Løse et lineært programmeringsproblem (LPP) ved hjelp av en grafisk metode
Generell erklæring om zlp
Finn verdiene til n variable x 1, x 2,..., x n som leverer ekstremumet (minimum eller maksimum) til den lineære funksjonen Z = C 1 x 1, + C 2 x 2 +... + C n x n
og samtidig tilfredsstille m begrensninger i formen
a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 +... + a 1, n x n£ = ≥b 1,
a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 +... + a 2, n x n£ = ≥b 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,
a m, 1 x 1 + a m, 2 x 2 +... + a m, n x n£ = ≥b m,
for gitt a i, j, bi, C j (i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n). Relasjonstegnet kan ta hvilken som helst av de tre verdiene som vises.
Et eksempel på et lineært programmeringsproblem
Vurder følgende problem. Lederen for et selskap som produserer to typer maling beskrev for driftsforskeren situasjonen i produksjons- og salgsmarkedet for maling. Det viste seg at fabrikken produserer to typer maling: for interne og eksterne arbeider. Begge malingene er tilgjengelig for engros. For produksjon av maling brukes to startprodukter - A og B. Maksimalt mulig daglig lager av disse produktene er henholdsvis 6 og 8 tonn. Erfaring har vist at den daglige etterspørselen etter utvendig maling aldri overstiger etterspørselen etter innvendig maling med mer enn 1 tonn. I tillegg er det funnet at etterspørselen etter utvendig maling aldri overstiger 2 tonn per dag. Engrosprisene på ett tonn maling var som følger: 3 tusen rubler for den ytre malingen og 2 tusen rubler for den indre. Hvor mye av hver type maling bør en fabrikk produsere for å maksimere salgsinntektene?
For å løse problemet som stilles til forskeren, er det først nødvendig å utvikle en matematisk modell av den beskrevne situasjonen.
Ved konstruksjon av en matematisk modell stiller operasjonsforskeren tre spørsmål.
- For hvilke mengder skal modellen bygges? Du må med andre ord identifisere oppgavevariablene.
- Hvilke begrensninger må pålegges variablene for å tilfredsstille betingelsene som er karakteristiske for systemet som modelleres?
- Hva er målet, for å oppnå hvilke av alle mulige (tillatte) verdier av variabler det er nødvendig å velge de som vil samsvare med den optimale (beste) løsningen av problemet?
La oss introdusere variabler:
x 1 - daglig produksjon av utvendig maling (i tonn),
x 2 er den daglige produksjonen av interiørmaling (i tonn).
Tatt i betraktning engrosprisene per tonn av hver type maling, er den daglige inntekten fra salg av produserte produkter gitt av den lineære objektivfunksjonen Z = 3x 1 + 2x 2.
Målet med produksjonen er å maksimere profitt, noe som betyr at du må finne verdiene x 1 og x 2 som maksimerer objektivfunksjonen Z.
Siden malingsprodusenten ikke kan disponere verdiene til variablene på en vilkårlig måte, er det nødvendig å fremheve settet med mulige verdier for disse variablene, som bestemmes av de spesifikke betingelsene for produksjon og markedsføring. Dette settet kalles utvalget av gyldige verdier.
Den første typen restriksjoner bestemmes av beholdningen av produkter A og B, som maling er laget av. Det er kjent fra produksjonsteknologien at to deler av produkt A brukes til produksjon av et tonn utvendig maling, og en del for et tonn innvendig maling. For produkt B er forholdet snudd. Disse teknologiske forholdene er beskrevet av ulikhetene
2x 1 + x 2 £ 6 (på lager 6 tonn produkt A),
x 1 + 2x 2 £ 8 (på lager 8 tonn produkt B).
De to siste restriksjonene betyr et åpenbart faktum: du kan ikke bruke flere produkter A og B til produksjon av maling enn de faktisk har på lager.
Situasjonen med salg av maling på markedet fører til følgende begrensninger: x 1 - x 2 £ 1 (ekstern maling selges ikke mer enn ett tonn mer enn den interne), x 1 £ 2 (ikke mer enn to tonn av utvendig maling selges per dag).
For å oppsummere alt som er sagt, er det mulig å sette en matematisk modell som beskriver dagens produksjonssituasjon i følgende form:
finne® maks (Z = 2 × x 1 + 3 × x 2) med følgende begrensninger på verdiene til variablene x 1 og x 2
2 × x 1 + x 2 £ 6 begrensning (1),
X 1 + 2 × x 2 £ 8 begrensning (2),
X 1 - x 2 £ 1 begrensning (3),
X 1 £ 2 begrensning (4)
og kravet om ikke-negativitet for variablene x 1 ³ 0 (5), x 2 ³ 0 (6).
Den resulterende matematiske modellen er et lineært programmeringsproblem.
Grafisk metode for å løse zlp
Den grafiske metoden for å løse problemet kan bare realiseres i et todimensjonalt tilfelle.
Den matematiske modellen som er oppnådd for det formulerte typiske problemet krever forskning, siden det ikke er kjent på forhånd om det (som et matematisk problem) har en løsning. Forskningen vil bli utført ved hjelp av grafiske konstruksjoner. Samtidig med slik forskning vil vi finne (hvis noen) en løsning.
1. stadie. Bygging av regionen av gjennomførbare løsninger
Målet er å bygge et område, hvor hvert punkt oppfyller alle begrensningene.
Hver av de seks begrensningene definerer geometrisk et halvplan. For å bygge den trenger du:
- · Bytt ut ulikhetstegnet med likhet i restriksjonen (vi får ligningen til den rette linjen);
- · Bygg en rett linje med to punkter;
- · Bestem hvilket halvplan som er definert av ulikhetstegnet. For å gjøre dette, erstatte et punkt i ulikheten (for eksempel opprinnelsen til koordinater). Hvis det tilfredsstiller ulikheten, mal over halvplanet som inneholder det.
Vi utfører slike handlinger for alle restriksjoner. Hver av de rette linjene vil bli merket med tallene som brukes i nummereringen av restriksjoner (se fig.).
Området med gjennomførbare løsninger (som tilfredsstiller alle begrensninger) er settet med punkter i den første kvadranten av koordinatplanet (x 1, x 2), som er skjæringspunktet mellom alle halvplan definert av ulikheter i begrensninger.
Settet med punkter som tilfredsstiller alle seks begrensningene til problemet er AFEDCB-polygonet.
Trinn 2 Konstruksjon av linjer av det objektive funksjonsnivået og fastsettelse av maksimumspunktet
Målet er å finne i det konstruerte polygonet AFEDCB er punktet der målfunksjonen Z = 2x 1 + 3x 2 når sin maksimale verdi.
La oss tegne en rett linje 2x 1 + 3x 2 = Сonst (nivålinje) slik at den skjærer AFEDCB-polygonet (for eksempel Const = 10). Denne nivålinjen er vist som en stiplet linje i figuren.
Hvis vi vurderer verdiene til den lineære objektivfunksjonen Z på settet med punkter (x 1, x 2) som tilhører segmentet av den stiplede linjen som ligger inne i sekskanten, så er de alle like med samme verdi (Const = 10).
La oss bestemme retningen for økningen av funksjonen. For å gjøre dette, tegn en nivålinje med en større verdi. Det vil være en rett linje, parallelt med den konstruerte, men plassert til høyre. Dette betyr at i en gitt retning øker verdien av målfunksjonen, og det er i vår interesse å flytte den så langt som mulig i denne retningen.
Skiftet kan fortsettes så lenge den flyttede linjen skjærer den mulige løsningspolygonen. Den siste posisjonen til den rette linjen, når den har ett felles punkt med AFEDCB-polygonet (punkt C), tilsvarer maksimalverdien til objektivfunksjonen Z og nås ved punkt C med koordinatene x 1 = 4/3 ("1.333 ), x 2 = 10/3 (" 3,333). I dette tilfellet er Z = 38/3 (»12,667).
Oppgaven er fullstendig løst. Fra de geometriske resonnementene som er utført, er det tydelig at løsningen er unik. La oss gjøre noen generaliseringer som følger av den geometriske tolkningen av problemet.
Først. Regionen med mulige løsninger er en konveks polygon ( Hvorfor konveks? Kan domenet til gjennomførbare løsninger være et tomt sett? Punkt? Seksjon? Stråle? Direkte? Hvis ja, oppgi et eksempel på et begrensningssystem).
Sekund. Maksimum av målfunksjonen oppnås ved toppunktet til polygonet til mulige løsninger ( men kan det være mer enn den eneste løsningen? Kan det ikke være noen løsning?)
Oppgave 1 (fullfør i klassen, vis til læreren)
Løs med grafisk metode
|
A) F = 2 x 1 +3 x 2 и maks Med restriksjoner x 1 +3 x 2 ≤ 18 2 x 1 + x 2 ≤ 16 x 2 ≤ 5 3 x 1 ≤ 21 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 |
B) F = 4 x 1 +6 x 2 и min Med restriksjoner 3 x 1 + x 2 ≥ 9 x 1 +2 x 2 ≥ 8 x 1 + 6x 2 ≥ 12 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 |
|
C) F = 3 x 1 +3 x 2 è maks Med restriksjoner x 1 + x 2 ≤ 8 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 2 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 |
D) F = 2 x 1 -3 x 2 и min Med restriksjoner x 1 + x 2 ≥ 4 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 1 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 |
A) x1 = 6 x2 = 4 F = 24
B) x1 = 2 x2 = 3 F = 26
C) x1Î x2 = 8-x1 F = 24
Oppgave 2 (fullfør i klassen, vis til læreren)
Svar på spørsmålene i kursiv.
Oppgave 3 (hjemmelekse)
Skriv et program.
Gitt en tekstfil av skjemaet
2 3 (koeffisienter for objektivfunksjonen)
4 (antall restriksjoner)
2 2 12 (restriksjoner)
1 2 8
4 0 16
0 4 12
Konstruer linjer slik at polygonen av gjennomførbare løsninger var helt på skjermen (for definisjon av skalaen, se boken. Onegov). Rette linjer kan være parallelle med aksene!
Konstruer flere linjer av objektivfunksjonsnivået (trykk på tasten - linjen beveger seg, verdien til objektivfunksjonen vises). Vis målestokk.
Den grafiske metoden er ganske enkel og intuitiv for å løse lineære programmeringsproblemer med to variabler. Den er basert på geometriske representasjon av gjennomførbare løsninger og CF av problemet.
Hver av ulikhetene til det lineære programmeringsproblemet (1.2) definerer et visst halvplan på koordinatplanet (fig. 2.1), og systemet av ulikheter som helhet definerer skjæringspunktet mellom de tilsvarende planene. Settet med skjæringspunkter for disse halvplanene kalles domene for gjennomførbare løsninger(ODR). SDT representerer alltid konveks figur, dvs. som har følgende egenskap: hvis to punkter A og B tilhører denne figuren, så tilhører hele segmentet AB den. ODR kan representeres grafisk av en konveks polygon, en ubegrenset konveks polygonal region, et segment, en stråle eller ett punkt. I tilfelle av inkonsistens i systemet med begrensninger for problem (1.2), er ODR et tomt sett.
Alt det ovennevnte gjelder for tilfellet når systemet med begrensninger (1.2) inkluderer likheter, siden enhver likhet
kan representeres som et system av to ulikheter (se figur 2.1)
DF ved en fast verdi definerer en rett linje på planet. Ved å endre verdiene til L, får vi en familie av parallelle linjer, kalt nivålinjer.
Dette skyldes det faktum at en endring i verdien av L vil innebære en endring bare i lengden på segmentet avskåret av nivålinjen på aksen (initialordinaten), og helningen til den rette linjen vil forbli konstant ( se figur 2.1). Derfor, for å løse det, vil det være nok å bygge en av nivålinjene, vilkårlig velge verdien L.
En vektor med koordinater fra CF-koeffisientene ved og er vinkelrett på hver av nivålinjene (se fig. 2.1). Retningen til vektoren er den samme som retningen øker CF, som er et viktig poeng for å løse problemer. Retning forsvinnende CF er motsatt av retningen til vektoren.
Essensen av den grafiske metoden er som følger. I retning (mot retningen) av vektoren i ODR utføres søket etter det optimale punktet. Det optimale punktet er punktet som nivålinjen, tilsvarende funksjonens største (minste) verdi, passerer. Den optimale løsningen er alltid plassert på grensen til ODR, for eksempel ved det siste toppunktet til ODR-polygonet, som mållinjen passerer, eller på hele siden.
Når du søker etter en optimal løsning på problemer med lineær programmering, er følgende situasjoner mulige: det er en unik løsning på problemet; det er et uendelig antall løsninger (alternativt optium); CF er ikke begrenset; området med tillatte løsninger er det eneste poenget; oppgaven har ingen løsninger.
Figur 2.1 Geometrisk tolkning av begrensninger og CF av problemet.
Metodikk for å løse LP-oppgaver ved hjelp av en grafisk metode.
I. I begrensningene til problem (1.2), bytt ut tegnene på ulikheter med tegnene på nøyaktige likheter og konstruer de tilsvarende linjene.
II. Finn og skyggelegg halvplan som er løst av hver av ulikhetsbegrensningene til problemet (1.2). For å gjøre dette, må du erstatte koordinatene til et punkt [for eksempel (0; 0)] med en spesifikk ulikhet, og kontrollere sannheten til den resulterende ulikheten.
Hvis ulikheten er sann,
deretter det er nødvendig å skyggelegge halvplanet som inneholder det gitte punktet;
ellers(ulikheten er falsk) er det nødvendig å skyggelegge halvplanet som ikke inneholder det gitte punktet.
Siden og må være ikke-negative, vil deres tillatte verdier alltid være over aksen og til høyre for aksen, dvs. i I-kvadranten.
Likhetsbegrensninger tillater bare de punktene som ligger på den tilsvarende linjen. Derfor er det nødvendig å markere slike rette linjer på grafen.
III. Definer ODR som en del av flyet som tilhører alle tillatte områder samtidig, og velg den. I mangel av en IDT har problemet ingen løsninger.
IV. Hvis ODR ikke er et tomt sett, må du bygge en mållinje, dvs. hvilken som helst av nivålinjene (hvor L er et vilkårlig tall, for eksempel et multiplum av og, dvs. praktisk for å gjøre beregninger). Konstruksjonsmetoden ligner på konstruksjonen av direkte begrensninger.
V. Konstruer en vektor som starter ved punkt (0; 0) og slutter ved punkt. Hvis mållinjen og vektoren er konstruert riktig, vil de være det vinkelrett.
Vi. Når du søker etter maksimum av CF, er det nødvendig å flytte mållinjen i retningen vektor, når du søker etter minimum av CF - mot retning vektor. Den siste toppen av ODR i løpet av bevegelsen vil være punktet for maksimum eller minimum av CF. Hvis et slikt punkt (poeng) ikke eksisterer, kan vi konkludere med det CFs ubegrensethet på settet med planer fra toppen (når du ser etter et maksimum) eller nedenfra (når du ser etter et minimum).
Vii. Bestem koordinatene til punktet maks (min) DF og beregn verdien av DF. For å beregne koordinatene til det optimale punktet, er det nødvendig å løse systemet med ligninger av de rette linjene i skjæringspunktet som er.
Grafiske metoder er først og fremst assosiert med den geometriske representasjonen av funksjonell avhengighet ved bruk av linjer på et plan. Grafer brukes til raskt å finne verdien av funksjoner etter den tilsvarende verdien av argumentet, for en visuell representasjon av funksjonelle avhengigheter.
Nesten alle typer diagrammer brukes i økonomisk analyse: sammenligningsdiagrammer, tidsseriediagrammer, distribusjonskurver, korrelasjonsfeltdiagrammer, statistiske kartogrammer. Sammenligningsdiagrammer er spesielt utbredt i analysen - for å sammenligne rapporterte indikatorer med planlagte, for tidligere perioder og avanserte foretak av innenlandske eller utenlandske. For å visualisere dynamikken i økonomiske fenomener (og i analysen med tidsserier må man forholde seg veldig ofte), brukes tidsseriediagrammer.
Ved å bruke et koordinatrutenett bygges grafer for avhengighet, for eksempel kostnadsnivået på volumet av produserte og solgte produkter, også. grafer der du kan skildre korrelasjoner mellom indikatorer. I koordinatsystemet viser bildet påvirkningen av ulike faktorer på en bestemt indikator.
Den grafiske metoden er mye brukt for å studere produksjonsprosesser, organisasjonsstrukturer, programmeringsprosesser osv. For å analysere effektiviteten ved bruk av produksjonsutstyr bygges det for eksempel beregningsgrafer, inkludert grafer over flere faktorer.
Forklaring: hver sirkel regnes som en av toppunktene i grafen; tallet i den øvre sektoren av hvert toppunkt betyr serienummeret; fra tallene til to nærliggende hjørner legges arbeidschifferet til; tallet i den nedre sektoren av hvert toppunkt er ordenstallet til forrige toppunkt, og linjen som forbinder disse to toppunktene indikerer et bestemt arbeid. Under streken er den planlagte varigheten av dette arbeidet; tallet i venstre sektor av hvert toppunkt betyr den totale varigheten av alle tidligere arbeider, tallet i høyre sektor skiller seg fra figuren i venstre med mengden reserve (tidsreserve). Således, for toppunktene som ligger på den kritiske banen, faller tallene i venstre og høyre sektor av toppunktet sammen, siden tidsmarginen er 0.
I et matematisk formalisert system for analyse, planlegging og styring inntar nettverksdiagrammer en spesiell plass. De gir en stor økonomisk effekt ved bygging og installasjon av industrielle og andre virksomheter.
Nettverksdiagrammet (fig. 6.1) lar deg fremheve de viktigste på den kritiske veien fra hele arbeidskomplekset, og fokusere på dem hovedressursene til konstruksjons- og installasjonsorganisasjoner, etablere relasjoner mellom ulike spesialiserte organisasjoner og koordinere arbeidet deres. . Jobbene på den kritiske banen krever lengst venting på neste arrangement. På scenen for operasjonell analyse og styring gjør nettverksplanen det mulig å effektivt overvåke fremdriften i konstruksjonen, ta rettidige tiltak for å eliminere mulige forsinkelser i arbeidet.
Bruk av nettverksdiagrammer for analyse, planlegging og styring gir, som mange eksempler viser, en reduksjon i byggetid med 20-30 %, en økning i arbeidsproduktiviteten med 15-20 %.
I analysen utført direkte på byggeplasser, bidrar bruken av nettverksplanleggings- og styringsmateriell til riktig identifisering av årsakene som påvirker fremdriften av byggingen, og identifisering av virksomheter som ikke sikrer utførelsen av arbeidet som er betrodd dem eller levering av utstyr innenfor tidsrammen fastsatt av tidsplanen.
Utviklingen av en nettverksplan i konstruksjon utføres i nærvær av: normer for varigheten av konstruksjonen og idriftsettelsesperioden til et objekt eller et kompleks av objekter, designestimater, et prosjekt for organisering av konstruksjon og produksjon av arbeid, standardflyt diagrammer, gjeldende standarder for arbeidskostnader, materialer og maskindrift. I tillegg, når du utarbeider tidsplanen, brukes erfaringen med å utføre individuelle arbeider, samt data om produksjonsbasen til konstruksjons- og installasjonsorganisasjoner.
Basert på alle disse dataene, er det utarbeidet en tabell over arbeider og ressurser, der deres egenskaper, volum, arbeidsintensitet i dagsverk, utøver (organisasjon og team), antall arbeidere, skift, behov for mekanismer og materialer, kilder til deres kvittering er angitt i den teknologiske sekvensen av arbeidet , den totale varigheten av arbeidet i dager, samt den forrige oppgaven, etter slutten av hvilken du kan starte dette arbeidet. Basert på indikatorene til en slik tabell utarbeides en nettverksplan, som kan ha varierende detaljeringsgrad avhengig av vedtatt produksjonsordning.
arbeidsledelse og ledelsesnivå; i tillegg til den generelle timeplanen, utvikler utøvere en tidsplan for arbeidet de utfører.
Hovedelementene i nettverksplanen: hendelse, arbeid, venting, avhengighet.
Når man analyserer fremdriften for konstruksjonen av et objekt, bør det fastslås om nettverksplanen er satt opp riktig, om den kritiske banen ikke er overvurdert, om alle mulighetene for reduksjon er tatt i betraktning ved optimalisering av tidsplanen. , om det er mulig å utføre noe arbeid parallelt eller redusere tiden brukt på dem ved å øke mekaniseringsmidlene osv. Dette er spesielt viktig i tilfeller der arbeidets varighet etter planen ikke sikrer fullføring av konstruksjonen i tide .
Hovedmaterialet for nettverksplanlegging som brukes i analysen er informasjon om fremdriften i arbeidet på en tidsplan, som vanligvis utarbeides minst en gang hvert tiår. Som eksempel gis et kart over oppdraget og informasjon om fremdriften av arbeid på et byggeobjekt, utført i henhold til nettplanen (tabell 6.1). I følge kartet ble det utført kritisk arbeid i begynnelsen av måneden før skjema, men da var det etterslep i monteringen av kranbjelker i rad B, og det påfølgende arbeidet - montering av kranbjelker i rad A - var fullført med ett døgns etterslep.
Optimalisering av nettverksplaner utføres på planleggingsstadiet ved å redusere den kritiske banen, dvs. minimere tidspunktet for byggearbeid på gitte ressursnivåer, minimere nivået av forbruk av materialer, arbeidskraft og økonomiske ressurser med en fast timing av byggearbeid . En blandet tilnærming er også mulig: for en del av arbeidet (dyrere) - å minimere nivået av ressursforbruk med en fast tidsramme for arbeidet, for den andre - å minimere tiden på et fast ressursnivå.
Løsningen av optimaliseringsproblemer forenkles i stor grad av tilstedeværelsen av anvendte programvarepakker (APP), tilpasset kompilering av optimale nettverksdiagrammer på en datamaskin.
I den utenlandske praksisen med systemanalyse er en grafmatematisk metode kalt "beslutningstre" utbredt. Essensen av denne metoden er som følger.
Ved hjelp av en foreløpig vurdering av behov, en foreløpig analyse av mulige organisatoriske, tekniske eller teknologiske forhold, skisseres alle de foreslåtte alternativene for å løse dette problemet. Opprinnelig utviklet
| | Trening | | Informasjon | Tidsreserve for arbeid | Nummer th |
|||||||
| Navn virker | chiffer | Dato start | Dato slutt | planlagt Fortsette | Re zerv tid | % de- | nødvendig tid for | på rang | aktuell dato | finne skriking | ikke lokalisert | tidsreserve fra |
| | virker | virker (plan) | ikke virker (plan) | en borger ness, dager | meg | coy klar ness | slutt ikke virker, dager | snappe zhki | slutt ikke virker | på den kritiske veien | en kritisk vei | begynnelsen av måneden, dager |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| Jordutvikling | 1-2 | 1 / IV | 6 / IV | 5 | 0 | 100 | - | - | 6 / IV | ¦- | - | - |
| Betongfundament for kjeler | 2-3 | 7 / IV | 17 / 1V | 9 | 0 | 100 | 14 / IV | 2 | 2 |
|||
| Fundamenter som støpes i rad A | 2-4 | 7 / IV | 14 / 1V | 7 | 2 | 100 | 14 / IV | | | |
||
| Det samme for rad B | 2-5 | 7 / IV | 14 / IV | 7 | 2 | 100 | - | - | 14 / IV | | | |
| Rørinnretning | 6-18 | 18 / IV | 21 / IV | 4 | 19 | 100 | - | - | 29 / IV | -7 |
||
| Tilbakefyllingsenhet | 6-7 | 18 / IV | 19 / IV | 2 | 0 | 100 | 17 / IV | 2 | 2 |
|||
| Montering av prefabrikkert armert betong | | | | | | | | | | | | |
| lonnes: på rad B | 7-8 | 20 / IV | 22 / IV | 3 | 1 | 100 | - | - | 22 / IV | _ | - | - |
| på rad A | 7-9 | 20 / IV | 22 / IV | 3 | 1 | 100 | - | - | 22 / IV | - | - | - |
Bygging av kranbane og montering av tårnkran 7-10
Montering av bærerammer på fundament for utstyr 7-16 Montering av kranbjelker:
på rad B 8-11
20 / IV 24 / IV 4
20 / IV 24 / IV 4
24 / IV 25 / IV 2
på rad A 10-12 25 / IV 26 / IV
Montering av første del av bjelker og takplater 12-13 27 / IV 4 / V
Installasjon av kranbaner lt; 3 kraner 12-14 27 / IV 3 / V
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 0 | 100 | - | - | 22 / IV | 1 | - | 1 |
| 14 | 100. | - | - | 29 / IV | - | -5 | - |
| 1 | 100 | per- | 27 / IV | -2 |
27 / IV -1
støtte med levering av armerte betongkonstruksjoner
- 100 -
utvidede alternativer. Etter hvert som ytterligere betingelser blir introdusert, er hver av dem delt inn i en rekke alternativer. Den grafiske representasjonen av disse alternativene lar deg ekskludere de mindre lønnsomme og velge den mest akseptable.
Denne metoden kan brukes i vårt selskap når vi skal bestemme rekkefølgen for behandling av visse deler på flere maskiner for å minimere den totale behandlingstiden; når du angir størrelsen på ressursene for å minimere de totale produksjonskostnadene; ved distribusjon av kapitalinvesteringer og andre ressurser til industrianlegg; ved løsning av transport- og andre problemer.
Grafiske bilder er en viktig metode for vitenskapelig analyse av statistisk materiale. De første forsøkene på å bruke grafiske metoder i økonomisk forskning begynte på 1780-tallet. Imidlertid fikk den grafiske metoden bredere anvendelse senere - på midten av 1700-tallet, spesielt etter for første gang i statistikkens historie laget av representanten for Berlin Bureau of Statistics Schwabe "Theory of graphic images" ved 8th International Statistisk kongress (Petersburg, 1872). Ifølge det velkjente uttrykket til den tyske fysikeren F. Auerbach, XX århundre. var preget av "den triumferende slitebanen til den grafiske metoden i vitenskapen."
Hva er en graf? En graf er en form for visuell presentasjon av statistiske data om sosioøkonomiske fenomener og prosesser gjennom geometriske bilder, tegninger eller skjematiske geografiske kart og forklaringer til dem.
Grafen har fem hovedelementer i den overordnede strukturen: feltet, koordinatnettet, grafiske symboler og deres plassering i graffeltet, målestokk og forklaring (fig. 10.3).
Ris. 10.3. Hovedelementene i diagrammet
Hvert av disse elementene har sitt eget formål og spiller en tilsvarende rolle i konstruksjon og tolkning. Et graffelt er et rom der geometriske og andre tegn som utgjør et grafisk bilde er plassert.
Et grafisk bilde er en samling av ulike symbolske tegn ved hjelp av hvilke statistiske data reflekteres. Disse skiltene kan avbildes i former: linjer, punkter, geometriske, grafiske og noen ganger ikke-geometriske former.
Et koordinatnett er et rektangulært koordinatsystem der tiden er plottet på abscisseaksen, og skalaindikatorer på ordinataksen.
Skala er et betinget mål for å konvertere en numerisk verdi av et statistisk fenomen til en grafisk og omvendt. Det tjener til å angi de numeriske verdiene til fenomenene uttrykt på grafen.
Grafforklaring er en verbal forklaring av dets spesifikke innhold, som vanligvis inkluderer:
1) en overskrift med nødvendige tilleggsforklaringer;
2) en nøyaktig forklaring av essensen er konvensjonelt gitt i denne grafikken til dens grafiske tegn (geometrisk, grafisk, bakgrunn, rent konvensjonelt)
3) andre forklaringer, notater o.l.
I tillegg kan noe tilleggsinformasjon brukes på graffeltet, for eksempel numeriske data som påvirker noen grafiske tegn og gjentar i digital form deres eksakte verdier uttrykt grafisk.
Grafer spiller en spesielt viktig rolle i studiet av komplekse sammenhenger mellom sosioøkonomiske fenomener og prosesser, identifiserer trender, mønstre og endringer i dynamikkindikatorer, så vel som i den nåværende analysen. De viktigste forskjellene og fordelene med den grafiske metoden sammenlignet med andre er: bedre klarhet; evnen til generelt å dekke dataene til de studerte; evnen til å uttrykke noen analytiske avhengigheter som ikke er veldig klare og vanskelige å identifisere på andre måter å presentere data på.
Ved hjelp av tidsplaner kan du gjennomføre driftskontroll over produksjon, salg av produkter, oppfyllelse av kontraktsmessige forpliktelser og tildelte oppgaver. Dermed er timeplanene tildelt:
Å oppsummere og analysere data;
Datadistribusjon bilde;
Å avsløre utviklingsmønstrene til de studerte fenomenene og prosessene i dynamikk;
Refleksjon av forholdet mellom indikatorer;
Kontroll over produksjon, gjennomføring av kontrakter om salg av produkter og lignende.
Det er forskjellige klassifiseringer av grafer - i henhold til formen til grafiske bilder, i henhold til innholdet, arten av oppgavene som er tildelt.
Følgende typer grafer kjennetegnes av formen på de grafiske bildene:
1) punkt;
2) lineær;
3) plan;
4) volumetrisk;
5) kunstnerisk (bildemessig, konvensjonell).
I spredningsplott uttrykkes volumet av en populasjon enten som et enkelt punkt eller som en akkumulering av poeng. En prikk kan representere en hendelse eller flere (f.eks. ett anlegg, 500 arbeidere).
Linjegrafer består av én linje: rette linjesegmenter, brutte linjer, trinnvise, glatte kurver (hovedsakelig for å formidle dynamikken i befolkningen). Ofte erstattes rette linjesegmenter med striper med samme bredde, som også fungerer som grafiske tegn, men i én dimensjon (lengde). I slike tilfeller kalles grafer søylediagram hvis stripene er plassert vertikalt, eller båndgrafer når stripene er horisontale.
På sin side er kolonnediagrammene delt inn i et kolonnediagram: enkelt og solid, fra grupper av stolper, etc., og stripediagrammer er delt inn i stripediagrammer: enkle diagram og trinndiagram, komponentgutter, glidende, bilateralt rettet (for eksempel, "alderspyramiden" i befolkningssammensetningen) ...
Spesielle typer linjegrafer inkluderer spiral (for fenomener som utvikler seg på ubestemt tid og i økende omfang), radielle diagrammer (for å vise mønstre av periodisk gjentatte fenomener, deres rytme, sesongvariasjoner).
Planplott er plott av to dimensjoner i form av plan med forskjellige geometriske former. Avhengig av dette kan de være firkantede, sirkulære, sektorer. Det er tilrådelig å bruke disse grafene for å sammenligne fenomenene representert ved absolutte og relative verdier.
Viktige trekk ved plane plott er det todimensjonale "Varzar-tegnet", stripe- eller streamingdiagram og balansediagram.
Det todimensjonale "tegnet på Varzar" (oppkalt etter oppfinneren, den russiske statistikeren VE Varzar) er et rektangel med base a, høyde b og areal Sab, som er nyttig for grafisk å uttrykke ganske hyppige lignende forhold av tre størrelser a, ved S.
Stripen, eller strømdiagrammet, brukes til å skjematisk uttrykke volumet og sammensetningen av godsstrømmer mellom to punkter i den ene og den andre retningen.
Et balansediagram er et tosidig stripediagram, hvis bånd forgrener seg i to retninger til smalere strimler, med bredden som uttrykker de tilsvarende verdiene av inntekts- og utgiftsposter, eiendeler og gjeld og lignende.
Volumetrisk - 3D-grafikk som sjelden brukes fordi de er mindre uttrykksfulle enn lineære og plane.
Kunstnerisk (bildemessig, konvensjonell) - grafer med konvensjonelle grafiske tegn som gjenspeiler helheten eller dens individuelle betydninger i form av menneskelige figurer, dyrekonturer, skjematiske tegninger av objekter, etc.
Klassifisering av grafer etter innhold er av stor betydning. Med dette i tankene er grafer delt inn i to klasser - diagrammer og statistiske kart.
Et diagram er et grafisk uttrykk for volumene og egenskapene til ett eller flere aggregater ved bruk av kvantitative grafiske tegn (geometrisk, kunstnerisk, bakgrunn, rent konvensjonelt).
Diagrammet gir imidlertid ikke en grafisk representasjon av den territoriale fordelingen av de avbildede aggregatene eller den territorielle endringen i deres funksjoner. For dette brukes statistiske kart for å skildre den territoriale fordelingen av populasjoner eller den territorielle endringen av deres funksjoner. De er delt inn i to klasser - kartogrammer og kartodiagrammer.
Kartogrammer er konturgeografiske kart der de kvantitative territoriale egenskapene til befolkningen presenteres ved hjelp av grafiske tegn.
Kartografiske diagrammer er geografiske konturkart, der separate områder (regioner, punkter) av territoriet er plottet med samme type diagram (ett eller flere), som viser volumet og territorielle trekk til samme type aggregater i disse områdene. Så for eksempel er varestrømmene som fraktes av passasjerer, befolkningen, migrerer og lignende avbildet.
Diagrammer og statistikkkart utfører slike viktige oppgaver i studiet av befolkningen:
Generelle sammenligninger mellom dem;
Studie av strukturen;
Studie av dynamikk;
Studie av forholdet mellom deres tegn;
Måling av gjennomføringsgrad av forretningsplaner, kontraktsmessige forpliktelser i planlegging og økonomisk praksis.
På sin side er både diagrammer og kartogrammer, avhengig av formålet, delt inn i underklasser, grupper og former (tabell 10.27).
Når du konstruerer grafer, bør følgende krav overholdes:
1) stole på pålitelige numeriske data;
2) grafikk skal være meningsfullt i design og interessant i innhold;
3) må bygges i samsvar med de tildelte oppgavene og deres praktiske formål;
4) være ekstremt økonomisk - inneholde maksimalt med informasjon, ideer med et minimum av midler til deres grafiske uttrykk, enkelt, klart, forståelig;
5) teknisk godt utført.
La oss vurdere mer detaljert hovedtyper og former for diagrammer og statistiske kart som oftest brukes i praksisen med analytisk arbeid.
Et linjediagram er en av de vanligste typene grafer, som tjener til å skildre dynamikken til fenomenene som studeres. For konstruksjonen brukes et rektangulært koordinatsystem. Like intervaller er plottet på abscissen - tidsperioder (dager, måneder, år, etc.), Og på ordinaten - er det tatt i bruk en skala som karakteriserer måleenhetene. Poeng påføres på koordinatfeltet, lik verdien av indikatoren for en viss periode. Deretter er alle punkter forbundet med rette linjer, som et resultat av at det oppnås en brutt linje, som karakteriserer endringen i fenomenet som studeres i en viss tidsperiode (Tabell 10.28, Fig. 10.4).
|
Underklasse |
Varianter og grafisk form, oftest funnet |
||
|
Diagrammer |
I. Diagrammer for generell sammenligning av populasjoner |
1.homogene aggregater |
Kolonne, tape, kunstnerisk |
|
2. Ulik populasjon |
Søyle, tape, plan |
||
|
II. Strukturdiagrammer |
1. Diagrammer over befolkningsfordeling |
Polygon, histogram, kumulativ, ogiv, distribusjonskurve, Lorentz-plott, korrelasjonsfelt |
|
|
2. Diagrammer for grupper |
Stolpediagram, bånd, delt inn i absolutte eller prosentvise deler, sektordiagram, balansediagram, "alderspyramide" etc. |
||
|
III. Dynamiske diagrammer |
1. Diagrammer over dynamikk av volumer |
Kolonne, lineære, kumulative, spiralformede, kunstneriske diagrammer |
|
|
2. Diagrammer over strukturdynamikk |
Søylediagram med prosentinndelinger, i sirkler med inndeling i sektorer osv. |
||
|
3. Diagrammer over sesongsvingninger |
Lineære, søyle, radielle diagrammer |
||
|
IV. Diagrammer sammenkoblinger tegn |
1. Konstellasjonskonfigurasjonsdiagrammer |
Spot, bakgrunn |
|
|
2. Kommunikasjonsskjemadiagrammer |
Ødelagte eller glatte kurver |
||
|
3. Diagrammer over graden av tetthet i kommunikasjonen |
Lukkede konturer av korrelasjonsfeltet i form av trinnvise stiplede linjer eller elliptiske kurver, etc. |
||
|
V. Diagrammer over implementering av planer |
1. Diagrammer over gjeldende utførelse |
Linjediagram, Gantt-diagram |
|
|
2. Fremdriftsdiagrammer fra begynnelsen av perioden |
Kumulerte, kumulative Gantt-diagrammer, Lorentz-diagrammer |
||
|
Statistiske kart |
Vi. Kartogrammer |
1. Kartogrammer over tildeling av befolkningsenheter |
Punktkartogrammer |
|
2. Kartogrammer over plassering av det samlede volumet av skilt |
Punktkartogrammer |
||
|
3. Kartogrammer over endringer i oppsummerende egenskaper |
Punkt, bakgrunnskartogrammer |
||
|
4. Isoliner kartogrammer |
Lineære kartogrammer |
||
|
5. Sentrogrammer |
Punktkartogrammer |
Tabell 10.28. Investeringer i anleggsmidler i boligbygging i Ukraina i 2000-2005 s., I faktiske priser, UAH millioner
Grafdataene indikerer at volumet av investeringer i anleggsmidler i boligbygging i Ukraina i faktiske priser vokste fra 2000 til 2005
Ris. 10.4. Dynamikken i volumet av investeringer i anleggsmidler i boligbygging i Ukraina i 2000-2005, i faktiske priser, UAH millioner
Lineære grafer er bygget på et spesialdesignet rutenett, hvor tidsenheter legges horisontalt, og forskningsobjekter plasseres vertikalt. Dessuten tilsvarer hvert horisontale segment 100 % oppfyllelse av den planlagte oppgaven. Disse segmentene er delt inn i 5 like deler, som hver tilsvarer 20 % av det planlagte målet.
Graden av implementering av planen på grafen er avbildet med to linjer: en tynn stiplet linje - per tidsenhet (dag, tiår) og en solid fet linje - for rapporteringsperioden som helhet.
La oss vurdere prosedyren for å konstruere en planlagt linjeplan ved å bruke et eksempel.
Eksempel. Bygg en lineær tidsplan for gjennomføringen av den planlagte oppgaven av et team av arbeidere fra konstruksjons- og installasjonsarbeider, ved å bruke dataene i tabellen. 10.29.
Tabell 10.29. Gjennomføring av den planlagte oppgaven av et team av arbeidere fra bygge- og installasjonsarbeid
Tidsplanen for gjennomføringen av den planlagte oppgaven av et team av byggherrer for konstruksjons- og installasjonsarbeider er vist i fig. 10.5.
Den tynne kontinuerlige linjen på den første dagen tilsvarer 90% av planen og opptar fire og en halv celler, og linjen på den andre dagen - 80% og okkuperer fire celler, den tredje dagslinjen strekker seg nøyaktig fem, og den fjerde - fem celler (100%) pluss en ekstra segmentet nedenfor, som opptar 20%, osv.
Kumulativ visning av planens utførelsesnivå krever noen ekstra beregninger. Så, på den første dagen, vil den solide tykke linjen være like lang som den tynne kontinuerlige linjen - 90% og vil ta fire og en halv celle. Videre bør følgende beregninger gjøres: På to dager ble 513 m2 (225 + 288) faktisk ferdigstilt. Av dette beløpet inngår 250 m 2 i gjennomføringen av planen for første dag. Da vil det på grunn av den andre dagen være 263 m 2, som etter planen for denne dagen er 91 % (263 288).
I følge den fete linjen opptar den fem celler den første dagen og 91 % den andre. På tre dager ble 923 m2 (225 + 288 + 410) faktisk ferdigstilt. Det registreres 610 m 2 for oppfyllelse av planen de to første dagene, og 313 m 2 for den tredje dagen, som i henhold til planen for denne dagen er 76 % (313: 410). Den fete linjen vil oppta 5 celler på den første og andre dagen og 76% på den tredje. Alle videre beregninger utføres på samme måte. Graden av oppfyllelse av planen for hver dag på den fete linjen er indikert med prikker.
Kolonnediagram- en veldig vanlig type grafer i én dimensjon på grunn av deres klarhet og enkelhet. Statistiske data i dem er avbildet i form av rektangler med samme bredde, plassert vertikalt langs en horisontal linje (figur 10.6).
Høyden på stolpene skal tilsvare størrelsen på fenomenene som er avbildet. Hvis stolpene er plassert horisontalt, kalles et slikt diagram et stripediagram (Figur 10.7).
Kolonne- og stripediagrammer lar deg sammenligne verdier av forskjellige verdier, for å karakterisere det samme fenomenet i dynamikk; karakterisere helheten.
Sektordiagram (eller kake) - diagrammer designet for å vise strukturen til de undersøkte fenomenene og prosessene. De er avbildet i form av en sirkel, delt inn i sektorer, hvis verdier tilsvarer størrelsene på de avbildede fenomenene (fig. 10.8).
I følge dataene i grafen (fig. 10.8) er hovedkilden til finansiering for leasingvirksomhet i Ukraina banklån (80,9%), deretter - egne midler (16,1%). Lånte midler fra juridiske enheter utgjør bare 3,6%.
Ris. 10.6. Dynamikken i volumet av investeringer i anleggsmidler i boligbygging i Ukraina i 2000-2005 s., I faktiske priser, UAH millioner
Ris. 10.7. Dynamikken i volumet av investeringer i anleggsmidler i boligbygging i Ukraina i 2000-2005 s., I faktiske priser, UAH millioner
I moderne forhold for utvikling av informasjon og datasystemer ble det mulig å bygge grafer ved hjelp av programvarepakker, inkludert regneark EXCEL, "Statistica-6", etc. De er praktiske å bruke og forenkler dette arbeidet betydelig.
Ris. 10.8. Struktur av finansieringskilder for leasingvirksomhet i Ukraina ved begynnelsen av 2005 s.,%
Hvis det bare er to variabler i et lineært programmeringsproblem, kan det løses grafisk.
Tenk på et lineært programmeringsproblem med to variabler og:
(1.1)
;
(1.2)
Her er det vilkårlige tall. Oppgaven kan være både å finne maksimum (maks) og å finne minimum (min). I restriksjonssystemet kan både skilt og skilt være tilstede.
Bygging av regionen av gjennomførbare løsninger
Den grafiske metoden for å løse oppgave (1) er som følger.
Først tegner vi koordinataksene og velger skalaen. Hver av ulikhetene i systemet av begrensninger (1.2) definerer et halvplan avgrenset av den tilsvarende linjen.
Så, den første ulikheten
(1.2.1)
definerer et halvplan avgrenset av en rett linje. På den ene siden av denne rette linjen, og på den andre siden. På den mest rette linjen. For å finne ut fra hvilken side ulikhet (1.2.1) holder, velger vi et vilkårlig punkt som ikke ligger på en rett linje. Deretter erstatter vi koordinatene til dette punktet i (1.2.1). Hvis ulikheten holder, så inneholder halvplanet det valgte punktet. Hvis ulikheten ikke er tilfredsstilt, er halvplanet plassert på den andre siden (inneholder ikke det valgte punktet). Vi skygger for halvplanet som ulikheten (1.2.1) gjelder for.
Vi utfører det samme for de gjenværende ulikhetene i systemet (1.2). Dette vil gi oss de skyggelagte halvplanene. Punktene i regionen med gjennomførbare løsninger tilfredsstiller alle ulikheter (1.2). Derfor, grafisk, er regionen med mulige løsninger (ADS) skjæringspunktet mellom alle konstruerte halvplan. Skyggelegging av SDT. Det er en konveks polygon hvis ansikter tilhører de konstruerte rette linjene. ODR kan også være en ubegrenset konveks form, linjesegment, stråle eller rett linje.
Det kan oppstå et tilfelle at halvplanene ikke inneholder fellespunkter. Da er domenet for gjennomførbare løsninger det tomme settet. Dette problemet har ingen løsninger.
Metoden kan forenkles. Du trenger ikke skyggelegge hvert halvplan, men først bygge alle de rette linjene
(2)
Deretter velger du et vilkårlig punkt som ikke tilhører noen av disse linjene. Bytt inn koordinatene til dette punktet i systemet med ulikheter (1.2). Hvis alle ulikheter er tilfredsstilt, er området med gjennomførbare løsninger begrenset av de konstruerte rette linjene og inkluderer det valgte punktet. Vi skygger området med mulige løsninger langs grensene til de rette linjene slik at det inkluderer det valgte punktet.
Hvis minst én ulikhet ikke er tilfredsstilt, velger vi et annet punkt. Og så videre, inntil ett punkt er funnet hvis koordinater tilfredsstiller systemet (1.2).
Finne ytterpunktet til den objektive funksjonen
Så vi har en skyggefull region med mulige løsninger (ODS). Den er avgrenset av en polylinje som består av segmenter og stråler som tilhører de konstruerte rette linjene (2). ODR er alltid et konveks sett. Det kan enten være et avgrenset sett eller ikke avgrenset langs noen retninger.
Nå kan vi søke etter ytterpunktet til objektivfunksjonen
(1.1)
.
For å gjøre dette, velg et hvilket som helst tall og bygg en rett linje
(3)
.
For enkelhets skyld for videre presentasjon antar vi at denne linjen går gjennom ODR. På denne linjen er objektivfunksjonen konstant og lik. en slik rett linje kalles en funksjonsnivålinje. Denne linjen deler flyet i to halvplan. På ett halvt plan
.
På det andre halvplanet
.
Det vil si at på den ene siden av den rette linjen (3) øker objektivfunksjonen. Og jo lenger vi flytter punktet bort fra linjen (3), jo større blir verdien. På den andre siden av den rette linjen (3) avtar objektivfunksjonen. Og jo lenger vi flytter punktet fra den rette linjen (3) til den andre siden, jo lavere blir verdien. Hvis vi trekker en rett linje parallelt med den rette linjen (3), vil den nye rette linjen også være linjen til det objektive funksjonsnivået, men med en annen verdi.
For å finne maksimalverdien til objektivfunksjonen, er det derfor nødvendig å tegne en rett linje parallelt med den rette linjen (3), så langt som mulig fra den i retning av økende verdier, og som går gjennom minst en punkt i ODR. For å finne minimumsverdien til objektivfunksjonen, er det nødvendig å tegne en rett linje parallelt med den rette linjen (3) og den fjerneste fra den i retning av avtagende verdier, og passerer gjennom minst ett punkt i ODR.
Hvis DDR er ubegrenset, kan det oppstå et tilfelle når en slik rett linje ikke kan trekkes. Det vil si, uansett hvordan vi fjerner den rette linjen fra nivålinjen (3) i retning av økende (minkende), vil den rette linjen alltid passere gjennom ODR. I dette tilfellet kan den være vilkårlig stor (liten). Derfor er det ingen maksimum (minimum) verdi. Problemet har ingen løsninger.
Tenk på tilfellet når en ekstrem rett linje parallelt med en vilkårlig rett linje av formen (3) passerer gjennom ett toppunkt av ODR-polygonet. Bestem koordinatene til dette toppunktet fra grafen. Deretter bestemmes den maksimale (minimum) verdien av objektivfunksjonen av formelen:
.
Løsningen på problemet er
.
Det kan også være et tilfelle når en rett linje er parallell med en av flatene til ODR. Deretter går linjen gjennom to hjørner av ODR-polygonet. Bestem koordinatene til disse toppunktene. For å bestemme den maksimale (minimum) verdien av objektivfunksjonen, kan du bruke koordinatene til noen av disse toppunktene:
.
Problemet har uendelig mange løsninger. Løsningen er et hvilket som helst punkt plassert på segmentet mellom punktene og, inkludert punktene og seg selv.
Et eksempel på løsning av et lineært programmeringsproblem ved hjelp av en grafisk metode
Oppgaven
Selskapet produserer kjoler av to modeller A og B. I dette tilfellet brukes tre typer stoff. Produksjonen av en kjole av modell A krever 2 m av den første stofftypen, 1 m av den andre stofftypen, 2 m av den tredje stofftypen. Produksjonen av en kjole av modell B krever 3 m av den første stofftypen, 1 m av den andre stofftypen, 2 m av den tredje stofftypen. Reservene til den første typen stoff er 21 m, den andre typen - 10 m, og den tredje typen - 16 m. Utgivelsen av ett type A-produkt gir en inntekt på 400 den. enheter, ett produkt av type B - 300 den. enheter
Lag en produksjonsplan som gir bedriften høyest inntekt. Løs problemet med en grafisk metode.
Løsning
La variablene og angi antall produserte kjoler av henholdsvis modell A og B. Da vil mengden forbrukt stoff av den første typen være:
(m)
Mengden forbrukt stoff av den andre typen vil være:
(m)
Mengden forbrukt stoff av den tredje typen vil være:
(m)
Siden antall produserte kjoler ikke kan være negativt, da
og .
Inntektene fra de produserte kjolene vil være:
(pengeenheter)
Da har den økonomiske og matematiske modellen av problemet formen:
Vi løser det grafisk.
Vi tegner koordinataksene og.
Vi bygger en rett linje.
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (0; 7) og (10.5; 0).
Vi bygger en rett linje.
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (0; 10) og (10; 0).
Vi bygger en rett linje.
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (0; 8) og (8; 0).
Vi skygger området slik at punktet (2; 2) faller inn i den skyggelagte delen. Vi får en firkantet OABC.
(A1.1) .
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (0; 4) og (3; 0).
Videre bemerker vi at siden koeffisientene ved og av målfunksjonen er positive (400 og 300), øker den med økende og. Vi tegner en rett linje parallelt med den rette linjen (A1.1), den fjerneste fra den i stigende retning, og passerer gjennom minst ett punkt på firkantet OABC. En slik rett linje går gjennom punkt C. Fra konstruksjonen bestemmer vi dens koordinater.
.
Løsningen på problemet: ;
Svar
.
Det vil si, for å oppnå den høyeste inntekten, er det nødvendig å lage 8 kjoler av modell A. I dette tilfellet vil inntekten være 3200 den. enheter
Eksempel 2
Oppgaven
Løs det lineære programmeringsproblemet ved hjelp av en grafisk metode.
Løsning
Vi løser det grafisk.
Vi tegner koordinataksene og.
Vi bygger en rett linje.
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (0; 6) og (6; 0).
Vi bygger en rett linje.
Herfra.
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (3; 0) og (7; 2).
Vi bygger en rett linje.
Vi bygger en rett linje (abscisse-akse).
Regionen for gjennomførbare løsninger (ODS) er begrenset av de konstruerte rette linjene. For å finne ut fra hvilken side legger vi merke til at punktet tilhører ODR, siden det tilfredsstiller systemet med ulikheter:
Vi skygger området langs grensene til de konstruerte linjene slik at punktet (4; 1) faller inn i den skraverte delen. Vi får en trekant ABC.
Vi bygger en vilkårlig linje av det objektive funksjonsnivået, for eksempel,
.
kl.
kl.
Vi tegner en rett linje av nivået gjennom punktene (0; 6) og (4; 0).
Siden objektivfunksjonen øker med økende og, tegner vi en rett linje parallelt med nivålinjen og så langt som mulig fra den i retning av økende, og passerer gjennom minst ett punkt i trekanten ABC. En slik rett linje går gjennom punkt C. Fra konstruksjonen bestemmer vi dens koordinater.
.
Løsningen på problemet: ;
Svar
Eksempel på ingen løsning
Oppgaven
Løs et lineært programmeringsproblem grafisk. Finn maksimums- og minimumsverdien til objektivfunksjonen.
Løsning
Vi løser problemet grafisk.
Vi tegner koordinataksene og.
Vi bygger en rett linje.
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (0; 8) og (2.667; 0).
Vi bygger en rett linje.
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (0; 3) og (6; 0).
Vi bygger en rett linje.
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (3; 0) og (6; 3).
Rette linjer er koordinataksene.
Området med tillatte løsninger (ODS) er begrenset av de konstruerte rette linjene og koordinataksene. For å finne ut fra hvilken side legger vi merke til at punktet tilhører ODR, siden det tilfredsstiller systemet med ulikheter:
Vi skygger området slik at punktet (3; 3) faller inn i den skyggefulle delen. Vi får et ubegrenset område avgrenset av polylinjen ABCDE.
Vi bygger en vilkårlig linje av det objektive funksjonsnivået, for eksempel,
(A3.1) .
kl.
kl.
Tegn en rett linje gjennom punktene (0; 7) og (7; 0).
Siden koeffisientene ved og er positive, øker den med økende og.
For å finne maksimum, må du tegne en parallell rett linje, så langt som mulig i stigende retning, og passere gjennom minst ett punkt i området ABCDE. Men siden regionen er ubegrenset fra siden av store verdier av og, kan en slik rett linje ikke tegnes. Uansett hvilken rett linje vi trekker, vil det alltid være punkter i regionen som er fjernere i retning av økende og. Derfor er det ikke noe maksimum. kan gjøres vilkårlig store.
Vi ser etter et minimum. Vi tegner en rett linje parallelt med den rette linjen (A3.1) og den fjerneste fra den i retning av avtagende, og passerer gjennom minst ett punkt i området ABCDE. En slik rett linje går gjennom punkt C. Fra konstruksjonen bestemmer vi dens koordinater.
.
Minimum målfunksjonsverdi:
Svar
Det er ingen maksimumsverdi.
Minimumsverdi
.
