Bjelkens akse, bøyd under påvirkning av belastninger, er en jevn kurve, som kalles elastisk linje. Deformasjonen av en bjelke under bøying er preget av avbøyning kl Og rotasjonsvinkel av tverrsnittet , som er lik vinkelen a til hellingen av tangenten til den elastiske linjen i forhold til aksen z bjelker. Ligningene for avbøyninger og rotasjonsvinkler for seksjoner er generelt skrevet i skjemaet y = f(z), a = f 2 (z)

Fra matematikk er det kjent at krumningsradiusen til en kurve y = f(z),

til enhver tid bestemmes av formelen hvor

På grunn av små deformasjoner neglisjerer vi verdien (y) 2 (siden det er betydelig mindre enn enhet) og deretter p * 1 /y". Tidligere utledet vi formelen; Ved å erstatte den resulterende omtrentlige verdien av krumningsradiusen i den, har vi differensialligningen til den elastiske linjen til strålen:

For å oppnå ligningen for rotasjonsvinkler for seksjoner a = / 2 (z), må vi integrere denne ligningen en gang, og på grunn av de små deformasjonene, vil vi anta at y" = tga * a, glad. For å få avbøyningsligningen på = fi(z), du må integrere den samme ligningen to ganger.

Tenk på en bjelke med konstant tverrsnitt belastet med et moment T, konsentrert kraft F og jevnt fordelt last

Ris. 6.23

La oss ta opprinnelsen til koordinatene ved venstre ende av strålen, aksen på pek oppover, og aksen z - til høyre. Bjelken som vurderes har fem seksjoner, som hver har sin egen momentligning, avbøyningsligning og seksjonsrotasjonsvinkelligning. La oss ta hensyn til det faktum at den elastiske linjen til bjelken er en jevn kurve; derfor, ved grensene til seksjonene, vil verdiene til seksjonens rotasjonsvinkler og avbøyninger beregnet fra ligningene til naboseksjonene sammenfaller. Vi vil integrere differensialligninger uten å åpne parentesene i øyeblikksligningene, som bare påvirker verdiene til vilkårlige konstanter.

Plott 1 :

Plott 2

Sette inn verdien i ligningene til den første og andre seksjonen z~ å vi får

Plott 3:

Plott 4:

Siden ligningene til både forrige og etterfølgende seksjoner er gyldige ved grensene til tilstøtende seksjoner, Q = C 2 = C 3 = C 4 = C, D Z-2Z) 3Z-4Z).

Angir med bl.a. rotasjonsvinkelen til seksjonen ved opprinnelsen til koordinatene (i radianer), og med y 0 - avbøyningen ved opprinnelsen til koordinatene, med z = 0 får vi

Siden hver enkelt belastning i ligningene tilsvarer et eget ledd, kan vi i generell form skrive

generalisert ligning av rotasjonsvinkler for seksjoner:

generalisert avbøyningsligning:

Hvis en jevnt fordelt last ikke slutter ved enden av bjelken, bør denne lasten mentalt fortsettes til enden og en motsatt rettet last med samme intensitet bør legges til (fig. 6.23, seksjon 5). I dette tilfellet vil ett ledd til med negativt fortegn bli lagt til de generaliserte ligningene for rotasjonsvinkler og avbøyninger: -

Tegnene til begrepene i generaliserte ligninger bestemmes av tegnregel for bøyemomenter: positiv verdi på betegner avbøyning oppover, og omvendt; positiv verdi EN betyr å vri seksjonen mot klokken, og omvendt.

Når du bruker generaliserte ligninger, husk at:

• 1) for en bjelke stivt fastklemt i venstre ende, ао = 0, уо = 0;
• 2) for en bjelke, hvis venstre ende ligger på støtten, ao* 0, yo = 0; for å bestemme bl.a. bør man lage en ligning av avbøyninger for den andre støtten og likestille den til null;
• 3) i seksjonen med maksimal avbøyning er seksjonens rotasjonsvinkel a = 0, siden på dette punktet av den elastiske linjen er tangenten parallell med aksen Z-

I tillegg til styrkeberegninger blir bjelker ofte kontrollert eller beregnet for stivhet. Stivhetsbetingelsen er at maksimal avbøyning (avbøyningspil) f) eller den maksimale rotasjonsvinkelen bør ikke overstige de tillatte verdiene. Designligningene for stivhet har formen:

Den tillatte nedbøyningsverdien angis vanligvis i brøkdeler av spennlengden /, for eksempel for broer [/] = (1/700...1/1000) /. Seksjonens tillatte rotasjonsvinkel er spesifisert i brøkdeler av en radian.

På slutten av avsnittet utleder vi formelen for den potensielle energien til deformasjon av en bjelke.

Fra formelen bestemmer vi krumningen til den elastiske linjen

hvor EN - elementær rotasjonsvinkel for seksjonen z på seksjon d z (tilknytningsvinkel).

Deretter Den elementære potensielle deformasjonsenergien er lik det elementære arbeidet til bøyemomentet og under statisk belastning er lik Som et resultat av integrasjon innenfor en lengdedel / får vi ønsket formel

Eksempel 6.8

Bestem avbøyning y inn fri ende av utkragende bjelke AB, bøye konsentrert kraft /Fig. 6,24).

Løsning. Reaksjon R A og klype øyeblikk t A henholdsvis like RA = = F,m A = FI. Vurderer uo = 0 og a 0 = 0, fra den generaliserte avbøyningsligningen vi finner E1y inn = R A l 2 /v-t A 1 2 /2. Erstatter verdiene R A wm, vi får

Eksempel 6.9

Bestem maksimal avbøyning og rotasjonsvinkler for seksjonene på støttene til bjelken vist i fig. 6,25.

Løsning. På grunn av bjelkens symmetri er støttereaksjonene like R A = R B = ql/2. La oss plassere opprinnelsen til koordinatene på venstre støtte; Deretter y 0= 0. For å bestemme bl.a. bruker vi betingelsen om at når z = IUv = 0.

hvorfra en 0 = -ql 2 /(24 EI). Det er åpenbart det a =-en 0. Støtteseksjonene har de største rotasjonsvinklene.

Ris. 6,25

Maksimal nedbøyning er midt i bjelkespennet, det vil si kl 1=1/ 2. Deretter

Derfor,

Eksempel 6.10

Bestem maksimal avbøyning og rotasjonsvinkel på støttene til bjelken som er belastet i midten av spennet med en konsentrert kraft (fig. 6.26).

Ris. 6,26

Løsning. Reaksjonene er like F/2 hver og rettet fra bunn til topp. Vi plasserer opprinnelsen til koordinatene på venstre støtte, så yо = 0. For å bestemme en 0 bruker vi betingelsen at når z = / avbøyningen er null (y inn = 0):

Deretter derfor,

På grunn av symmetri, rotasjonsvinkelen på høyre støtte

Maksimal nedbøyning vil være kl z = 4 2 da , derfor, . Endelig

2013_2014 studieår II semester Forelesning nr. 2.6 side 12

Deformasjon av bjelker under bøying. Differensialligning for den buede aksen til en bjelke. Innledende parametere metode. Universell ligning av en elastisk linje.

6. Deformasjon av bjelker under planbøyning

6.1. Grunnleggende begreper og definisjoner

La oss vurdere deformasjonen av en bjelke under planbøyning. Bjelkens akse under påvirkning av last er bøyd i kraftplanet (plan x 0y), mens tverrsnittene roteres og forskyves med en viss mengde. Den buede aksen til en bjelke under bøyning kalles buet akse eller elastisk linje.

Vi vil beskrive deformasjonen av bjelker under bøying med to parametere:

avbøyning(y) – forskyvning av tyngdepunktet til bjelkedelen i en retning vinkelrett på

ris. 6.1 til sin akse.

Ikke forvirre avbøyning y med koordinat y bjelkesnittspunkter!

Den største avbøyningen av strålen kalles avbøyningspilen ( f= y maks);

2) seksjonens rotasjonsvinkel() – vinkelen som seksjonen roterer med i forhold til sin opprinnelige posisjon (eller vinkelen mellom tangenten til den elastiske linjen og bjelkens opprinnelige akse).

Generelt er mengden av avbøyning av en bjelke ved et gitt punkt en funksjon av koordinaten z og kan skrives som følgende ligning:

Deretter vinkelen mellom tangenten til den buede aksen til strålen og aksen x vil bli bestemt ut fra følgende uttrykk:

.

På grunn av små vinkler og forskyvninger kan vi anta det

seksjonens rotasjonsvinkel er den første deriverte av bjelkens avbøyning langs seksjonens abscisse.

6.2. Differensialligning for den buede aksen til en bjelke

Basert på bøyefenomenets fysiske natur kan vi hevde at den buede aksen til en kontinuerlig bjelke må være en kontinuerlig og jevn (uten knekk) kurve. I dette tilfellet bestemmes deformasjonen av en bestemt del av bjelken av krumningen til dens elastiske linje, det vil si krumningen til bjelkeaksen.

Tidligere fikk vi en formel for å bestemme krumningen til en bjelke (1/ρ) under bøying

.

På den annen side, fra løpet av høyere matematikk er det kjent at krumningsligningen til en plan kurve er som følger:

.

Ved å sette likhetstegn mellom høyresidene av disse uttrykkene får vi en differensialligning for den buede aksen til strålen, som kalles den eksakte ligningen for den buede aksen til strålen

I koordinatsystemet av avbøyninger z0 y når aksen y er rettet oppover, bestemmer øyeblikkets tegn tegnet til den andre deriverte av y Av z.

Å integrere denne ligningen byr åpenbart på noen vanskeligheter. Derfor er det vanligvis skrevet i en forenklet form, og neglisjerer verdien i parentes sammenlignet med enhet.

Deretter differensialligning for den elastiske linjen til en bjelke vi vil vurdere det i formen:

(6.1)

Vi finner løsningen på differensialligningen (6.1) ved å integrere begge delene over variabelen z:

(6.2)

(6.3)

Konstanter av integrering C 1 , D 1 er funnet fra grensebetingelsene - betingelsene for å sikre bjelken, og for hver seksjon av bjelken vil dets egne konstanter bli bestemt.

La oss vurdere prosedyren for å løse disse ligningene ved å bruke et spesifikt eksempel.

D ano:

Cantilever bjelkelengde l belastet med skjærkraft F. Bjelkemateriale ( E), formen og dimensjonene til tverrsnittet ( Jeg x) anser vi også som kjent.

OM grense lov om endring av rotasjonsvinkel ( z) og avbøyning y(z) bjelker langs lengden og deres verdier i karakteristiske seksjoner.

Løsning

a) bestemme reaksjonene i forseglingen

b) ved hjelp av seksjonsmetoden bestemmer vi det indre bøyemomentet:

c) bestemme rotasjonsvinkelen til bjelkedelene

Konstant C 1 finner vi fra festebetingelsene, nemlig i en stiv innstøping er rotasjonsvinkelen lik null, da


(0) = 0  C 1 =0.

La oss finne rotasjonsvinkelen til den frie enden av strålen ( z = l) :

Minustegnet indikerer at seksjonen har rotert med klokken.

d) bestemme avbøyningen av strålen:

Konstant D 1 finner vi fra festebetingelsene, nemlig i en stiv innstøping er avbøyningen lik null, da

y(0) = 0 + D 1  D 1 = 0

La oss finne avbøyningen av den frie enden av bjelken ( x= l)

.

Minustegnet indikerer at tverrsnittet har beveget seg nedover.

Analytisk bestemmelse av forskyvninger i bjelker

Eksempel 1

Oppgaven

For strålen vist i fig. 4,20, EN, må du finne avbøyningen i seksjonen MED, rotasjonsvinkel i snitt I analytisk og kontroller stivhetstilstanden hvis tillatt nedbøyning er lik l/100. Bjelken er laget av tre og har et tverrsnitt på tre stokker med en radius på 12 cm. (For valg av tverrsnitt til denne bjelken, se avsnitt 4.1.2, eksempel 1.)

Løsning

For å bestemme bjelkens forskyvninger på en analytisk måte, vil vi komponere differensialligningen til den buede aksen (4.16), ved å bruke Clebsch-reglene for å registrere uttrykket for bøyemomentet. I problemet under vurdering er det mer rasjonelt å velge opprinnelsen til koordinatene til høyre (i tett). Den fordelte lasten, som ikke når venstre ende av bjelken, vil forlenges til seksjonen MED(Fig. 4.20, V). Uttrykket for bøyemomentet vil se slik ut:

.

La oss erstatte dette uttrykket i differensialligningen (4.16) og integrere det to ganger:

;

;

.

For å bestemme konstanter MED Og D La oss skrive ned grensebetingelsene: i innbyggingen (i seksjonen EN, hvor opprinnelsen til koordinatene er plassert), er rotasjonsvinkelen og avbøyningen av strålen lik null, dvs.

OG .

Ved å erstatte disse betingelsene i uttrykkene for rotasjons- og avbøyningsvinkelen i den første delen, finner vi at

Nå kan du definere de angitte bevegelsene. For å bestemme rotasjonsvinkelen i en seksjon I La oss sette inn i uttrykket for rotasjonsvinkelen i den første delen (bare opp til linjen nummerert I) verdien:

I følge fortegnsregelen er det negative fortegnet for rotasjonsvinkelen for den valgte opprinnelsen X til høyre betyr at seksjonen roteres med klokken.

I tverrsnitt MED, hvor du vil finne avbøyningen, koordinere X er lik , og denne delen er plassert i den tredje delen av strålen, så vi erstatter X= 4 m i uttrykket for avbøyninger, med termer i alle tre seksjonene:

kN m 3.

Minustegnet for funnet avbøyning indikerer at seksjonen MED beveger seg opp. La oss vise de funnet forskyvningene på bjelkens buede akse. For å tegne bjelkens akse etter deformasjon, konstruerer vi et diagram over bøyemomenter (fig. 4.20, b). Positivt tegn på diagrammet M i et snitt viser at bjelken i denne seksjonen bøyer seg konvekst nedover, med negativt fortegn M den buede aksen konvekser oppover. I tillegg må bjelkens deformerte akse tilfredsstille festebetingelsene: i vårt tilfelle er bjelken stivt klemt i høyre ende, og som allerede nevnt når du skriver grensebetingelsene, avbøyningen og rotasjonsvinkelen i klemmen må være lik null. I fig. 4,20, G aksen til bjelken under vurdering er vist etter deformasjon, og tilfredsstiller disse betingelsene. Den buede aksen viser de funnet avbøyningene i snitt MED og seksjonsrotasjonsvinkel I tar hensyn til deres tegn.

Avslutningsvis, la oss beregne avbøyningen av strålen i centimeter, rotasjonsvinkelen i radianer, og sjekke stivhetstilstanden. La oss finne stivheten EI den betraktede trebjelken av tre stokker med en radius på 12 cm. Treghetsmoment av tverrsnittet

cm 4.

Elastisitetsmodul til tre E= 10 4 MPa = 10 3 kN / cm 2. Deretter

Bjelkeavbøyning i snitt MED

cm,

og seksjonens rotasjonsvinkel I

glad.

Åpenbart (se fig. 4.20, G), at den funnet avbøyningen av bjelken i seksjonen MED er maksimal, derfor, for å kontrollere stivhetstilstanden, sammenligner vi den med den tillatte avbøyningen. For en bjelkelengde m, tillatt nedbøyning i henhold til tilstanden cm. Dermed er den maksimale nedbøyningen cm er mindre enn tillatt, og stivhetsbetingelsen er oppfylt.

Eksempel 2

Oppgaven

I en bjelke med to konsoller, vist i fig. 4,21, EN vi må finne rotasjonsvinkelen til seksjonen EN og seksjonsavbøyning D ved hjelp av en analytisk metode. Tverrsnittet på bjelken er I-bjelke nr. 24.

Løsning

La oss velge opprinnelsen til koordinaten X ved venstre ende av strålen ved punktet EN og skriv ned uttrykket for bøyemomentet i alle seksjoner, ta hensyn til Clebschs regler:

La oss erstatte dette uttrykket i differensialligningen til den buede aksen (4.16) og integrere det to ganger:

La oss finne vilkårlige konstanter MED Og D fra grensebetingelsene. På poeng I Og MED der støttene er plassert, er nedbøyninger ikke mulig. Derfor

Vi fikk et system med to ligninger med to ukjente MED Og D. Å løse dette systemet finner vi MED= 40 kN m 2, D= – 40 kN m 3. La oss analysere resultatet ved å bruke den geometriske betydningen av vilkårlige konstanter MED Og D. I fig. 4,21, V bjelkens buede akse er vist, tilsvarende diagrammet over bøyemomenter og festeforhold. Punktum EN, som ligger ved origo, beveger seg oppover, og derfor bør vi forvente det vil ha negativt fortegn i henhold til tegnregelen. Seksjon på et punkt EN roterer med klokken, så konstanten må være positiv. Mottatt tegn MED Og D ikke motsi den utførte analysen.

Bjelken belastes med en jevnt fordelt last. Bøyestivheten til bjelkens tverrsnitt er konstant og lik . Nedbøyningen i midten av spennet til en lengdebjelke er lik....

Utkragerbjelken i seksjon AB belastes med en jevnt fordelt intensitetsbelastning q. Bøyestivheten til tverrsnittet langs hele lengden er konstant. Snittrotasjonsvinkel B, lik i absolutt verdi...

La oss konstruere et diagram over bøyemomenter fra en gitt last (). Deretter vil vi konstruere et diagram av et enkelt moment () brukt i seksjonen I. La oss bestemme rotasjonsvinkelen til seksjonen I. For å gjøre dette multipliserer vi diagrammene fra en gitt last og et enhetsmoment. På venstre side er resultatet av multiplikasjon null. På høyre seksjon er begge diagrammene lineære. Hvis vi tar arealet fra en enhetstomt, får vi: . Minustegnet viser at strekningen I dreier i motsatt retning av retningen til enhetsmomentet. Når du multipliserer diagrammer, kan du ta arealet til lastdiagrammet og ordinaten med enheten en (som vist på figuren).

Oppgave 25

Med dette lastealternativet i en stang med rektangulært (ikke kvadratisk) tverrsnitt, oppstår en kombinasjon.....

Når det oppstår eksentrisk spenning (kompresjon) av stangen i tverrsnittet...

Lengdekraft og bøyemoment

I et vilkårlig rektangulært tverrsnitt av stangen virker interne kraftfaktorer: N– langsgående kraft; og − bøyemomenter. Derfor er det en kombinasjon...

Spenning og ren skråbøyning

Bøyemomentene kan legges til geometrisk. Aksjonsplanet til det totale bøyemomentet vil ikke falle sammen med noen av stangens hovedsentralplan. Derfor skjer en kombinasjon av spenning og ren skråbøyning.

Figuren viser et diagram over lasting av en stang med sirkulært tverrsnitt. I enhver vilkårlig seksjon av stangen i seksjon II er det en kombinasjon...

Flat tverrbøyning med vridning og strekk

Vi kutter stangen i den andre seksjonen med et tverrsnitt og kaster den venstre delen.

Fra likevektsforholdene til den gjenværende delen finner vi

For et sirkulært snitt () kan den skrå bøyningen reduseres til en flat bøyning dersom vi geometrisk legger sammen bøyemomentene og , tverrkrefter og Derfor har vi i den andre seksjonen en flat tverrbøyning med torsjon og strekk.

Typen av deformasjoner av stangseksjonene er...

jeg – bøyer med torsjon, II– flat bøy

Bildene viser avkuttede deler av stangen. Tverrkrefter er ikke vist. derfor en skrå sving i området II kan reduseres til flat momentbøyning . Plassering på Jeg kraft forårsaker deformasjon - flat bøyning med torsjon. Plassering på II– flat bøy.

Oppgave 26

For en gitt belastning av stangen (kraften ligger i planet), oppstår den maksimale normalspenningen ved punktet....

En stang med rektangulært tverrsnitt med dimensjoner belastes som vist i diagrammet. Styrke, dimensjoner er gitt. Kraften ligger i flyet. Verdien av normalspenningen i et punkt er...

(fordi

Etter bytte)

Maksimal normal strekkspenning i en stang med rektangulært tverrsnitt med dimensjoner og er lik . Stanglengde l gitt. Styrkeverdi F er lik.…

Maksimal normal strekkspenning oppstår på punktet I, plassert i en seksjon uendelig nær innstøpingen.

Med tanke på det i denne delen og på punktet I de forårsaker strekking, får vi Derfor verdien av kraften

Diagrammer over fordelingen av normale spenninger i tverrsnittet av stangen er presentert. Skrå bøyning ved en gitt belastning av stangen tilsvarer diagrammet...

Fra det fysiske konseptet av bøyeprosessen er det klart at de øvre lagene av stangen vil bli strukket, og de nedre lagene vil bli komprimert. I tillegg, i skrå bøying, passerer den nøytrale linjen gjennom tyngdepunktet til tverrsnittet. Derfor er alternativ 3 riktig.

Oppgave 27

Styrken til søylen når punktet for påføring av trykkkraften er fjernet fra tyngdepunktet til seksjonen…….

Minker

Virkelinjen til trykkkraften går gjennom punktet TIL kontur av seksjonskjernen. Nøytrallinjen er på plass......

(fordi )

Stangen opererer i eksentrisk kompresjon. På farlige punkter i tverrsnittet har vi en ______________ stresstilstand.

Lineær

Ved eksentrisk kompresjon oppstår to indre kraftfaktorer i stangens tverrsnitt: langsgående kraft og bøyemoment. Derfor vil spenninger på ethvert punkt i tverrsnittet være summen av normale spenninger ved aksial kompresjon og normale spenninger fra ren, generelt skrå, bøyning. Følgelig har vi på farlige punkter i seksjonen en lineær spenningstilstand.

Oppgave 28

Lastediagrammet for en stang med sirkulært tverrsnitt er vist på figuren. Poenget vil være farlig......

En rund stang med diameter og høyde belastes med to krefter som ligger i planet. Verdien av ekvivalentspenningen ved punkt, ifølge teorien om store tangentielle spenninger, er lik......(Tangensielle spenninger fra tverrkraft er ikke tatt med i beregningene)

En rund stang med diameter er laget av et plastmateriale. Betydningen av kraft. Den ekvivalente spenningen ved det farlige punktet på stangen, i henhold til teorien om maksimale tangentielle spenninger, er ...

52 MPa

Det farlige tverrsnittet for en gitt belastning av stangen vil være ved innstøpningen. Vi neglisjerer påvirkningen fra tverrgående krefter. Verdiene for å unngå momenter og dreiemoment i den farlige delen er vist i figuren.

Ved å bruke teorien om maksimale tangentielle spenninger finner vi den ekvivalente spenningen på det farlige punktet: eller Etter å ha erstattet de gitte verdiene får vi

Stangen gjennomgår bøyning og torsjonsdeformasjon. Spenningstilstanden som oppstår på et farlig punkt i tverrsnittet til en rundstang kalles...

Flat

Hvis et elementært volum roteres rundt normalen til den ytre sylindriske overflaten, er det mulig å finne en posisjon der de tangentielle spenningene på flatene vil være lik null, og de normale spenningene (hovedspenningene) ikke vil være lik null. Siden den normale spenningen langs oversiden (en av hovedspenningene) er null, er spenningstilstanden plan.

Ødelagt rundstang med diameter d belastet med kraft F. Lengdene på seksjonene er like og like. Verdien av den maksimale ekvivalente spenningen i stangen, i henhold til teorien om maksimale tangentielle spenninger, er ...

Den farlige delen i stangen er plassert uendelig nær innstøpingen. Et bøyemoment og et dreiemoment virker i denne seksjonen Basert på teorien om maksimale tangensielle spenninger, er ekvivalentspenningen ved et farlig punkt i en sirkulær seksjon bestemt av formelen hvor derfor,

En stang med rektangulært tverrsnitt opplever bøyedeformasjon i to plan og torsjon. Den spente tilstanden som oppstår på farlige punkter vil...

Lineær og flat

Ved vurdering av spenningstilstanden på farlige punkter i en rektangulær seksjon, når den er utsatt for bøydeformasjon i to plan og torsjon, kontrolleres tre punkter: hjørnet, midt på langsiden og midt på kortsidene. Ved hjørnepunktet oppstår kun normale spenninger. Følgelig vil spenningstilstanden være lineær. På punkter som ligger midt på lang- og kortsiden, sammen med normale påkjenninger. tangenter vises. Derfor vil stresstilstanden på disse punktene være flat.

Oppgave 29

Bøyestivheten til tverrsnittet langs bjelkens lengde er konstant. Størrelsen er satt. Verdien av kraften ved hvilken avbøyningen av endedelen I vil være lik......

En buet stang med radius belastes med en kraft Bøyestivheten til tverrsnittet er spesifisert. Vertikal bevegelse av seksjon I er lik….

(fordi )

4. Bøy. bestemmelse av bevegelser.

4.1. Differensialligning for den buede aksen til en bjelke og dens integrasjon.

Ved bøying bøyes bjelkens akse, og tverrsnittene beveger seg translasjonsmessig og roterer rundt nøytrale akser, mens de forblir normalt på den buede lengdeaksen (fig. 8.22). Den deformerte (buede) lengdeaksen til bjelken kalles en elastisk linje, og translasjonsforskyvningene til seksjonene er lik forskyvningene y= y(x) deres tyngdepunkt for seksjonene er bjelkens avbøyninger.

Mellom avbøyninger y(x) og rotasjonsvinkler for seksjoner θ (x) det er en viss avhengighet. Fra fig. 8.22 kan det ses at rotasjonsvinkelen til seksjonen θ lik vinkel φ hellingen av tangenten til den elastiske linjen ( θ Og φ - vinkler med innbyrdes vinkelrette sider). Men i henhold til den geometriske betydningen av den første deriverte y / = tgθ . Derfor, tgθ =tgφ =y / .

Innenfor grensene for elastiske deformasjoner er bjelkeutbøyningen vanligvis betydelig mindre enn snitthøyden h, og rotasjonsvinklene θ ikke overstige 0,1 – 0,15 rad. I dette tilfellet er forholdet mellom avbøyninger og rotasjonsvinkler forenklet og tar formen θ =y / .

La oss nå bestemme formen på den elastiske linjen. Påvirkning av skjærkrefter Q avbøyningen av bjelker er som regel ubetydelig. Derfor kan det antas med tilstrekkelig nøyaktighet at under tverrgående bøying avhenger krumningen av den elastiske linjen bare av størrelsen på bøyemomentet Mz og stivhet EIz(se ligning (8.8)):

Sette likhetstegn mellom høyresidene av (8.26) og (8.27) og ta hensyn til at tegnet regler for Mz Og y// ble akseptert uavhengig av hverandre, får vi

Valget av tegn på høyre side av (8.29) bestemmes av retningen til koordinataksen y, siden tegnet til den andre deriverte avhenger av denne retningen y// . Hvis aksen er rettet oppover, så, som det fremgår av fig. 8.23, tegn y// Og Mz sammenfaller, og plusstegnet må stå igjen på høyre side. Hvis aksen er rettet nedover, så skiltene y// Og Mz er motsatte, og dette tvinger oss til å velge minustegnet på høyre side.

Merk at ligning (8.29) bare er gyldig innenfor grensene for anvendeligheten til Hookes lov og bare i de tilfellene når bøyemomentets handlingsplan Mz inneholder en av hovedtreghetsaksene til seksjonen.

Ved å integrere (8.29) finner vi først rotasjonsvinklene til seksjonene

Integrasjonskonstantene bestemmes ut fra randbetingelsene. I seksjoner med ulike analytiske uttrykk for bøyemomenter er også differensialligningene til den elastiske linjen forskjellige. Integrering av disse ligningene kl n tomter gir 2 n vilkårlige konstanter. For å bestemme dem, legges betingelsene for likestilling av avbøyninger og rotasjonsvinkler i krysset mellom to tilstøtende seksjoner av bjelken til grensebetingelsene på støttene.