд (80 человекодней), сырье (480 кг) и оборудование (130 станкочасов). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и о доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл. 2.3.1.
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором ее общая стоимость будет максимальной.
Экономико-математическая модель задачи Переменные : х х,х 2 , х 3 , х 4 - количество ковров каждого типа. Целевая функция - это общая стоимость продукции, которую необходимо максимизировать:
Ограничения по ресурсам :
Приведем задачу к канонической форме, вводя дополнительные переменные х 5 , х 6
и х 7:
Далее будет показано, что оптимальным планом выпуска продукции является вектор X* = (0; 30; 10; 0), значение целевой функции равно 150, т.е. для максимизации общей стоимости продукции необходимо выпустить 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. Подставим оптимальные значения вектора X в ограничения КЗЛП:
Получим, что ресурсы «труд» и «оборудование» используются полностью, ресурс «сырье» имеется в избытке:
В этом случае х в показывает, что сырья осталось 200 кг.
Таким образом, основные переменные x v х 2 , х 3 , х л означают количество ковров каждого типа, а дополнительные переменные х 5 , х 6 их 7 - объем недоиспользованных ресурсов.
Ответ. Оптимальный план выпуска продукции X* = (0; 30;
10; 0).
Планом , или допустимым решением , КЗЛП называется вектор X = (jc p х 2 ,..., х п ), удовлетворяющий условиям (2.3.2)-(2.3.4).
Если все компоненты базисного решения системы ограничений КЗЛП неотрицательны, то такое решение называется опорным решением или опорным планом. Число положительных компонент опорного плана не может превышать т.
Опорный план называется невырожденным, если он содержит т положительных компонент, в противном случае он называется вырожденным.
Оптимальным планом или оптимальным решением ЗЛП называется план, доставляющий наибольшее (наименьшее) значение линейной функции (2.3.1).
Множество всех планов ЗЛП (если они существуют) является выпуклым многогранником. Каждой угловой (крайней) точке многогранника решений соответствует опорный план (неотрицательные базисные решения системы уравнений КЗЛП). Каждый опорный план определяется системой т линейно независимых векторов, содержащихся в данной системе из п векторов Д, Д,..., А п. Если существует оптимальный план, то существует такая угловая точка многогранника решений, в которой линейная функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения.
Для отыскания оптимального плана достаточно исследовать только опорные планы. Верхняя граница количества опорных планов, содержащихся в задаче, определяется числом сочетаний С т п (см. параграф 1.4).
Пример 2.3.3. Получить решение задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (решить ЗЛ П):
Решение. Приведем задачу к каноническому виду путем введения дополнительных переменныхх 3 , х 4 и х 5:
Найдем все опорные планы системы ограничений данной КЗЛП (л? - 5; /77 - 3); их количество не превышает 10:
Используя метод Жордана - Гаусса (см. параграф 1.4), выписываем все базисные решения системы уравнений (табл. 2.3.2).
|
Номер базис ного решения |
Базис |
План |
|||||
Среди десяти базисных решений пять опорных:
Указанным опорным планам на рис. 2.3.1 отвечают соответственно следующие угловые точки и значения ЦФ в них:
Рис. 2.3.1.
Согласно теории ЛП оптимальное решение содержится среди опорных планов.
Таким образом, максимальное значение, равное 2300, целевая функция достигает в точке В на опорном плане Х 5 = (70; 80; 0; 60; 0).
Ответ. Оптимальный план задачи: х { = 70, х 2 = 80, значение целевой функции f(x v х 2) = 2300.
Задачи МП
Общей ЗЛП называют <,=,>=}bi (i=1,n) (2) при условии xj>
Симметрической < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > Канонической смешенной .
min f(x) = -max(-f(x))
<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>
Геометрическая интерпретация целевой функции и ограничения ЗЛП. Геометрическая формулировка ЗЛП.
Пусть дана задача f=c1x1+c2x2-max (1)
a11x1+a12x2<=b1 }
am1x1+am2x2<=bm}
x1>=0, x2>=0 (3)
План задачи (х1,х2) – точка на плоскости. Каждое неравенство с-мы 2 предст. собой полуплоскость. Полуплоскость –выпуклое множество. Выпуклым наз-ся множество в которым точки отрезка соединяющие (х1 и х2) принадлежащие этому множеству то же принадлежат множеству. С-ма 2 представляет собой пересечение полуплоскостей. При пересечении могут получиться:
1)выпуклая многоугольная замкнутая область.
2) выпуклая открытая многоугольная область
3) единственная точка
4) пустое множество
5) луч и отрезок
Геометрическая интерпретация целевой функции: ф-ция 1 представляет собой семейство параллельных прямых, которые наз-ют линиями уровня(линиями постоянного значения целевой функции). Частные производные функции по х1 и х2 показывают скорость возрастания целевой функции вдоль координат осей. Вектор-градиент показывает направление найскорейшего возрастания целевой функции.Для задачи 1-3 вектор-градиент = (с1;с2) Выходит из точки (0,0) и направлен в точку с координатами (с1;с2). Вектор-градиент перпендикулярен линиям уровня. Пересечение полуплоскастей принято наз-ть областью допустимых рещений(ОДР) .
Основная теорема ЛП. Принципиальная схема решения ЗЛП, вытекающая из этой теоремы.
Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника плана. Если целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке то она достигает одно и то, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.же значения в любой точке. При решении ЗЛП в ручную удобно использовать табличную запись.
| БП | СП -Xm+1 -Xm+2 -Xn | |
| х1 | b1o | b11 b12 b1n-m |
| х2 | b2o | b21 b22 b2n-m |
| хm | bm | bm1 bm2 bmn-m |
| f | boo | bo1 bo2 bon-m |
Алгоритм симплекс-метода.
1. привести модель задачи к канонической форме;
2. найти начальный опорный план;
3. записать задачу в симпл. таблицу;
5. перейти к новому опорному плану, к новой симп. таблице. Для того чтобы перейти к новому опорному плану достаточно заменить одну базисную переменную свободной. Переменную, включаемую в базис и соответствующей ей разрешающий столбец определяют по наибольшему по модулю отрицательному элементу f-строки. Переменную, исключающую из базиса и соответствующую ей разрешающую строку определяют по наименьшему симплексному отношению, т.е. отношению элементов единичного столбца к соответствующему элементу разрешающего столбца. Симплексное отношение – величина неотрицательная. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца расположен разрешающий элемент, относительно которого выполняется симплексное преобразование по след. правилу: 1. элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент; 2. элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный; 3. остальные элементы таблицы перещитываются по правилу прямоугольника.:
bij bis bkj=(bkj*bis-bij*bks)/bi
Ая теорема двойственности.
если одна из двойственных задач имеет оптим план, то и другая решима, т.е. имеет опт.план. При этом экстремальные значен.целевых функций совпадают (j=от 1 до n) Σcjxj*= (i=от 1 до m)Σbiyi* если в исходн. задаче целевая функция неограничена на множестве планов, то в двойственной задаче система ограничений несовместна.
Теорема о ранге матрицы ТЗ.
Ранг матрицы А трансп.задачи на единицу меньше числа уравнений: r(A)=m+n-1.
39. Алгоритм построения начального опорного плана ЗЛП.
Для нахождения начального опорного плана можно предложить следующий алгоритм:
1. записать задачу в форме жордановой таблицы так, чтобы все элементы столбца свободных членов были неотрицательными, т.е. выполнялось неравенство аio>=0 (i=1,m). Те уравнения с-мы, в которых свободные члены отрицательны, предварительно умножаются на -1.
| -x1 ….. -xn | ||
| 0= | a1o | a11 …. a1n |
| ….. | ….. | ……………………….. |
| 0= | amo | am1 ….. amn |
| f= | -c1 …. -cn |
Таблицу преобразовывать шагами жордановых исключений, замещая нули в левом столбце соответствующими х. При этом на каждом шаге разрешающим может быть выбран
любой столбец, содержащий хотя бы один положительный элемент. Разрешающая строка определяется по наименьшему из отношений свободных членов к соответствующем положительным элементам разрешающего столбца. Если в процессе исключений встретится 0-строка, все элементы которой- нули, а свободный член отличен от нуля, то с-ма ограничительных уравнений решений не имеет. Если же встретится 0-строка, в которой, кроме свободного члена, других положительных элементов нет, то с-ма ограничительных уравнений не имеет неотрицательных решений Если с-ма ограничительных уравнений совместна
, то через некоторое число шагов все нули в левом столбце будут замещены х и тем самым получен некоторый базис, а следовательно, и отвечающий ему опорный план.
40. Алгоритм построения оптимального опорного плана ЗЛП.
Начальный опорный план Хо исследуется на оптимальность.
Если в f-строке нет отрицательных элементов (не считая свободного члена), -план оптимален. Если в f- строке нет также и нулевых элементов, то оптимальный план единственный; если же среди элементов есть хотя бы один нулевой, то оптимальных планов бесконечное множество. Если в f-строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в соответствующем ему столбце нет положительных, то целевая функция не ограничена в допустимой области. Задача не разрешима. Если в f- строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в каждом столбце с таким элементом есть хотя бы один положительный, то можно перейти к новому опорному плану, более близкому к оптимальному. Для этого столбец с отриц-ом элементом в f-строке берут за разрешающий ; опред-ют по минимальному симплексному отношению разрешающую строку и делают шаг жорданова исключения. Полученный опорный план вновь исследуется на оптимальность. Это повторяется до тех пор, пока не будет найден оптимальный опорный план либо установлена неразрешимость задачи.
Алгоритм метода Гомори.
1.Симплекс-методом находят оптимальный план задачи. Если все компоненты оптимального плана целые, то он –оптимальный. В противном случае переходят к пункту 2
2.Среди нецелых компонент следует выбрать ту, у которой дробная часть является наибольшей и по соответствующей этой строке симплексной таблицы сформулировать правильное отсечение по формуле
(n-m,s=1)∑ {αkm+1}Xm+1≥{βk}
3.Сформулированное неравенство преобразовать в эквивалентное нулевое равенство и включить в симплексную таблицу с нецелочисленным оптимальным планом
4.Полученную расширенную задачу решают симплекс-методом. Если полученный план не является целочисленным нова переходят к пункту 2.
Если в процессе решения появится строка с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В таком случае и исходная задача неразрешима в целых числах.Метод Гомори имеет ограниченое применение. С его помощью целесообразно решать небольшие задачи, т.к. число интераций может быть очень большим.
Различные формы записи ЗЛП (общая, каноническая, симметрическая)
Задачи МП : определение оптимального плана, опред-е оптимального объема выпуска продукции, опред-е оптим-го сочитания посевов с/хоз-ых культур, формир-е оптим-го пакета активов, максимиз-щий прибыль банка и т.д.
Общей ЗЛП называют задачу максимизации (минимизации) линейной функции f=Σcj*xj-max(min) (1) при линейных ограничениях ∑aij *xj{=<,=,>=}bi (i=1,n) (2) при условии xj>=0(j=1,n1), xj-произвольное (j=n1+1,n)(3) где cj,aij, bi-постоянные числа.
Симметрической формой записи ЗЛП наз-ся задача максимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > либо = и неотрицательных переменных. Канонической формой записи ЗЛП наз-ся задача максимальной функции (1) при линейных ограничениях равенствах и неотрицательных переменных. Любая другая форма называется смешенной .
min f(x) = -max(-f(x))
Преобразование нерав-ва в уравнение и наоборот осущ-ся на основе Леммы: всякому решению х1…хn нерав-ва a1x1+…+anxn<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>=0(7) и наоборот. Всякому решению x1…xn,xn+1 уравнения 6 и неравенства 7 соответствует решение x1…xn неравенства 5.
Чтобы от зад сим формы перейти к зад канонич вида, необходимо ввести балансовые (выравнивающие) переменные. Это основано на теореме о неравенстве: любое нерав-во можно представить в виде ур-я или простейшего нерав-ва.
