Hva er funksjonsnuller? Svaret er ganske enkelt - dette er et matematisk begrep, som betyr definisjonsdomenet til en gitt funksjon, der verdien er null. Funksjonsnuller kalles også.Den enkleste måten å forklare hva funksjonsnull er med noen få enkle eksempler.
Eksempler
La oss vurdere den enkle ligningen y=x+3. Siden null av en funksjon er verdien av argumentet der y fikk en nullverdi, erstatter vi 0 på venstre side av ligningen:
I dette tilfellet er -3 ønsket null. For en gitt funksjon er det bare én rot av ligningen, men dette er ikke alltid tilfelle.
La oss se på et annet eksempel:
La oss erstatte 0 på venstre side av ligningen, som i forrige eksempel:
Selvfølgelig vil det i dette tilfellet være to nuller av funksjonen: x=3 og x=-3. Hvis ligningen hadde et tredjegradsargument, ville det vært tre nuller. En enkel konklusjon kan trekkes at antallet røtter til polynomet tilsvarer maksimumsgraden av argumentet i ligningen. Imidlertid motsier mange funksjoner, for eksempel y = x 3, ved første øyekast denne påstanden. Logikk og sunn fornuft tilsier at denne funksjonen bare har en null - i punktet x=0. Men faktisk er det tre røtter, de er bare alle sammen. Løser du likningen i kompleks form, blir dette åpenbart. x=0 i dette tilfellet, en rot hvis multiplisitet er 3. I forrige eksempel falt ikke nullene sammen, derfor hadde de en multiplisitet på 1.
Bestemmelsesalgoritme
Fra de presenterte eksemplene kan du se hvordan du bestemmer nullpunktene til en funksjon. Algoritmen er alltid den samme:
- Skriv en funksjon.
- Bytt inn y eller f(x)=0.
- Løs den resulterende ligningen.
Vanskeligheten til det siste punktet avhenger av graden av argumentasjonen til ligningen. Når du løser ligninger med høye grader, er det spesielt viktig å huske at antallet røtter til ligningen er lik maksimumsgraden til argumentet. Dette gjelder spesielt for trigonometriske ligninger, der å dele begge sider med sinus eller cosinus fører til tap av røtter.
Ligninger av vilkårlig grad er enklest å løse ved hjelp av Horners metode, som ble utviklet spesielt for å finne nullene til et vilkårlig polynom.
Verdien av null av funksjoner kan enten være negativ eller positiv, reell eller i det komplekse planet, entall eller multiplum. Eller det er kanskje ingen røtter til ligningen. For eksempel vil ikke funksjonen y=8 få en nullverdi for noen x, fordi den ikke er avhengig av denne variabelen.
Ligningen y=x 2 -16 har to røtter, og begge ligger i det komplekse planet: x 1 =4i, x 2 =-4i.
Vanlige feil
En vanlig feil som gjøres av skolebarn som ennå ikke helt har forstått hva nuller i en funksjon er, er å erstatte argumentet (x) med null, i stedet for verdien (y) til funksjonen. De erstatter trygt x=0 i ligningen, og basert på dette finner de y. Men dette er feil tilnærming.
En annen feil, som allerede nevnt, er reduksjon med sinus eller cosinus i en trigonometrisk ligning, som er grunnen til at en eller flere nuller av funksjonen går tapt. Dette betyr ikke at ingenting kan reduseres i slike ligninger, men i videre beregninger er det nødvendig å ta hensyn til disse "tapte" faktorene.
Grafisk representasjon
Du kan forstå hva nullpunktene til en funksjon er ved å bruke matematiske programmer som Maple. Du kan bygge en graf i den ved å spesifisere ønsket antall poeng og ønsket skala. De punktene der grafen skjærer OX-aksen er de ønskede nullene. Dette er en av de raskeste måtene å finne røttene til et polynom, spesielt hvis rekkefølgen er høyere enn tredje. Så hvis det er behov for regelmessig å utføre matematiske beregninger, finne røttene til polynomer av vilkårlige grader, bygge grafer, Maple eller et lignende program vil ganske enkelt være uunnværlig for å utføre og kontrollere beregninger.
Argumentverdier z ved hvilken f(z) går til null kalt. nullpunkt, dvs. Hvis f(en) = 0, da a - nullpunkt.
Def. Punktum EN kalt null rekkefølgen
, Hvis
FKP kan representeres i skjemaet f(z) = , hvor 
analytisk funksjon og 
0.
I dette tilfellet, i Taylor-serien utvidelse av funksjonen (43), den første n koeffisientene er null
=
=
Etc. Bestem rekkefølgen på null for 
og (1 -cos z) kl z
=
0
=
=
null 1. orden
1 - cos z
=
=
null 2. orden
Def. Punktum z
=
kalt peke på uendelig Og null funksjoner f(z), Hvis f(
) = 0. En slik funksjon kan utvides til en serie i negative potenser z
: f(z)
=
. Hvis
først n
koeffisienter er lik null, da kommer vi til null rekkefølge n
på et punkt i det uendelige: f(z)
= z
-
n
.
Isolerte entallspunkter er delt inn i: a) flyttbare entallspunkter; b) ordenspolern; V) i hovedsak enkeltstående punkter.
Punktum EN kalt avtagbart entallspunkt funksjoner f(z) hvis kl z 
en
lim f(z)
= Med - endelig nummer .
Punktum EN kalt ordenspoln
(n
1) funksjoner f(z), hvis den inverse funksjonen 
=
1/
f(z) har null rekkefølge n på punktet EN. En slik funksjon kan alltid representeres som f(z)
=
, Hvor 
- analytisk funksjon og 
.
Punktum EN kalt egentlig et spesielt poeng funksjoner f(z), hvis kl z 
en
lim f(z) eksisterer ikke.
Laurent-serien
La oss vurdere tilfellet med en ringkonvergensregion r < | z 0 – en| < R sentrert på et punkt EN for funksjon f(z). La oss introdusere to nye sirkler L 1 (r) Og L 2 (R) nær ringens grenser med en spiss z 0 mellom dem. La oss lage et kutt av ringen, koble sammen sirklene langs kantene av snittet, gå videre til et enkelt koblet område og inn
Cauchy integralformel (39) får vi to integraler over variabelen z
f(z 0)
=
+
,
(42)
hvor integrering går i motsatte retninger.
For integralet over L 1 betingelse er oppfylt | z 0 – en | > | z – en |, og for integralet over L 2 invers tilstand | z 0 – en | < | z – en |. Derfor er faktoren 1/( z – z 0) utvide til serie (a) i integralet over L 2 og i serie (b) i integralet over L 1 . Som et resultat får vi utvidelsen f(z) i ringområdet i Laurent-serien ved positive og negative krefter ( z 0 – en)
f(z 0)
=
EN n
(z 0 -en) n
(43)
Hvor EN n
=
=
;EN -n
=
Ekspansjon i positive krefter (z 0 - A) kalt høyre del Laurent-serien (Taylor-serien), og utvidelse i negative krefter kalles. hoveddel Laurent-serien.
Hvis du er inne i sirkelen L 1 er det ingen entallspunkter og funksjonen er analytisk, så i (44) er det første integralet lik null ved Cauchys teorem og bare den korrekte delen gjenstår i utvidelsen av funksjonen. Negative potenser i ekspansjon (45) vises bare når analytisitet brytes innenfor den indre sirkelen og tjener til å beskrive funksjonen nær isolerte entallspunkter.
Å konstruere Laurent-serien (45) for f(z) kan du beregne ekspansjonskoeffisienter ved å bruke en generell formel eller bruke utvidelser av elementære funksjoner inkludert i f(z).
Antall termer ( n) av hoveddelen av Laurent-serien avhenger av typen entallspunkt: avtagbart entallspunkt
(n
=
0)
; i hovedsak enestående poeng
(n 
);
stangn- wow rekkefølge(n
-
endelig nummer).
og for f(z)
=
punktum z
= 0 avtagbart entallspunkt, fordi det er ingen hoveddel. f(z)
=
(z
-
) = 1 -
b) For f(z)
=
punktum z
= 0 -
1. ordens stang
f(z)
=
(z
-
) =
-
c) For f(z) = e 1 / z punktum z = 0 - i hovedsak enestående poeng
f(z)
=
e 1 /
z =
Hvis f(z) er analytisk i domenet D med unntak av m isolerte entallspunkter 
og | z 1 |
< |z 2 |
< . . . < |z m| , så når du utvider funksjonen i potenser z hele flyet er delt inn i m+ 1 ring | z Jeg |
< | z
| < | z Jeg+ 1 | og Laurent-serien har forskjellig utseende for hver ring. Når du utvider i krefter ( z
–
z Jeg
) konvergensområdet til Laurent-serien er sirkelen | z
–
z Jeg
| < r, Hvor r
– avstand til nærmeste entallspunkt.
Etc. La oss utvide funksjonen f(z)
=
i Laurent-serien i makter z og ( z
-
1).
Løsning. La oss representere funksjonen i skjemaet f(z)
= - z 2
. Vi bruker formelen for summen av en geometrisk progresjon 
. I sirkelen |z|< 1 ряд сходится и f(z)
= - z 2
(1 + z
+ z 2
+ z 3
+ z 4
+ . . .) = - z 2
- z 3
- z 4 - . . . , dvs. nedbrytningen inneholder kun riktig Del. La oss gå til det ytre området av sirkelen |z| > 1. La oss representere funksjonen i skjemaet 
, hvor 1/| z|
< 1, и получим разложение f(z)
= z
=z
+ 1 +
Fordi , utvidelse av en funksjon i potenser ( z
-
1) har formen f(z)
= (z
-
1) -1
+ 2 + (z
-
1) for alle 
1.
Etc. Utvid funksjonen til en Laurent-serie f(z)
=
:
a) etter grader z i en sirkel | z|
< 1; b)
по степеням z
ring 1<
|z|
< 3 ; c)
по степеням (z
–
2). Løsning. La oss dekomponere funksjonen i enkle brøker
=
=
+
=
.
Fra forholdene z
=1
EN
= -1/2 , z
=3
B
= ½.
EN) f(z)
=
½ [ 
]
= ½ [ 
-(1/3)
], med | z|<
1.
b) f(z)
= - ½ [ 
+
]
= -
(
), på 1< |z|
< 3.
Med) f(z)
=
½ [ 
]= -
½
[ 
]
=
=
- ½
= -
, med |2 - z|
< 1
Det er en sirkel med radius 1 sentrert ved z = 2 .
I noen tilfeller kan potensserier reduseres til et sett med geometriske progresjoner, og etter dette er det lett å bestemme regionen for deres konvergens.
Etc. Undersøk konvergensen til serien
.
. . +
+
+
+
1
+ ()
+ ()
2
+ ()
3
+ . . .
Løsning. Dette er summen av to geometriske progresjoner med q 1
=
, q 2 = () . Av betingelsene for deres konvergens følger det 
< 1 ,
< 1 или |z|
> 1 , |z|
< 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо
1 < |z|
< 2 .
Der den tar verdien null. For eksempel for en funksjon gitt av formelen
Er null fordi
.Nullpunktene til en funksjon kalles også røttene til funksjonen.
Konseptet med nuller av en funksjon kan vurderes for alle funksjoner hvis verdiområde inneholder null eller nullelementet i den tilsvarende algebraiske strukturen.
For en funksjon av en reell variabel er nuller verdiene der grafen til funksjonen skjærer x-aksen.
Å finne nullene til en funksjon krever ofte bruk av numeriske metoder (for eksempel Newtons metode, gradientmetoder).
Et av de uløste matematiske problemene er å finne nullene til Riemann zeta-funksjonen.
Roten til et polynom
se også
Litteratur
Wikimedia Foundation. 2010.
Se hva "Function Zero" er i andre ordbøker:
Punktet der en gitt funksjon f(z) forsvinner; altså N.f. f (z) er det samme som røttene til ligningen f (z) = 0. For eksempel er punktene 0, π, π, 2π, 2π,... null i funksjonen sinz. Nullpunkter for en analytisk funksjon (Se Analytisk... ...
Null funksjon, null funksjon... Rettskrivningsordbok-oppslagsbok
Dette begrepet har andre betydninger, se Null. Innholdet i denne artikkelen bør flyttes til artikkelen "Function Null". Du kan hjelpe prosjektet ved å kombinere artikler. Hvis det er nødvendig å diskutere gjennomførbarheten av sammenslåing, erstatt denne ... Wikipedia
Eller C-streng (fra navnet på C-språket) eller ASCIZ-streng (fra navnet på assembler-direktivet.asciz) en metode for å representere strenger i programmeringsspråk, der, i stedet for å introdusere en spesiell strengtype, en rekke tegn brukes, og på slutten ... ... Wikipedia
I kvantefeltteori er det aksepterte (sjargong)navnet for egenskapen til å forsvinne renormaliseringsfaktoren til koblingskonstanten der g0 er den bare koblingskonstanten fra interaksjonen Lagrangian, fysisk. koblingskonstant utkledd som interaksjon. Likestilling Z... Fysisk leksikon
Nullmutasjon n-allel- Nullmutasjon, n. allel * null mutasjon, n. allel * null mutasjon eller n. allel eller stille a. en mutasjon som fører til fullstendig tap av funksjon i DNA-sekvensen der den skjedde... Genetikk. encyklopedisk ordbok
Utsagnet i sannsynlighetsteori om at enhver hendelse (den såkalte gjenværende hendelsen), hvis forekomst bare bestemmes av vilkårlig fjerne elementer i en sekvens av uavhengige tilfeldige hendelser eller tilfeldige variabler, har ... ... Matematisk leksikon
1) Et tall som har egenskapen at et hvilket som helst (reelt eller komplekst) tall ikke endres når det legges til det. Angitt med symbolet 0. Produktet av et hvilket som helst tall med N. er lik N.: Hvis produktet av to tall er lik N., så er en av faktorene ... Matematisk leksikon
Funksjoner definert av relasjoner mellom uavhengige variabler som ikke løses i forhold til sistnevnte; disse relasjonene er en av måtene å spesifisere en funksjon. For eksempel, relasjonen x2 + y2 1 = 0 definerer N.f. ... Stor sovjetisk leksikon
Den matematiske representasjonen av en funksjon viser tydelig hvordan en mengde helt bestemmer verdien av en annen mengde. Tradisjonelt anses numeriske funksjoner som tildeler ett nummer til et annet. Nullpunktet til en funksjon er vanligvis verdien av argumentet der funksjonen blir null.
Bruksanvisning
1. For å oppdage nullpunktene til en funksjon, må du likestille dens høyre side med null og løse den resulterende ligningen. La oss tenke oss at du får en funksjon f(x)=x-5.
2. For å finne nullpunktene til denne funksjonen, la oss ta og likestille dens høyre side med null: x-5=0.
3. Etter å ha løst denne ligningen finner vi at x=5 og denne verdien av argumentet vil være null av funksjonen. Det vil si at når argumentverdien er 5, blir funksjonen f(x) null.
Under utsikten funksjoner i matematikk forstår vi sammenhengen mellom elementene i mengder. For å si det mer korrekt, er dette en "lov" ifølge hvilken hele elementet i ett sett (kalt definisjonsdomenet) er assosiert med et bestemt element i et annet sett (kalt verdidomenet).
Du vil trenge
- Kunnskap om algebra og matematisk gjennomgang.
Bruksanvisning
1. Verdier funksjoner Dette er et bestemt område som en funksjon kan ta verdier fra. La oss si verdiområdet funksjoner f(x)=|x| fra 0 til uendelig. For å oppdage betydning funksjoner på et visst tidspunkt må du erstatte argumentet funksjoner dens numeriske ekvivalent, vil det resulterende tallet være betydning m funksjoner. La funksjonen f(x)=|x| – 10 + 4x. La oss finne det ut betydning funksjoner ved punkt x=-2. La oss erstatte x med tallet -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. Det er betydning funksjoner ved punkt -2 er lik -16.
Merk!
Før du ser etter verdien av en funksjon på et punkt, sørg for at den er innenfor funksjonens domene.
Nyttige råd
En lignende metode lar en oppdage betydningen av funksjonen til flere argumenter. Forskjellen er at i stedet for ett tall må du erstatte flere - i henhold til antall argumenter for funksjonen.
Funksjonen representerer den etablerte forbindelsen mellom variabelen y og variabelen x. Dessuten tilsvarer alle verdiene til x, kalt argumentet, den eksepsjonelle verdien til y - funksjonen. I grafisk form er en funksjon avbildet på et kartesisk koordinatsystem i form av en graf. Skjæringspunktene til grafen med abscisseaksen, som argumentene x er plottet på, kalles nullpunkter for funksjonen. Å finne akseptable nuller er en av oppgavene med å finne en gitt funksjon. I dette tilfellet blir alle tillatte verdier av den uavhengige variabelen x som danner definisjonsdomenet for funksjonen (DOF) tatt i betraktning.
Bruksanvisning
1. Nullpunktet til en funksjon er verdien av argumentet x der verdien til funksjonen er lik null. Imidlertid kan bare de argumentene som er innenfor rammen av definisjonen av funksjonen som studeres, være nuller. Det vil si at det er mange verdier som funksjonen f(x) er nyttig for.
2. Skriv ned den gitte funksjonen og lig den med null, si f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Løs den resulterende ligningen og finn dens reelle røtter. Røttene til en andregradsligning beregnes med støtte for å finne diskriminanten. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5a-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0,5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. I dette tilfellet oppnås således to røtter av kvadratisk ligning, tilsvarende argumentene til den innledende funksjonen f(x).
3. Sjekk alle oppdagede x-verdier for å tilhøre definisjonsdomenet til den gitte funksjonen. Finn ut OOF, for å gjøre dette, sjekk startuttrykket for tilstedeværelsen av jevne røtter av formen?f (x), for tilstedeværelsen av brøker i funksjonen med et argument i nevneren, for tilstedeværelsen av logaritmisk eller trigonometrisk uttrykkene.
4. Når du vurderer en funksjon med et uttrykk under en rot av en jevn grad, ta som definisjonsdomene alle argumentene x, hvis verdier ikke gjør det radikale uttrykket til et negativt tall (tvert imot, funksjonen gjør det ikke fornuftig). Sjekk om de detekterte nullpunktene til funksjonen faller innenfor et visst område med akseptable x-verdier.
5. Nevneren til brøken kan ikke gå til null; ekskluder derfor de argumentene x som fører til et slikt resultat. For logaritmiske størrelser bør bare de verdiene av argumentet vurderes der selve uttrykket er større enn null. Nullpunkter i funksjonen som gjør det sublogaritmiske uttrykket til null eller et negativt tall må forkastes fra sluttresultatet.
Merk!
Når du finner røttene til en ligning, kan det dukke opp ekstra røtter. Dette er enkelt å sjekke: bare erstatte den resulterende verdien av argumentet i funksjonen og forsikre deg om at funksjonen blir null.
Nyttige råd
Noen ganger uttrykkes ikke en funksjon på en åpenbar måte gjennom argumentasjonen sin, da er det lett å vite hva denne funksjonen er. Et eksempel på dette er ligningen av en sirkel.
