I skogene av fraktal grafikk
Dmitry Shakhov, frilanser, Moskva
Fraktaler tiltrekker seg oppmerksomhet, fascinerer, hypnotiserer. Mange tror imidlertid at slike bilder bare er mønstre som bare er gode på en skjerm eller som påførte hjelpemidler for utforming av ulike trykte produkter. Samtidig er det få som innser at denne enkelheten bare er tilsynelatende. Fraktal grafikk er faktisk ganske kompleks og er resultatet av en sammensmelting av matematikk og kunst. I dag er fraktaler en av de mest lovende, raskt utviklende typene datagrafikk.
Før vi går videre til vurderingen av fraktal grafikk, la oss vurdere hva som er essensen av datamaskin- eller "maskin"-grafikk, samt den generelt aksepterte klassifiseringen av datagrafikk (Computer Graphics, CG). Dette konseptet dukket opp relativt nylig, på 60-tallet av forrige århundre, da elektroniske dataenheter ble oppfunnet. Begrepet "datagrafikk" tolkes på forskjellige måter i forskjellige kilder. Noen definerer det som et felt innen informatikk, som omhandler spørsmålene om å skaffe forskjellige bilder (tegninger, tegninger, animasjon) på en datamaskin. Datagrafikk dekker alle typer og former for representasjon av bilder tilgjengelig for menneskelig persepsjon på en skjerm eller som en kopi på et eksternt medium (papir, tøy, film, etc.). I andre kilder kalles datagrafikk et spesielt område for informatikk, som studerer metoder og verktøy for å lage og behandle bilder ved hjelp av programvare- og maskinvaredatasystemer.
I ordets videste forstand er datagrafikk alt som et visuelt, figurativt visningsmiljø på en skjerm brukes til. Hvis vi begrenser konseptet til praktisk bruk, kan datagrafikk bety prosessen med å lage, behandle og vise ulike typer bilder ved hjelp av en datamaskin.
Avhengig av metoden for bildedannelse er datagrafikk delt inn i raster, vektor og fraktal (fig. 1).
Det viktigste og minste elementet i rasterbildet er et punkt. Når et bilde er i programvaremiljøet på skjermen, kalles det en piksel. Hver piksel i en punktgrafikk har to egenskaper: plassering og farge. Jo større antall piksler og jo mindre størrelse, jo bedre ser bildet ut. Store mengder data er et stort problem ved bruk av rasterbilder. Den andre ulempen med rasterbilder er forbundet med umuligheten av å forstørre dem for å se detaljer. Siden bildet består av prikker, fører forstørrelse av bildet til at disse prikkene blir større og ligner en mosaikk, og derfor kan ytterligere detaljer ikke sees i dette tilfellet. Dessuten forvrenger forstørrelse av rasterpiksler bildet og gjør det kornete. Denne effekten kalles pikselering.
Ris. 1. Typer datagrafikk: a - raster; b - vektor; в - fraktal
I vektorgrafikk er hovedelementet i bildet en linje (det spiller ingen rolle om det er rett eller buet). Linjer finnes selvfølgelig også i rastergrafikk, men der behandles de som kombinasjoner av punkter. For hvert punkt på en linje i rastergrafikk tildeles én eller flere minneceller (jo flere farger punkter kan ha, jo flere celler tildeles dem). Følgelig, jo lengre rasterlinjen er, desto mer minne tar den opp. I vektorgrafikk avhenger ikke mengden minne som er okkupert av en linje av størrelsen på linjen, siden linjen er representert i form av en formel, eller rettere sagt, i form av flere parametere. Uansett hva vi gjør med denne linjen, endres bare parameterne, lagret i minneceller. Antall celler for en linje forblir uendret.
Ris. 2. Et eksempel på fraktalitet i naturen - Romanescu-kål
Et bilde i vektorformat er enkelt å redigere: det kan skaleres, roteres og deformeres uten tap. Simulering av 3D i vektorgrafikk er også enklere enn i rastergrafikk. Faktum er at hver transformasjon faktisk utføres slik: det gamle bildet (eller fragmentet) blir slettet, og en ny bygges i stedet. Den matematiske beskrivelsen av vektortegningen forblir den samme - bare verdiene til noen variabler, for eksempel koeffisienter, endres.
Fraktalgrafikk er relativt ung sammenlignet med raster- og vektorgrafikk. Grunnlaget for fraktal grafikk er fraktal geometri, som lar deg matematisk beskrive ulike typer inhomogeniteter som finnes i naturen. Konseptene "fractal", "fractal geometri" og "fractal graphics" dukket opp på slutten av 1970-tallet. Ordet "fractal" er avledet fra det latinske fractus og betyr "bestående av fragmenter." Det ble foreslått av matematikeren Benoit Mandelbrot i 1975 for å betegne uregelmessige, men selv-lignende strukturer. Fødselen av fraktal geometri er vanligvis forbundet med utgivelsen i 1977 av boken "The Fractal Geometry of Nature" av Benoit Mandelbrot. Mandelbrots definisjon av en fraktal: En fraktal er en struktur som består av deler som på en måte ligner helheten. Selvlikhet er en av hovedegenskapene til fraktaler. Dermed er fraktalgrafikk en type datagrafikk der selvliknende strukturer (med andre ord fraktaler) brukes i en eller annen grad. Deretter vil vi snakke om hva selvlikhet er og hvor fraktaler forekommer i naturen.
Hva menes med selvlikhet? Romanescu-kålen fra Italia er det mest typiske eksemplet på en fraktal gjenstand i naturen. Kålknopper vokser i henne i form av en slags spiral (fig. 2), som kalles logaritmisk, og antallet kålknopper faller sammen med Fibonacci-tallet. Fibonacci-tall er elementer i den numeriske rekkefølgen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 25814, 76514, 76 10946 …, der hvert påfølgende tall er lik summen av de to foregående tallene. De fikk navnet sitt til ære for middelaldermatematikeren Leonardo av Pisa (kjent som Fibonacci). Hver del av elementene i Romanescu-kål har samme form som hele kålhodet. Denne egenskapen gjentas regelmessig i forskjellige skalaer. Faktisk er denne kålen en naturlig fraktal. Det vil si at uansett hvordan vi øker fraktalen, vil vi etter hvert trinn se den samme formen som er karakteristisk for denne fraktalen som helhet. Dermed er ytterligere to begreper nært knyttet til fraktaler - iterasjon og rekursjon. Rekursjon er prosessen med å gjenta elementer på en lignende måte. Iterasjon - enkelt sagt er den gjentatte anvendelsen av en matematisk operasjon.
Faktisk har et veldig stort antall naturlige objekter fraktale egenskaper - bare få mennesker tenker på det. Du kan beundre skyene på himmelen, de motgående bølgene fra brenningene, gå gjennom skogen - og ikke en gang mistenke at matematikk er kjernen i denne skjønnheten! Ja Ja! Studier av de fraktale egenskapene til naturlige objekter begynte å bli utført av Benoit Mandelbrot. Det viser seg at til tross for kompleksiteten til naturlige objekter, er mange av dem i prinsippet beskrevet av ganske enkle matematiske formler. Selv om fraktaler er i sin rene form, eksisterer ikke i naturen. Det vi ser er de såkalte stokastiske fraktalene. Det vil si slike fraktaler som oppnås hvis noen av parameterne endres tilfeldig i den iterative prosessen. En "ren" fraktal kan tilnærmes til uendelig, siden den har en uendelig rekursjon, men dette kan ikke sies om stokastiske fraktaler.
Det skal bemerkes at ordet "fraktal" ikke er et matematisk begrep og ikke har en generelt akseptert streng matematisk definisjon. Den kan brukes når den aktuelle figuren har noen av følgende egenskaper:
- har en ikke-triviell struktur på alle skalaer - dette er hvordan en fraktal skiller seg fra vanlige former (som en sirkel, ellipse, graf av en jevn funksjon): hvis vi vurderer et lite fragment av en vanlig form i en veldig stor skala, det vil se ut som et fragment av en rett linje. For en fraktal fører ikke en skalaøkning til en forenkling av strukturen, derfor vil vi på alle skalaer se et like komplekst bilde;
- er seg selv eller tilnærmet seg selv;
- har en metrisk brøkdimensjon eller en metrisk dimensjon som overskrider den topologiske dimensjonen.
I tillegg, for å konstruere en fraktal, er det nødvendig å ta hensyn til starttilstanden og formelen som beskriver den - det såkalte initialsettet, som sendes gjennom en eller annen mekanisme som får det til å vises og legger det viste settet til den første. Denne prosessen kalles iterasjon. Etter flere slike relativt enkle operasjoner oppnås således et svært komplekst bilde. I prosessen med å skaffe en fraktal er to punkter viktige: det innledende settet og transformasjonsmekanismen. Avhengig av konstruksjonsalgoritmen deles fraktaler inn i lineære og ikke-lineære.
Algoritmer for å konstruere lineære fraktaler bestemmes av lineære funksjoner. I dem er selvlikhet til stede i sin enkleste form: enhver del gjentar helheten.
Ikke-lineære fraktaler er spesifisert av en ikke-lineær vekstfunksjon, det vil si ligninger i en grad høyere enn den første. I dem vil selvlikhet være mer kompleks: enhver del er ikke lenger en eksakt, men en deformert kopi av helheten.
Et av de enkleste eksemplene på en lineær fraktal er Koch-kurven (1904, tysk matematiker Helga von Koch).
Det er en enkel rekursiv prosedyre (å skaffe seg selv-lignende deler av en fraktal) for å danne fraktale kurver på et plan. La oss definere en vilkårlig polylinje med et begrenset antall lenker, kalt en generator. Deretter erstatter vi hvert segment i det med en generator (mer presist, en brutt linje som ligner på en generator). I den resulterende stiplede linjen erstatter du hvert segment med en generator igjen. Fortsetter vi til det uendelige, i grensen får vi en fraktalkurve. I fig. 3 viser flere trinn i denne prosedyren for Koch-kurven.
En av de første ikke-lineære fraktalene ble beskrevet av den franske matematikeren Gaston Julia tilbake i 1918. Men i arbeidet hans var det ingen bilder av settene som ble undersøkt av ham og begrepet "fraktal".
I dag har datamaskiner gjort det mulig å få bilder av Julia-sett (fig. 4 en), som sammen med Mandelbrot-settene (fig. 4 b) er nå de mest kjente kvadratiske fraktale strukturene.
Begge typer fraktaler er et resultat av implementeringen av den enkleste ikke-lineære algoritmen på det komplekse planet.
Her er metoden for å konstruere bilder basert på prinsippet om arv fra de såkalte foreldrene til de geometriske egenskapene til nedarvede objekter. Konstruksjonen av et fraktalt mønster utføres i henhold til en eller annen algoritme eller ved automatisk generering av bilder ved bruk av beregninger ved bruk av spesifikke formler. Endringer i verdier i algoritmer eller koeffisienter i formler fører til modifikasjon av disse bildene. Den største fordelen med fraktal grafikk er at bare algoritmer og formler lagres i fraktalbildefilen.
Fraktal er et objekt, hvor individuelle elementer arver egenskapene til overordnede strukturer. Siden en mer detaljert beskrivelse av elementer i mindre skala utføres i henhold til en enkel algoritme, kan et slikt objekt beskrives med bare noen få matematiske ligninger.
Fraktaler lar deg beskrive hele klasser av bilder, som krever relativt lite minne for å beskrive i detalj. Samtidig er fraktaler dårlig anvendelige på bilder utenfor disse klassene.
Fractal-grafikkprogramvare er utviklet for å generere bilder automatisk ved hjelp av matematiske beregninger. Det er derfor fraktal grafikk ikke gjenkjennes av verken datamaskin eller vanlige artister på grunn av det faktum at programmet gjør alt for en person. Faktisk er prosessen med å jobbe med fraktal grafikk, selv om den er automatisert, likevel helt kreativ: ved å kombinere formler og endre variabler, kan du oppnå fantastiske resultater og legemliggjøre de mest dristige kunstneriske ideene. Å lage en fraktal kunstkomposisjon handler ikke om å tegne eller dekorere, det handler om programmering.
Ved å endre og kombinere fargen på fraktale figurer, er det mulig å simulere bilder av livlig og livløs natur (for eksempel en tregren eller et snøfnugg), samt å komponere en "fraktal" komposisjon fra de resulterende figurene. Fraktalgrafikk, samt vektor- og 3D-grafikk, kan beregnes. Hovedforskjellen er at bildet er bygget i henhold til en ligning eller et system av ligninger. Derfor, for å utføre alle beregninger i datamaskinens minne, er det ikke nødvendig å lagre annet enn en formel.
Bare ved å endre koeffisientene til ligningen, kan du få et helt annet bilde. Denne ideen har funnet anvendelse i datagrafikk på grunn av kompaktheten til det matematiske apparatet som kreves for implementeringen. Så ved hjelp av flere matematiske koeffisienter er det mulig å definere linjer og overflater med svært komplekse former.
I datagrafikk er fraktalgeometri uunnværlig for å generere kunstige skyer, fjell og havoverflater. Faktisk, takket være fraktal grafikk, har det blitt funnet en måte for effektiv implementering av komplekse ikke-euklidiske objekter, hvis bilder ligner veldig på naturlige. Det er faktisk derfor denne artikkelen får et slikt navn. Mange naturlige objekter har fraktale egenskaper, slik at de enkelt kan lages på en datamaskin ved hjelp av fraktal grafikk. For eksempel, når du utvikler et dataspill, er det ikke nødvendig å tegne en skog, fjell, skyer osv. hver gang. Disse objektene er selv-lignende, og kan derfor enkelt genereres av programvare basert på matematiske formler. Ved å legge til eller endre noen parametere i den originale formelen, kan du oppnå en utrolig variasjon av de resulterende naturlige objektene. Fraktaler på en dataskjerm er mønstre bygget av PC-en selv i henhold til et gitt program. I tillegg til fraktalmaling er det fraktalanimasjon og musikk.
Avslutningsvis vil jeg merke meg følgende: fraktal grafikk er en av de mest uvanlige og lovende trendene innen datagrafikk. Resultatene som kan oppnås med dens hjelp forbløffer fantasien til selv de mest sofistikerte kjennere av datakunst. Dermed inneholder bilder skapt ved hjelp av fraktalgeneratorprogrammer noen ganger helt fantastiske og uvanlige landskap (fig. 5), som surrealistiske kunstnere aldri engang drømte om. Omvendt, ved hjelp av fraktal grafikk, kan du skildre med utrolig nøyaktighet hva vi ser i verden rundt oss. Virkelig, verden av fraktaler er fantastisk!
Fortsettelse følger.
I dag utvikler fraktalgrafikk seg veldig raskt og er veldig populær og lovende. Fraktal grafikk er basert på geometri. Hovedmetoden for å lage bilder er prinsippet om arv fra arvingenes geometriske eiendom.
En fraktal er en struktur som består av deler som ligner en helhet. Dens viktigste egenskap er selvlikhet. Objekter kalles selv-lignende hvis deler av objektet, etter forstørrelse, forblir like hverandre.
Sentrum av en fraktalfigur er dens enkleste element - en trekant med like sider, som kalles "fractal". Midt på sidene i trekanten bygges de samme likesidede trekantene som er lik en tredjedel av sidene til den opprinnelige figuren. Deretter, på trekantene til den første generasjonen, bygges trekantene til den andre generasjonen, men allerede med en side lik en niendedel fra siden av den sentrale trekanten. Denne prosessen kan fortsette et uendelig antall ganger.
Ved å endre og kombinere fargene på fraktale figurer, er det mulig å designe levende eller livløse naturlige bilder, for eksempel snø eller trær, grener, blader. Lag en fraktal komposisjon. Fraktal grafikk er sammensatt av ligninger eller et system av ligninger. Fraktal grafikk er beregning. For å kunne utføre bilder av slik grafikk trenger datamaskinen bare å lagre formelen eller algoritmen som beregningene er gjort med. Ved å erstatte koeffisientene til ligningen kan vi lage et helt annet bilde, og når du bruker flere koeffisienter på en gang, kan du lage linjer eller en overflate med den mest komplekse formen.
Fraktal grafikk Det 21. århundre har blitt populært ganske nylig, det bruker konsepter som: fraktale trekanter, former, rette objekter og komposisjoner. Og også "Objekter-foreldre" og "Objekter-arvere". Alle disse konseptene spiller en rolle i skapelsen av bildet.
Ved hjelp av fraktal datagrafikk lages abstrakte komposisjoner som implementerer komposisjonsteknikker som horisontale og vertikale linjer, hvilken som helst retning av diagonalene, forskjellige symmetriske og asymmetriske. Få russiske og utenlandske programmerere og datadesignere er kjent med fraktalgrafikk.
Strukturelt kan fraktale grafikkobjekter sammenlignes med komplekse strukturer av iskrystaller eller snøflak. Ved å bruke disse unike egenskapene til fraktalgrafikk kan du lage dekorative ornamenter. Algoritmene og ligningene utviklet av store hjerner for å syntetisere koeffisientene til fraktale tegninger lar deg lage bilder som er nær i likhet med originalen, det vil si å klone et bilde, og et ubegrenset antall ganger.
I datagrafikk er bruken av fraktal geometri uunnværlig når man lager kunstige skyer, overflaten av havet eller fjell. Det var bare takket være fraktal grafikk at det ble opprettet en måte for implementering av komplekse objekter, som ligner veldig på naturen i bildet deres. Geometriske fraktaler på en dataskjerm er mønstre bygget i henhold til et gitt program.
Skaperne av fraktaler er en allsidig person som eier flere yrker samtidig. Han må være både kunstner og skulptør og fotograf på samme tid. Når du lager en tegning med egne hender, bruker du en matematisk formel for å angi formen på bildet du trenger. Du justerer parametrene, velger hvordan bildet skal se ut, hvilken farge. Forskjellen mellom fraktalgrafikk og andre grafikkredigerere, for eksempel Photoshop, er at du lager din unike tegning fra bunnen av.
Det er umulig å lage et bilde i Photoshop, du kan bare redigere eller formatere det, gi det ønsket farge, størrelse, forbedre kvaliteten og jevne ut ufullkommenhetene. Et særtrekk ved Painter-editoren er at en kunstner som i det virkelige liv jobber uten hjelp fra en datamaskin ikke kan, ved hjelp av pensel, penn eller blyant, de samme mulighetene som er gitt i Painter.
Vurdering: / 18
