Prinsippet om mulige bevegelser. Generell ligning av dynamikk. Prinsipp for mulige bevegelser Generell formel for bevegelser

Prinsippet om mulige bevegelser: for likevekten til et mekanisk system med ideelle forbindelser, er det nødvendig og tilstrekkelig at summen av de elementære verkene til alle aktive krefter som virker på det for enhver mulig forskyvning er lik null. eller i anslag: .

Prinsippet om mulige forskyvninger gir generelt likevektsbetingelsene for ethvert mekanisk system og gir en generell metode for å løse statiske problemer.

Hvis systemet har flere frihetsgrader, kompileres ligningen for prinsippet om mulige bevegelser for hver av de uavhengige bevegelsene separat, dvs. det vil være like mange ligninger som systemet har frihetsgrader.

Prinsippet om mulige forskyvninger er praktisk ved at når man vurderer et system med ideelle forbindelser, blir reaksjonene deres ikke tatt i betraktning, og det er nødvendig å operere bare med aktive krefter.

Prinsippet om mulige bevegelser er formulert som følger:

Til moren. et system underlagt ideelle forbindelser er i hviletilstand; det er nødvendig og tilstrekkelig at summen av elementært arbeid utført av aktive krefter på mulige forskyvninger av punkter i systemet er positiv

Generell dynamikkligning- når et system beveger seg med ideelle forbindelser til et gitt tidspunkt, vil summen av de elementære verkene til alle påførte aktive krefter og alle treghetskrefter på enhver mulig bevegelse av systemet være lik null. Ligningen bruker prinsippet om mulige forskyvninger og D'Alemberts prinsipp og lar deg komponere differensialligninger for bevegelse av ethvert mekanisk system. Gir en generell metode for å løse dynamikkproblemer.

Kompileringssekvens:

a) de spesifiserte kreftene som virker på den påføres hvert legeme, og krefter og momenter av treghetskraftpar påføres også betinget;

b) informere systemet om mulige bevegelser;

c) utarbeide likninger for prinsippet om mulige bevegelser, med tanke på at systemet er i likevekt.

Det skal bemerkes at den generelle dynamikkligningen også kan brukes på systemer med ikke-ideelle forbindelser, bare i dette tilfellet må reaksjonene til ikke-ideelle forbindelser, slik som friksjonskraften eller rullende friksjonsmoment, klassifiseres som aktive krefter .

Arbeid med mulig forskyvning av både aktive og treghetskrefter søkes på samme måte som elementært arbeid med faktisk forskyvning:

Mulig kraftarbeid: .

Momentets mulige arbeid (kraftpar): .

De generaliserte koordinatene til et mekanisk system er gjensidig uavhengige parametere q 1 , q 2 , …, q S av enhver dimensjon, som unikt bestemmer posisjonen til systemet til enhver tid.

Antall generaliserte koordinater er lik S - antall frihetsgrader for det mekaniske systemet. Posisjonen til hvert νte punkt i systemet, det vil si dens radiusvektor, i det generelle tilfellet, kan alltid uttrykkes som en funksjon av generaliserte koordinater:

Den generelle ligningen for dynamikk i generaliserte koordinater ser ut som et system med S-ligninger som følger:

……..………. ;

………..……. ;

her er den generaliserte kraften som tilsvarer den generaliserte koordinaten:

a er den generaliserte treghetskraften som tilsvarer den generaliserte koordinaten:

Antall gjensidig uavhengige mulige bevegelser av et system kalles antall frihetsgrader til dette systemet. For eksempel. en ball på et plan kan bevege seg i alle retninger, men enhver mulig bevegelse av den kan oppnås som den geometriske summen av to bevegelser langs to innbyrdes perpendikulære akser. En fri stiv kropp har 6 frihetsgrader.

Generaliserte styrker. For hver generaliserte koordinat kan man beregne den tilsvarende generaliserte kraften Q k.

Beregningen gjøres etter denne regelen.

For å bestemme den generaliserte kraften Q k, tilsvarende den generaliserte koordinaten q k, må du gi denne koordinaten et inkrement (øk koordinaten med dette beløpet), la alle andre koordinater være uendret, beregne summen av arbeidet til alle krefter som påføres systemet på de tilsvarende forskyvningene av poeng og dele den med økningen på koordinaten:

hvor er forskyvningen Jeg-det punktet av systemet, oppnådd ved å endre k-den generaliserte koordinaten.

Den generaliserte kraften bestemmes ved hjelp av elementært arbeid. Derfor kan denne kraften beregnes annerledes:

Og siden det er en økning av radiusvektoren på grunn av økningen av koordinaten med andre konstante koordinater og tid t, kan relasjonen defineres som en partiell derivert. Deretter

hvor koordinatene til punktene er funksjoner av generaliserte koordinater (5).

Hvis systemet er konservativt, det vil si at bevegelsen skjer under påvirkning av potensielle feltkrefter, hvis projeksjoner er , hvor , og koordinatene til punktene er funksjoner av generaliserte koordinater, da

Den generaliserte kraften til et konservativt system er den partielle deriverte av den potensielle energien langs den tilsvarende generaliserte koordinaten med et minustegn.

Selvfølgelig, når man beregner denne generaliserte kraften, bør den potensielle energien bestemmes som en funksjon av de generaliserte koordinatene

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Merknader.

Først. Ved beregning av de generaliserte reaksjonskreftene tas det ikke hensyn til ideelle sammenhenger.

Sekund. Dimensjonen til den generaliserte kraften avhenger av dimensjonen til den generaliserte koordinaten.

Lagrange-ligninger av 2. type er avledet fra den generelle ligningen for dynamikk i generaliserte koordinater. Antall ligninger tilsvarer antall frihetsgrader:

For å kompilere Lagrange-ligningen av den andre typen, velges generaliserte koordinater og generaliserte hastigheter blir funnet . Den kinetiske energien til systemet er funnet, som er en funksjon av generaliserte hastigheter , og, i noen tilfeller, generaliserte koordinater. Operasjonene med differensiering av kinetisk energi levert av venstre side av Lagrange-ligningene utføres. De resulterende uttrykkene er likestilt med generaliserte krefter, for å finne hvilke, i tillegg til formler (26), følgende ofte brukes ved løsning av problemer:

I telleren på høyre side av formelen er summen av de elementære verkene til alle aktive krefter på den mulige forskyvningen av systemet som tilsvarer variasjonen av den i-te generaliserte koordinaten - . Med denne mulige bevegelsen endres ikke alle andre generaliserte koordinater. De resulterende ligningene er differensialligninger for bevegelse av et mekanisk system med S grader av frihet.

Etablering av den generelle likevektstilstanden til et mekanisk system. I henhold til dette prinsippet, for likevekten til et mekanisk system med ideelle forbindelser er det nødvendig og tilstrekkelig at summen av virtuelt arbeid $A\_i$ bare aktive krefter ved enhver mulig forskyvning av systemet var lik null (hvis systemet ble brakt til denne posisjonen med null hastigheter).

Antall lineært uavhengige likevektsligninger som kan kompileres for et mekanisk system, basert på prinsippet om mulige forskyvninger, er lik antallet frihetsgrader til dette mekaniske systemet.

Mulig bevegelser av et ikke-fritt mekanisk system kalles imaginære infinitesimale bevegelser tillatt i et gitt øyeblikk av begrensningene som er pålagt systemet (i dette tilfellet anses tiden som eksplisitt er inkludert i ligningene til ikke-stasjonære begrensninger som fast). Projeksjoner av mulige forskyvninger på kartesiske koordinatakser kalles variasjoner Kartesiske koordinater.

Virtuell bevegelser kalles infinitesimale bevegelser tillatt av forbindelser under "frossen tid". De. de skiller seg fra mulige bevegelser bare når forbindelsene er reonomiske (eksplisitt avhengig av tid).

Hvis systemet for eksempel er underlagt $l$ holonomiske reonomiske forbindelser:

$f\_(\backslash alpha)(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

Deretter mulige bevegelser $\backslash Delta\; \backslash vec\; r$ er de som tilfredsstiller

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash delvis\; f\_(\backslash alpha))(\backslash delvis\; \backslash vec(r))\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec(r)\; +\; \backslash frac(\backslash delvis\; f\_(\backslash alpha\; ))(\backslash delvis\; t)\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

Og virtuelle $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\backslash delta\; \backslash vec(r)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1)\; ,l)$

Virtuelle bevegelser, generelt sett, har ingen relasjon til prosessen med bevegelse av systemet - de introduseres kun for å identifisere kraftforholdene som eksisterer i systemet og oppnå likevektsforhold. En liten mengde forskyvning er nødvendig slik at reaksjonene til ideelle forbindelser kan betraktes som uendret.

Skriv en anmeldelse om artikkelen "Prinsippet om mulige bevegelser"

Litteratur

• Buchgolts N.N. Grunnkurs i teoretisk mekanikk. Del 1. 10. utg. - St. Petersburg: Lan, 2009. - 480 s. - ISBN 978-5-8114-0926-6.
• Targ S.M. Kortkurs i teoretisk mekanikk: Lærebok for universiteter. 18. utg. - M .: Videregående skole, 2010. - 416 s. - ISBN 978-5-06-006193-2.
• Markeev A.P. Teoretisk mekanikk: lærebok for universiteter. - Izhevsk: Forskningssenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2001. - 592 s. - ISBN 5-93972-088-9.

Et utdrag som karakteriserer prinsippet om mulige bevegelser

– Nous y voila, [Det er poenget.] hvorfor fortalte du meg ikke noe før?
– I mosaikkkofferten som han har under puten. "Nå vet jeg det," sa prinsessen uten å svare. "Ja, hvis det er en synd bak meg, en stor synd, så er det hat mot denne skurken," ropte prinsessen nesten, fullstendig forandret. – Og hvorfor gnir hun seg inn her? Men jeg skal fortelle henne alt, alt. Tiden kommer!

Mens slike samtaler fant sted i resepsjonsrommet og på prinsessens rom, kjørte vognen med Pierre (som ble sendt etter) og med Anna Mikhailovna (som fant det nødvendig å gå med ham) inn på gårdsplassen til grev Bezukhy. Da hjulene på vognen lød lavt på halmen som var spredt under vinduene, vendte Anna Mikhailovna seg til sin ledsager med trøstende ord, overbevist om at han sov i hjørnet av vognen, og vekket ham. Etter å ha våknet, fulgte Pierre Anna Mikhailovna ut av vognen og tenkte så bare på møtet med sin døende far som ventet ham. Han la merke til at de ikke kjørte opp til inngangen foran, men til bakinngangen. Mens han gikk av trinnet, løp to personer i borgerlige klær i all hast vekk fra inngangen inn i skyggen av veggen. I pausen så Pierre flere lignende mennesker i skyggene av huset på begge sider. Men verken Anna Mikhailovna, fotmannen eller kusken, som ikke kunne unngå å se disse menneskene, tok ikke hensyn til dem. Derfor er dette så nødvendig, bestemte Pierre seg for seg selv og fulgte Anna Mikhailovna. Anna Mikhailovna gikk med forhastede skritt opp den svakt opplyste smale steintrappen og ringte Pierre, som lå bak henne, som selv om han ikke forsto hvorfor han måtte gå til greven i det hele tatt, og enda mindre hvorfor han måtte gå opp baktrappen, men å dømme etter Anna Mikhailovnas tillit og hastverk, bestemte han seg for seg selv at dette var nødvendig. Halvveis oppe i trappa ble de nesten slått ned av noen mennesker med bøtter, som klirrende med støvlene løp mot dem. Disse menneskene presset seg mot veggen for å slippe Pierre og Anna Mikhailovna gjennom, og viste ikke den minste overraskelse ved synet av dem.
– Er det halve prinsesser her? – Anna Mikhailovna spurte en av dem...
«Her,» svarte løperen med dristig, høy stemme, som om alt var mulig nå, «døren er til venstre, mor.»
"Kanskje greven ikke ringte meg," sa Pierre da han gikk ut på perrongen, "jeg ville ha dratt til mitt sted."
Anna Mikhailovna stoppet for å ta igjen Pierre.
- Ah, herre! - sa hun med samme gest som om morgenen med sønnen og rørte ved hånden hans: - croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Tro meg, jeg lider ikke mindre enn deg, men vær en mann.]
- Ikke sant, jeg går? - spurte Pierre og så kjærlig gjennom brillene på Anna Mikhailovna.

Elementer av analytisk mekanikk

I sine forsøk på å forstå verden rundt oss ligger det i menneskets natur å strebe etter å redusere kunnskapssystemet i et gitt område til det minste antall utgangspunkter. Dette gjelder først og fremst vitenskapelige felt. I mekanikk førte dette ønsket til opprettelsen av grunnleggende prinsipper som de grunnleggende differensialligningene for bevegelse for forskjellige mekaniske systemer følger fra. Denne delen av læreboken er ment å introdusere leseren til noen av disse prinsippene.

La oss begynne studiet av elementene i analytisk mekanikk ved å vurdere spørsmålet om å klassifisere forbindelser som forekommer ikke bare i statikk, men også i dynamikk.

Klassifisering av forbindelser

Forbindelse – enhver form for restriksjoner pålagt posisjoner og hastigheter til punkter i et mekanisk system.

Tilkoblinger er klassifisert:

· Ved endring over tid:

- ikke-stasjonær kommunikasjon, de. endres over tid. En støtte som beveger seg i rommet er et eksempel på en ikke-stasjonær forbindelse.

- fasttelefonkommunikasjon, de. ikke endres over tid. Stasjonære tilkoblinger inkluderer alle tilkoblinger som er omtalt i "Statikk"-delen.

· I henhold til typen pålagte kinematiske restriksjoner:

- geometriske forbindelser pålegge begrensninger på plasseringen av systempunkter;

- kinematisk, eller differensialforbindelser pålegge begrensninger på hastigheten til poeng i systemet. Hvis mulig, reduser en type tilkobling til en annen:

- integrerbar, eller holonomisk(enkel) forbindelse, hvis den kinematiske (differensielle) forbindelsen kan representeres som en geometrisk. I slike sammenhenger kan avhengighetene mellom hastighetene reduseres til avhengigheten mellom koordinatene. En sylinder som ruller uten å skli er et eksempel på en integrerbar differensialforbindelse: hastigheten til sylinderaksen er relatert til dens vinkelhastighet i henhold til den velkjente formelen , eller , og etter integrasjon reduseres den til et geometrisk forhold mellom akseforskyvningen og sylinderrotasjonsvinkelen i formen .

- ikke-integrerbar, eller ikke-holonomisk sammenheng– hvis den kinematiske (differensielle) forbindelsen ikke kan representeres som en geometrisk. Et eksempel er rulling av en ball uten å skli under dens ikke-lineære bevegelse.

· Hvis mulig, "fri" fra kommunikasjon:

- holder slips, der restriksjonene de pålegger alltid forblir, for eksempel en pendel opphengt på en stiv stang;

- uhemmede forbindelser - restriksjoner kan bli brutt av en bestemt type systembevegelse for eksempel en pendel opphengt i en knusbar tråd.

La oss introdusere flere definisjoner.

· Mulig(eller virtuell) flytte(angitt med ) er elementær (uendelig liten) og er slik at den ikke bryter med begrensningene som er pålagt systemet.

Eksempel: et punkt, som er på en overflate, har mange mulige elementære bevegelser i alle retninger langs støtteflaten, uten å bryte seg bort fra den. Bevegelsen av et punkt, som fører til at det skilles fra overflaten, bryter forbindelsen og er i samsvar med definisjonen ikke en mulig bevegelse.

For stasjonære systemer er den vanlige reelle (reelle) elementære forskyvningen inkludert i settet med mulige forskyvninger.

· Antall frihetsgrader for et mekanisk system – dette er antallet mulige bevegelser uavhengig av hverandre.

Således, når et punkt beveger seg på et plan, uttrykkes enhver mulig bevegelse av det gjennom dets to ortogonale (og derfor uavhengige) komponenter.

For et mekanisk system med geometriske forbindelser faller antallet uavhengige koordinater som bestemmer posisjonen til systemet sammen med antallet av dets frihetsgrader.

Dermed har et punkt på et fly to frihetsgrader. Et fritt materiell punkt har tre frihetsgrader. En fri kropp har seks (rotasjoner ved Euler-vinkler legges til), etc.

· Mulig arbeid – dette er det elementære kraftarbeidet på mulig forskyvning.

Prinsippet om mulige bevegelser

Hvis systemet er i likevekt, er likheten oppfylt for ethvert punkt, hvor er resultantene av de aktive kreftene og reaksjonskreftene som virker på punktet. Da er summen av arbeidet utført av disse kreftene for enhver bevegelse også null . Oppsummert for alle punktene får vi: . Den andre termen for ideelle forbindelser er lik null, som gir følgende formel: prinsippet om mulige bevegelser :

.

(3.82)

Under likevektsforhold for et mekanisk system med ideelle forbindelser, er summen av de elementære verkene til alle aktive krefter som virker på det for enhver mulig bevegelse av systemet lik null.

Verdien av prinsippet om mulige forskyvninger ligger i formuleringen av likevektsforholdene til et mekanisk system (3.81), der ukjente reaksjoner av bindinger ikke vises.

SPØRSMÅL TIL SELVKONTROLL

1. Hvilken bevegelse av et punkt kalles mulig?

2. Hva kalles en styrkes mulige arbeid?

3. Formuler og skriv ned prinsippet om mulige bevegelser.

d'Alemberts prinsipp

La oss omskrive dynamikkligningen Til punktet i det mekaniske systemet (3.27), flytter venstre side til høyre. La oss ta hensyn til mengden

Kreftene i ligning (3.83) danner et balansert system av krefter.

Ved å utvide denne konklusjonen til alle punkter i det mekaniske systemet, kommer vi til formuleringen d'Alemberts prinsipp, oppkalt etter den franske matematikeren og mekanikeren Jean Leron D'Alembert (1717–1783), fig. 3.13:

Fig.3.13

Hvis alle treghetskreftene legges til alle kreftene som virker i et gitt mekanisk system, vil det resulterende kraftsystemet bli balansert og alle statiske ligninger kan brukes på det.

Faktisk betyr dette at fra et dynamisk system, ved å legge til treghetskrefter (D'Alemberts krefter), går man over til et pseudostatisk (nesten statisk) system.

Ved å bruke d'Alemberts prinsipp kan vi få anslaget hovedvektoren for treghetskrefter Og treghetsmomentets hovedkrefter i forhold til sentrum som:

Dynamiske reaksjoner som virker på aksen til et roterende legeme

Tenk på et stivt legeme som roterer jevnt med vinkelhastighet ω rundt en akse festet i lagrene A og B (fig. 3.14). La oss assosiere akseaksene som roterer med den med kroppen; fordelen med slike akser er at i forhold til dem vil koordinatene til massesenteret og kroppens treghetsmomenter være konstante verdier. La de gitte kreftene virke på kroppen. La oss betegne projeksjonene til hovedvektoren til alle disse kreftene på akseaksen med ( etc.), og deres hovedmomenter i forhold til de samme aksene - gjennom ( etc.); samtidig siden ω = konst, da = 0.

Fig.3.14

For å bestemme dynamiske reaksjoner X A, U A, Z A, X B, Y B lagre, dvs. reaksjoner som oppstår under rotasjonen av kroppen, vil vi legge til alle de gitte kreftene og reaksjonene som virker på kroppen treghetskreftene til alle partikler i kroppen, og bringe dem til sentrum A. Da vil treghetskreftene representeres av en kraft lik og brukt på punkt A , og et par krefter med et moment lik . Projeksjoner av dette øyeblikket på aksen Til Og på vil være: , ; her igjen , fordi ω =konst.

Nå, komponer likninger (3.86) i samsvar med d'Alembert-prinsippet i projeksjoner på Axyz-aksen og innstilling av AB =b, vi får

.

(3.87)

Siste ligning er fornøyd på samme måte, siden .

Hovedvektor for treghetskrefter , Hvor T - kroppsvekt (3,85). På ω =konst massesenter C har bare normal akselerasjon , hvor er avstanden til punktet C fra rotasjonsaksen. Derfor retningen til vektoren sammenfaller med retningen til OS . Databehandlingsprojeksjoner på koordinataksene og tatt i betraktning at , hvor - koordinater til massesenteret finner vi:

For å bestemme og vurdere noen partikkel av en kropp med masse m k, med avstand fra aksen hk. For henne kl ω =konst treghetskraften har også bare en sentrifugalkomponent , projeksjoner som, som vektoren R", er like.

KLASSIFISERING AV RELASJONER

Tilknytningsbegrepet innført i § 3 dekker ikke alle deres typer. Siden selv metodene som vurderes for å løse problemer i mekanikk generelt ikke er anvendelige for systemer med noen forbindelser, la oss vurdere spørsmålet om forbindelser og deres klassifisering noe mer detaljert.

Begrensninger er alle typer begrensninger som pålegges posisjonene og hastighetene til punktene til et mekanisk system og utføres uavhengig av hvilke spesifiserte krefter som virker på systemet. La oss se på hvordan disse forbindelsene er klassifisert.

Forbindelser som ikke endres med tiden kalles stasjonære, og de som endres med tiden kalles ikke-stasjonære.

Forbindelsene som pålegger begrensninger på posisjonene (koordinatene) til punktene i systemet kalles geometriske, og de som også pålegger begrensninger på hastighetene (de første deriverte av koordinatene med hensyn til tid) til punktene i systemet kalles. kinematisk eller differensial.

Hvis differensialforbindelsen kan representeres som geometrisk, det vil si at avhengigheten mellom hastigheter etablert av denne forbindelsen kan reduseres til avhengigheten mellom koordinater, så kalles en slik forbindelse integrerbar, og ellers - ikke-integrerbar.

Geometriske og integrerbare differensialforbindelser kalles holonomiske forbindelser, og ikke-integrerbare differensialforbindelser kalles ikke-holonomiske forbindelser.

Basert på type forbindelser deles mekaniske systemer også inn i holonomiske (med holonomiske forbindelser) og ikke-holonomiske (som inneholder ikke-holonomiske forbindelser).

Til slutt skilles det mellom begrensende forbindelser (restriksjonene de pålegger er bevart i alle posisjoner i systemet) og ikke-bevarende forbindelser, som ikke har denne egenskapen (fra slike forbindelser, som de sier, kan systemet "frigjøres" ”). La oss se på eksempler.

1. Alle forbindelser vurdert i § 3 er geometriske (holonomiske) og dessuten stasjonære. Den bevegelige lnft vist i fig. 271, a, vil være for lasten som ligger i den, når lastens posisjon vurderes i forhold til aksene Oxy, ved en ikke-stasjonær geometrisk forbindelse (gulvet i kabinen, som implementerer forbindelsen, endrer sin posisjon i rommet over tid).

2 Posisjonen til et hjul som ruller uten å skli (se fig. 328) bestemmes av koordinaten til hjulets sentrum C og rotasjonsvinkelen. Ved rulling, tilstanden eller

Dette er en differensialforbindelse, men den resulterende ligningen er integrert og gir, det vil si at den reduseres til avhengigheten mellom koordinatene. Derfor er den pålagte forbindelsen holonomisk.

3. I motsetning til et hjul for en ball som ruller uten å skli på et grovt plan, kan betingelsen om at hastigheten til et punkt på ballen som berører planet er null, ikke reduseres (når midten av ballen ikke beveger seg i en rett linje linje) til noen avhengigheter mellom koordinatene, bestemme plasseringen av ballen. Dette er et eksempel på en ikke-halo-ohmsk binding. Et annet eksempel er koblingene som er pålagt kontrollert bevegelse. For eksempel, hvis en betingelse (kobling) pålegges bevegelsen til et punkt (rakett) at hastigheten til enhver tid må rettes til et annet bevegelig punkt (fly), kan ikke denne tilstanden reduseres til noen avhengighet mellom koordinater enten, og begrensningen er ikke-holonomisk .

4. I § 3 er forbindelsene vist i fig. holder, og i fig. 8 og 9 - ikke-holdende (i fig. 8, a kan ballen forlate overflaten, og i fig. 9 - bevege seg mot punkt A, knuse tråden). Når vi tar i betraktning særegenhetene ved ikke-beholdne obligasjoner, møtte vi i oppgave 108, 109 (§ 90) og i oppgave 146 (§ 125).

La oss gå over til betraktningen av enda et prinsipp for mekanikk, som etablerer den generelle betingelsen for likevekten til et mekanisk system. Med likevekt (se § 1) mener vi tilstanden til systemet der alle dets punkter under påvirkning av påførte krefter er i ro i forhold til treghetsreferanserammen (vi betrakter den såkalte "absolutte" likevekten). Samtidig vil vi vurdere all kommunikasjon som er lagt på systemet som stasjonær, og vi vil ikke spesifikt fastsette dette hver gang i fremtiden.

La oss introdusere begrepet mulig arbeid som elementært arbeid som kraften som virker på et materiell punkt kan gjøre ved en forskyvning som sammenfaller med den mulige forskyvningen av dette punktet. Vi vil betegne det mulige arbeidet til den aktive kraften med symbolet, og det mulige arbeidet til N-bindingsreaksjonen med symbolet

La oss nå gi en generell definisjon av begrepet ideelle forbindelser, som vi allerede har brukt (se § 123): ideelle forbindelser er de for hvilke summen av de elementære verkene til deres reaksjoner på enhver mulig forskyvning av systemet er lik. null, dvs.

Betingelsen for forbindelsers idealitet, gitt i § 123 og uttrykt ved likhet (52), når de samtidig er stasjonære, svarer til definisjon (98), siden med stasjonære forbindelser hver faktisk bevegelse sammenfaller med en av de mulige. Derfor vil alle eksemplene gitt i § 123 være eksempler på ideelle sammenhenger.

For å bestemme den nødvendige likevektstilstanden, beviser vi at hvis et mekanisk system med ideelle forbindelser er i likevekt under påvirkning av påførte krefter, så for enhver mulig bevegelse av systemet må likheten være tilfredsstilt

hvor er vinkelen mellom kraften og mulig forskyvning.

La oss betegne resultantene av alle (både eksterne og interne) aktive krefter og koblingsreaksjoner som virker på et eller annet punkt i systemet, henholdsvis gjennom . Da, siden hvert av punktene i systemet er i likevekt, , og derfor vil summen av arbeidet til disse kreftene for enhver bevegelse av punktet også være lik null, dvs. Å kompilere slike likheter for alle punkter i systemet og legge dem til termin for termin, får vi

Men siden forbindelsene er ideelle og representerer mulige bevegelser av punktene i systemet, vil den andre summen i henhold til betingelse (98) være lik null. Da er også den første summen lik null, dvs. likhet (99) gjelder. Dermed er det bevist at likhet (99) uttrykker den nødvendige betingelsen for systemets likevekt.

La oss vise at denne betingelsen også er tilstrekkelig, dvs. at hvis aktive krefter som tilfredsstiller likhet (99) påføres punktene til et mekanisk system i hvile, så vil systemet forbli i ro. La oss anta det motsatte, dvs. at systemet vil begynne å bevege seg og noen av punktene vil gjøre faktiske bevegelser. Deretter vil kreftene gjøre arbeid på disse bevegelsene, og i henhold til teoremet om endringen i kinetisk energi, vil det være:

hvor, åpenbart, siden systemet opprinnelig var i ro; derfor, og . Men ved stasjonære forbindelser faller de faktiske forskyvningene sammen med noen av de mulige forskyvningene, og disse forskyvningene må også inneholde noe som motsier tilstand (99). Således, når de påførte kreftene tilfredsstiller betingelse (99), kan ikke systemet forlate hviletilstanden og denne tilstanden er en tilstrekkelig betingelse for likevekt.

Fra det som er bevist, følger følgende prinsipp for mulige bevegelser: for likevekten til et mekanisk system med ideelle forbindelser, er det nødvendig og tilstrekkelig at summen av de elementære verkene til alle aktive krefter som virker på det for enhver mulig bevegelse av systemet er lik null. Den matematisk formulerte likevektsbetingelsen uttrykkes ved likhet (99), som også kalles ligningen for mulig arbeid. Denne likheten kan også representeres i analytisk form (se § 87):

Prinsippet om mulige forskyvninger etablerer en generell betingelse for likevekten til et mekanisk system, som ikke krever vurdering av likevekten til individuelle deler (kropper) av dette systemet og tillater, med ideelle forbindelser, å utelukke fra vurdering alle tidligere ukjente reaksjoner av forbindelser.

Figur 2.4

Løsning

La oss erstatte den fordelte belastningen med en konsentrert kraft Q = q∙DH. Denne kraften påføres i midten av segmentet D.H.- på punktet L.

Styrke F La oss dekomponere den i komponenter, projisere den på aksen: horisontal Fxcosα og vertikal F y sinα.

Figur 2.5

For å løse et problem ved å bruke prinsippet om mulige forskyvninger, er det nødvendig at strukturen kan bevege seg og samtidig at det er én ukjent reaksjon i arbeidsligningen. I støtte EN reaksjonen brytes ned i komponenter X A, Y A.

For å bestemme X A endre utformingen av støtten EN slik at poenget EN kunne bare bevege seg horisontalt. La oss uttrykke forskyvningen av punktene i strukturen gjennom en mulig rotasjon av delen CDB rundt punktet B i vinkel δφ 1, Del A.K.C. strukturen i dette tilfellet roterer rundt punktet C V1— øyeblikkelig rotasjonssenter (figur 2.5) i en vinkel δφ 2, og bevegelige punkter L Og C- vil

δS L = BL∙δφ 1;
δS C = BC∙δφ 1.

På samme tid

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.

Det er mer praktisk å konstruere arbeidsligningen gjennom arbeidet med momenter med gitte krefter i forhold til rotasjonssentrene.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.

Reaksjon Y A gjør ikke jobben. Transformere dette uttrykket, får vi

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.

Redusert med δφ 1, får vi en ligning som vi lett kan finne ut fra X A.

For å bestemme Y A støttestruktur EN La oss endre det slik at når vi flytter punktet EN eneste kraft gjorde arbeidet Y A(Figur 2.6). La oss ta den mulige bevegelsen av en del av strukturen som BDC rotasjon rundt et fast punkt B — δφ 3.

Figur 2.6

For et poeng C δS C = BC∙δφ 3, det øyeblikkelige rotasjonssenteret for en del av strukturen A.K.C. det vil være et poeng C V2, og flytter poenget C vil uttrykke seg.