Faktor ut den felles faktoren. Felles faktor utregning, regel, eksempler

Mattetime i klasse 7

8. Mål for leksjonen

For læreren:

pedagogisk

organisere pedagogiske aktiviteter:

På å mestre algoritmen for å ta den felles faktoren ut av parentesene og forstå logikken i dens konstruksjon;

Ved å utvikle evnen til å bruke algoritmen for å sette fellesfaktoren utenfor parentesene

utvikle seg

skape forutsetninger for utvikling av regulatoriske ferdigheter:

Å selvstendig bestemme målene for pedagogiske aktiviteter;

Planlegg måter å oppnå mål på;

Korreler handlingene dine med de planlagte resultatene;

Overvåke og evaluere læringsaktiviteter basert på resultater;

Organisere pedagogisk samarbeid og felles aktiviteter med lærer og jevnaldrende.

- pedagogisk

Skape forutsetninger for dannelsen av en ansvarlig holdning til læring;

Skape forutsetninger for utvikling av studentenes selvstendighet i organisering og gjennomføring av deres pedagogiske virksomhet.

Skape betingelser for patriotisk utdanning

Legge forholdene til rette for miljøundervisning

For studenter:

Mestre algoritmen for å ta den felles faktoren ut av parentesene og forstå logikken i dens konstruksjon;

Utvikle evnen til å bruke algoritmen for å ta den felles faktoren utenfor parentesene

9. Brukt UUD: regulatorisk (målsetting, aktivitetsplanlegging, overvåking og evaluering)

10. Type leksjon: lære nytt materiale

11. Arbeidsformer for studenter: frontal, dampbad, individuell

12. NødvendigTeknisk utstyr: datamaskin, projektor, leksjonslogo, lærebøker i matematikk, elektronisk Power Point-presentasjon, utdelinger

Leksjonsstruktur og kurs

Innenfor rammen av studiet av identiske transformasjoner er temaet om å ta fellesfaktoren ut av parentesen svært viktig. I denne artikkelen vil vi forklare nøyaktig hva en slik transformasjon er, utlede grunnregelen og analysere typiske eksempler på oppgaver.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konseptet med å faktorisere en multiplikator

For å lykkes med å bruke denne transformasjonen, må du vite hvilke uttrykk den brukes til og hvilket resultat du trenger å få som et resultat. La oss forklare disse punktene.

Du kan ta fellesfaktoren ut av parentesen i uttrykk som er summer der hvert ledd er et produkt, og hvert produkt har én faktor felles (det samme) for alle. Det kalles fellesfaktoren. Vi tar det ut av parentesen. Så hvis vi har verk 5 3 og 5 4, så kan vi utregne den felles faktor 5.

Hva er denne transformasjonen? I løpet av det representerer vi det opprinnelige uttrykket som produktet av den felles faktoren og uttrykket i parentes, som inneholder summen av alle de opprinnelige leddene, bortsett fra den felles faktoren.

La oss ta eksemplet ovenfor. Flytt ut fellesfaktoren 5 til 5 3 og 5 4 og vi får 5 (3 + 4). Det endelige uttrykket er produktet av den felles faktoren 5 ved uttrykket i parentes, som er summen av de opprinnelige leddene uten 5.

Denne transformasjonen er basert på den distributive egenskapen til multiplikasjon, som vi allerede har studert før. I bokstavelig form kan det skrives som a (b + c) = a b + a c... Ved å erstatte høyre side med venstre, vil vi se et opplegg for å sette fellesfaktoren utenfor parentesene.

Regelen for å sette fellesfaktoren utenfor parentes

Ved å bruke alt ovenfor, utleder vi den grunnleggende regelen for en slik transformasjon:

Definisjon 1

For å faktorisere fellesfaktoren, må du skrive det opprinnelige uttrykket som et produkt av fellesfaktoren og parenteser, som inkluderer den opprinnelige summen uten fellesfaktoren.

Eksempel 1

La oss ta et enkelt eksempel på gjengivelse. Vi har et numerisk uttrykk 3 7 + 3 2 - 3 5, som er summen av tre ledd 3 · 7, 3 · 2 og en felles faktor på 3. Med utgangspunkt i regelen vi har utledet, skriver vi verket som 3 (7 + 2 - 5)... Dette er resultatet av vår transformasjon. Oppføringen av hele løsningen ser slik ut: 3 7 + 3 2 - 3 5 = 3 (7 + 2 - 5).

Vi kan ta faktoren ut av parentes ikke bare i numeriske, men også i bokstavelige uttrykk. For eksempel i 3 x - 7 x + 2 du kan ta ut variabelen x og få 3 x - 7 x + 2 = x (3 - 7) + 2, i uttrykket (x 2 + y) x y - (x 2 + y) x 3- fellesfaktor (x 2 + y) og få til slutt (x 2 + y) (x y - x 3).

Det er ikke alltid mulig å fastslå med en gang hvilken faktor som er vanlig. Noen ganger må et uttrykk forhåndstransformeres ved å erstatte tall og uttrykk med identiske like produkter.

Eksempel 2

Så for eksempel i uttrykket 6 x + 4 år du kan ta ut en felles faktor på 2, ikke skrevet eksplisitt. For å finne det, må vi transformere det opprinnelige uttrykket, som representerer seks som 2 × 3 og fire som 2 × 2. Det er 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y)... Eller i uttrykket x 3 + x 2 + 3 x kan tas ut av parentesen fellesfaktoren x, som finnes etter erstatningen x 3 på x x 2. Denne transformasjonen er mulig på grunn av gradens grunnleggende egenskaper. Som et resultat får vi uttrykket x (x 2 + x + 3).

Et annet tilfelle, som bør vurderes separat, er parentesen til minus. Da tar vi ut ikke selve skiltet, men minus en. For eksempel transformerer vi uttrykket på denne måten - 5 - 12 x + 4 x y... La oss omskrive uttrykket som (- 1) 5 + (- 1) 12 x - (- 1) 4 x y slik at fellesfaktoren kan sees tydeligere. La oss ta den ut av parentesen og få - (5 + 12 x - 4 x y). I dette eksemplet kan du se at samme mengde i parentes er oppnådd, men med motsatte fortegn.

I konklusjonene legger vi merke til at transformasjonen ved å sette fellesfaktoren utenfor parentes svært ofte brukes i praksis, for eksempel for å beregne verdien av rasjonelle uttrykk. Denne metoden er også nyttig når du skal representere et uttrykk som et produkt, for eksempel for å faktorisere et polynom i separate faktorer.

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter

Definisjon 1

La oss huske først regler for å multiplisere en monomial med en monomial:

For å multiplisere en monomial med en monomial, må du først multiplisere koeffisientene til monomialene, og deretter bruke regelen for å multiplisere potenser med samme base, multiplisere variablene som er inkludert i monomialene.

Eksempel 1

Finn produktet av monomer $ (2x) ^ 3y ^ 2z $ og $ (\ frac (3) (4) x) ^ 2y ^ 4 $

Løsning:

Først beregner vi produktet av koeffisientene

$ 2 \ cdot \ frac (3) (4) = \ frac (2 \ cdot 3) (4) $ i denne oppgaven brukte vi regelen om å multiplisere et tall med en brøk - for å multiplisere et heltall med en brøk, trenger du å multiplisere tallet med telleren for brøken, og nevneren settes uendret

Nå skal vi bruke den grunnleggende egenskapen til brøken - telleren og nevneren til en brøk kan deles med det samme tallet annet enn $ 0 $. Del telleren og nevneren 6l av denne brøken med $ 2 $, det vil si at vi kan redusere med $ 2 $ denne brøken $ 2 \ cdot \ frac (3) (4) $ = $ \ frac (2 \ cdot 3) ( 4) = \ \ frac (3 ) (2) $

Resultatet viste seg å være en feil brøk, det vil si en med en større teller enn nevneren.

Vi transformerer denne brøken ved å velge hele delen. Husk at for å fremheve heltallsdelen, er det nødvendig å ufullstendige kvotienter, den resulterende delingen av telleren med nevneren skal skrives som en heltallsdel, resten av divisjonen i telleren til brøkdelen, divisoren i nevneren.

Vi har funnet koeffisienten til det fremtidige produktet.

Nå vil vi sekvensielt multiplisere variablene $ x ^ 3 \ cdot x ^ 2 = x ^ 5 $,

$ y ^ 2 \ cdot y ^ 4 = y ^ 6 $. Her brukte vi regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall: $ a ^ m \ cdot a ^ n = a ^ (m + n) $

Da vil resultatet av multiplikasjonen av monomer være:

$ (2x) ^ 3y ^ 2z \ cdot (\ frac (3) (4) x) ^ 2y ^ 4 = 1 \ frac (1) (2) x ^ 5y ^ 6 $.

Deretter, basert på denne regelen, kan du utføre følgende oppgave:

Eksempel 2

Representer et gitt polynom som et produkt av et polynom og et monom $ (4x) ^ 3y + 8x ^ 2 $

La oss representere hver av monomialene som utgjør polylinjen som produktet av to monomialer for å velge en felles monomial, som vil være en faktor i både den første og andre monomial.

Først starter vi med den første monomiale $ (4x) ^ 3y $. La oss dekomponere koeffisienten i primfaktorer: $ 4 = 2 \ cdot 2 $. Vi vil gjøre det samme med koeffisienten til den andre monomialen $ 8 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 $. Merk at to faktorer $ 2 \ cdot 2 $ er inkludert i både den første og andre koeffisienten, så $ 2 \ cdot 2 = 4 $ - dette tallet vil bli inkludert i den vanlige monomialen som en koeffisient

Vær nå oppmerksom på at i den første monomialen er det $ x ^ 3 $, og i den andre den samme variabelen i kraften $ 2: x ^ 2 $. Derfor er det praktisk å representere variabelen $ x ^ 3 $ som følger:

Variabelen $ y $ er inkludert i bare ett ledd i polynomet, noe som betyr at den ikke kan inkluderes i det generelle monomet.

Vi representerer de første og andre monomiene som er inkludert i polynomet som et produkt:

$ (4x) ^ 3y = 4x ^ 2 \ cdot xy $

$ 8x ^ 2 = 4x ^ 2 \ cdot 2 $

Merk at den vanlige monomialen, som vil være en faktor i både den første og andre monomialen, er $ 4x ^ 2 $.

$ (4x) ^ 3y + 8x ^ 2 = 4x ^ 2 \ cdot xy + 4x ^ 2 \ cdot 2 $

Nå bruker vi fordelingsloven for multiplikasjon, så kan det resulterende uttrykket representeres som et produkt av to faktorer. En av faktorene vil være den felles faktoren: $ 4x ^ 2 $ og den andre er summen av de resterende faktorene: $ xy + 2 $. Midler:

$ (4x) ^ 3y + 8x ^ 2 = 4x ^ 2 \ cdot xy + 4x ^ 2 \ cdot 2 = 4x ^ 2 (xy + 2) $

Denne metoden kalles faktorisering ved hjelp av en felles faktor.

Fellesfaktoren i dette tilfellet var den monomiale $ 4x ^ 2 $.

Algoritme

Merknad 1

Finn den største felles divisor av koeffisientene til alle monomialer inkludert i polynomet - det vil være koeffisienten til felles monomialfaktoren, som vi tar utenfor parentesene

Monomialet som består av koeffisienten funnet i punkt 2, variablene funnet i punkt 3 vil være den felles faktoren. som kan tas ut av parentesen som en felles faktor.

Eksempel 3

Faktor ut fellesfaktoren $ 3a ^ 3- (15a) ^ 2b + 4 (5ab) ^ 2 $

Løsning:

Finn gcd til koeffisientene for dette, vi dekomponerer koeffisientene til primfaktorer

$ 45 = 3 \ cdot 3 \ cdot 5 $

Og vi vil finne produktet av de som er inkludert i dekomponeringen av hver:

Identifiser variablene som er en del av hver monomial, og velg variabelen med den minste eksponenten

$ a ^ 3 = a ^ 2 \ cdot a $

Variabelen $ b $ er bare inkludert i andre og tredje monomial, så den vil ikke bli inkludert i fellesfaktoren.

Vi komponerer en monomial bestående av koeffisienten funnet i punkt 2, variablene som finnes i punkt 3, vi får: $ 3a $ - dette vil være den felles faktoren. deretter:

$ 3a ^ 3- (15a) ^ 2b + 4 (5ab) ^ 2 = 3a (a ^ 2-5ab + 15b ^ 2) $

\ (5x + xy \) kan representeres som \ (x (5 + y) \). Dette er faktisk de samme uttrykkene, vi kan bekrefte dette hvis vi åpner parentesene: \ (x (5 + y) = x \ cdot 5 + x \ cdot y = 5x + xy \). Som du kan se, som et resultat, får vi det originale uttrykket. Så \ (5x + xy \) er egentlig lik \ (x (5 + y) \). Forresten, dette er en pålitelig måte å sjekke riktigheten av de vanlige faktorene - for å åpne den resulterende parentesen og sammenligne resultatet med det opprinnelige uttrykket.

Hovedregelen for bracketing er:

For eksempel, i uttrykket \ (3ab + 5bc-abc \), kan bare \ (b \) tas ut av parentesen, fordi bare det er i alle tre ledd. Prosessen for bracketing felles faktorer er vist i diagrammet nedenfor:

Bracketing regler

I matematikk er det vanlig å ta ut alle vanlige faktorer på en gang.

Eksempel:\ (3xy-3xz = 3x (y-z) \)
Vær oppmerksom på at her kan vi dekomponere slik: \ (3 (xy-xz) \) eller slik: \ (x (3y-3z) \). Dette vil imidlertid være ufullstendige utvidelser. Det er nødvendig å tåle både de tre og x.


Noen ganger er vanlige medlemmer ikke umiddelbart synlige.


Eksempel:\ (10x-15y = 2 5 x-3 5y = 5 (2x-3y) \)
I dette tilfellet var det vanlige begrepet (fem) skjult. Imidlertid utvidet \ (10 ​​\) som \ (2 \) multiplisert med \ (5 \), og \ (15 \) som \ (3 \) multiplisert med \ (5 \) - vi "trakk fem inn i lys av Gud", hvoretter de lett kunne ta den ut av braketten.


Hvis et monomial fjernes fullstendig, gjenstår det en enhet av det.

Eksempel: \ (5xy + axy-x = x (5y + ay-1) \)
Vi tar ut \ (x \) utenfor parentesen, og den tredje monomialen og består kun av x. Hvorfor er det en igjen av den? For hvis et uttrykk multipliseres med én, vil det ikke endre seg. Det vil si at nettopp denne \ (x \) kan representeres som \ (1 \ cdot x \). Da har vi følgende kjede av transformasjoner:

\ (5xy + axy - \) \ (x \) \ (= 5xy + axy - \) \ (1 \ cdot x \) \ (= \) \ (x \) \ ((5y + ay - \) \ (1\) \()\)

Dessuten er dette den eneste riktige måten å gjengi på, for hvis vi ikke forlater enheten, vil vi ikke gå tilbake til det opprinnelige uttrykket når vi utvider parentesene. Faktisk, hvis vi gjør fjerningen slik \ (5xy + axy-x = x (5y + ay) \), så får vi ved utvidelse \ (x (5y + ay) = 5xy + axy \). Det tredje medlemmet mangler. Dette betyr at en slik påstand er feil.

"Minus"-tegnet kan tas ut av parentesen, mens fortegnene til leddene med parentesen er reversert.


Eksempel:\ (x-y = - (- x + y) = - (y-x) \)
Faktisk plasserer vi her "minus en" utenfor parentesen, som kan "fremheves" før en hvilken som helst monomial, selv om det ikke var noen minus før den. Vi bruker her det faktum at enheten kan skrives som \ ((- 1) \ cdot (-1) \). Her er det samme eksemplet, detaljert:

\ (x-y = \)
\ (= 1 x + (- 1) y = \)
\ (= (- 1) (-1) x + (- 1) y = \)
\ (= (- 1) ((- 1) x + y) = \)
\ (= - (- x + y) = \)
\ (- (y-x) \)

Braketten kan også være en felles faktor.


Eksempel:\ (3m (n-5) +2 (n-5) = (n-5) (3m + 2) \)
Vi møter oftest en slik situasjon (parenteser) når vi faktoriserer etter metoden for gruppering eller

I denne artikkelen vil vi fokusere på ta hensyn til den felles faktoren... La oss først finne ut hva den angitte uttrykkstransformasjonen består av. Deretter vil vi gi regelen for å sette den felles faktoren utenfor parentesene og vurdere detaljerte eksempler på bruken.

Sidenavigering.

For eksempel har begrepene i uttrykket 6 x + 4 y en felles faktor på 2, som ikke er eksplisitt skrevet. Det kan bare sees etter å ha representert tallet 6 som et produkt av 2 · 3, og 4 som et produkt av 2 · 2. Så, 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y)... Et annet eksempel: i uttrykket x 3 + x 2 + 3 · x har begrepene en felles faktor x, som blir godt synlig etter å ha erstattet x 3 med x · x 2 (i dette tilfellet brukte vi) og x 2 med x · x. Etter å ha tatt den ut av parentesen får vi x · (x 2 + x + 3).

Separat, la oss si om å sette minus utenfor parentesene. Faktisk betyr å sette minus i parentes å sette minus én utenfor parentes. La oss for eksempel ta ut minus i uttrykket −5−12 x + 4 x y. Det opprinnelige uttrykket kan skrives om som (−1) 5 + (- 1) 12 x - (- 1) 4 x y, hvorfra den felles faktoren −1 er tydelig sett, som vi tar ut av parentesen. Som et resultat kommer vi til uttrykket (−1) (5 + 12x − 4x y). Fra dette sees det tydelig at når minus er tatt ut av parentesene, forblir den opprinnelige summen i parentes, der tegnene til alle dens ledd er reversert.

For å konkludere med denne artikkelen, bemerker vi at faktoriseringen av fellesfaktoren er svært utbredt. For eksempel kan du bruke den til å mer effektivt beregne verdiene til numeriske uttrykk. Også, bracketing en felles faktor lar deg representere uttrykk i form av et produkt, spesielt er en av metodene for å faktorisere et polynom i faktorer basert på bracketing.

Bibliografi.

• Matte. Klasse 6: lærebok. for allmennutdanning. institusjoner / [N. Ya. Vilenkin og andre]. - 22. utgave, Rev. - M .: Mnemozina, 2008 .-- 288 s .: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.