De tweede orde is een getal dat gelijk is aan het verschil tussen het product van de getallen die de hoofddiagonaal vormen en het product van de getallen op de secundaire diagonaal, je kunt de volgende aanduidingen van de determinant vinden:; ; ; detA(bepalend).
.
Voorbeeld: 
.
De determinant van een derde-orde matrix is een getal of wiskundige uitdrukking berekend volgens de volgende regel:
De eenvoudigste manier om de determinant van de derde orde te berekenen, is door de determinant van de eerste twee regels van onderaf toe te voegen.
In de gevormde tabel met getallen worden de elementen op de hoofddiagonaal en op de diagonalen evenwijdig aan de hoofddiagonaal vermenigvuldigd, het teken van het productresultaat verandert niet. De volgende fase van berekeningen is een vergelijkbare vermenigvuldiging van elementen op de zijdiagonaal en op de parallel daaraan. De tekenen van de resultaten van de werken zijn omgekeerd. Vervolgens voegen we de resulterende zes termen toe.
Voorbeeld:
Ontbinding van de determinant in elementen van een bepaalde rij (kolom).
Minderjarige ij element en ij vierkante matrix EEN heet een determinant samengesteld uit matrixelementen EEN overblijven na verwijdering I- oh lijn en J e kolom.
Bijvoorbeeld een minderjarige van het element een 21 derde orde matrices 
er zal een determinant zijn 
.
We zullen zeggen dat het element en ij neemt een even plaats in als ik + j(de som van de getallen van de rij en kolom op het snijpunt waarvan dit element zich bevindt) - een even getal, een oneven plaats, als ik + j- oneven nummer.
algebraïsch complement een ij element en ij vierkante matrix EEN uitdrukking genoemd 
(of de waarde van de corresponderende minor, genomen met het "+" teken, als het matrixelement een even plaats inneemt, en met het "-" teken, als het element een oneven plaats inneemt).
Voorbeeld: 
een 23= 4;
- algebraïsch complement van een element een 22= 1.
De stelling van Laplace. De determinant is gelijk aan de som van de producten van elementen van een bepaalde rij (kolom) door de overeenkomstige algebraïsche complementen.
Laten we dit illustreren met het voorbeeld van een derde-orde determinant. Bereken de determinant van de derde orde door in de eerste rij als volgt uit te breiden
Op dezelfde manier kunt u de determinant van de derde orde berekenen door uit te breiden over een rij of kolom. Het is handig om de determinant uit te breiden met die rij (of kolom), die meer nullen bevat.
Voorbeeld: 
Zo wordt de berekening van de determinant van de 3e orde teruggebracht tot de berekening van 3 determinanten van de tweede orde. In het algemeen kan men de determinant van een vierkante matrix berekenen N-de orde, reduceren tot berekenen N determinanten ( n-1) de bestelling
Commentaar. Er zijn geen gemakkelijke manieren om determinanten van hogere orde te berekenen, vergelijkbaar met de manieren om determinanten van de 2e en 3e orde te berekenen. Daarom kan alleen de decompositiemethode worden gebruikt om determinanten hoger dan de derde orde te berekenen.
Voorbeeld... Bereken de determinant van de vierde orde.
Laten we de determinant uitbreiden met de elementen van de derde regel
Bepalende eigenschappen:
1. De determinant verandert niet als de rijen worden vervangen door kolommen en vice versa.
2. Bij permutatie van twee aangrenzende rijen (kolommen), verandert de determinant zijn teken in het tegenovergestelde.
3. Determinant met twee identieke rijen (kolommen) is gelijk aan 0.
4. De gemeenschappelijke factor van alle elementen van een bepaalde rij (kolom) van de determinant kan buiten het teken van de determinant worden weggenomen.
5. De determinant verandert niet als de corresponderende elementen van een andere kolom (rij), vermenigvuldigd met een getal, worden toegevoegd aan de elementen van een van de kolommen (rijen).
Determinant van een matrix
Het vinden van de determinant van een matrix is een veel voorkomend probleem in de hogere wiskunde en algebra. In de regel kan men bij het oplossen van complexe stelsels vergelijkingen niet zonder de waarde van de determinant van de matrix. De Cramér-methode voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen is geconstrueerd op basis van het berekenen van de determinant van de matrix. Met behulp van de definitie van de determinaat wordt de aanwezigheid en uniciteit van de oplossing voor stelsels vergelijkingen bepaald. Daarom is het moeilijk om het belang van het vermogen om de determinant van een matrix in de wiskunde correct en nauwkeurig te vinden, te overschatten. De methoden voor het oplossen van determinanten zijn in theorie vrij eenvoudig, maar naarmate de matrix groter wordt, worden de berekeningen erg omslachtig en vergen ze veel zorg en veel tijd. Het is heel gemakkelijk om een kleine fout of een fout te maken in dergelijke complexe wiskundige berekeningen, wat zal leiden tot een fout in het uiteindelijke antwoord. Dus zelfs als je vindt determinant van een matrix alleen, is het belangrijk om het verkregen resultaat te controleren. Dit doet onze dienst Vind de determinant van een matrix online. Onze service levert altijd een absoluut accuraat resultaat op, dat geen fouten of drukfouten bevat. U kunt onafhankelijke berekeningen weigeren, omdat vanuit een toegepast oogpunt het vinden van determinant van matrix is niet educatief van aard, maar vergt gewoon veel tijd en rekenkundige berekeningen. Daarom, als in uw taak bepaling van de determinant van de matrix zijn hulp-, zijberekeningen, gebruik onze service en matrixdeterminant online vinden!
Alle berekeningen worden automatisch uitgevoerd met de hoogste nauwkeurigheid en zijn helemaal gratis. We hebben een zeer handige interface voor het invoeren van matrixelementen. Maar het belangrijkste verschil tussen onze service en soortgelijke is de mogelijkheid om een gedetailleerde oplossing te krijgen. Onze service bij de determinant van een matrix online berekenen gebruikt altijd de eenvoudigste en kortste methode en beschrijft in detail elke stap van de transformaties en vereenvoudigingen. U krijgt dus niet alleen de waarde van de matrixdeterminant, het eindresultaat, maar ook een hele gedetailleerde oplossing.
Het is gelijk aan de som van de producten van elementen van een rij of kolom door hun algebraïsche complementen, d.w.z. , waarbij i 0 vast is.
De uitdrukking (*) wordt de ontleding van de determinant D genoemd in termen van de elementen van de rij met het getal i 0.
Service doel... Deze dienst is bedoeld om de determinant van de matrix online te vinden met de registratie van het gehele verloop van de oplossing in Word-formaat. Bovendien wordt een oplossingssjabloon gemaakt in Excel.
Instructie. Selecteer de afmeting van de matrix, klik op Volgende.
De determinant kan op twee manieren worden berekend: per definitie en op rij- of kolomdecompositie... Als u de determinant moet vinden door nullen in een van de rijen of kolommen te maken, kunt u deze rekenmachine gebruiken.Algoritme voor het vinden van de determinant
- Voor matrices van orde n = 2 wordt de determinant berekend met de formule: Δ = a 11 * a 22 -a 12 * a 21
- Voor matrices van orde n = 3 wordt de determinant berekend via algebraïsche complementen of Sarrus-methode:.
- Een matrix met dimensie meer dan drie wordt ontleed in algebraïsche complementen, waarvoor hun determinanten (minoren) worden berekend. Bijvoorbeeld, determinant van een matrix van orde 4 wordt gevonden door ontleding in rijen of kolommen (zie voorbeeld).
We gebruiken de eerstelijns ontledingstechniek.
Δ = zonde (x) × + 1 × = 2sin (x) cos (x) -2cos (x) = zonde (2x) -2cos (x)
Methoden voor het berekenen van determinanten
De determinant vinden via algebraïsche complementen is een veelgebruikte methode. De vereenvoudigde versie is de berekening van de determinant door de Sarrus-regel. Bij een grote matrixafmeting worden echter de volgende methoden gebruikt:- berekening van de determinant door de methode van orderreductie
- berekening van de determinant door de Gauss-methode (door de matrix te verkleinen tot een driehoekige vorm).
Toegepast gebruik van kwalificaties
Determinanten worden in de regel berekend voor een bepaald systeem gegeven in de vorm van een vierkante matrix. Laten we eens kijken naar enkele soorten taken voor: de determinant van een matrix vinden.
Soms is het nodig om een onbekende parameter a te vinden waarvan de determinant gelijk zou zijn aan nul. Om dit te doen, is het nodig om een vergelijking op te stellen voor de determinant (bijvoorbeeld door regel van driehoeken) en, door het gelijk te stellen aan 0, de parameter a te berekenen. kolom ontleding (eerste kolom):
Minor voor (1,1): Streep de eerste rij en de eerste kolom uit de matrix door.
Laten we een determinant vinden voor deze minor. ∆ 1,1 = (2 (-2) -2 1) = -6.
Laten we een minor definiëren voor (2,1): hiervoor verwijderen we de tweede rij en de eerste kolom uit de matrix.
Laten we een determinant vinden voor deze minor. ∆ 2,1 = (0 (-2) -2 (-2)) = 4. Minor voor (3,1): Streep de 3e rij en 1e kolom uit de matrix door.Laten we een determinant vinden voor deze minor. ∆ 3.1 = (0 1-2 (-2)) = 4
De belangrijkste determinant is: ∆ = (1 (-6) -3 4 + 1 4) = -14
Laten we de determinant vinden met behulp van de rijdecompositie (door de eerste rij):
Minor voor (1,1): Streep de eerste rij en de eerste kolom uit de matrix door.
Laten we een determinant vinden voor deze minor. ∆ 1,1 = (2 (-2) -2 1) = -6. Minor voor (1,2): Streep de 1e rij en 2e kolom uit de matrix door. Laten we de determinant voor deze minor berekenen. ∆ 1,2 = (3 (-2) -1 1) = -7. En om de minor voor (1,3) te vinden, schrappen we de eerste rij en de derde kolom uit de matrix. Laten we een determinant vinden voor deze minor. ∆ 1,3 = (3 2 - 1 2) = 4
Vind de belangrijkste determinant: ∆ = (1 (-6) -0 (-7) + (- 2 4)) = -14
Formulering van het probleem
De opdracht gaat ervan uit dat de gebruiker bekend is met de basisconcepten van numerieke methoden, zoals determinant en inverse matrix, en de verschillende manieren om deze te berekenen. In dit theoretisch rapport worden, in eenvoudige en toegankelijke taal, eerst de basisbegrippen en definities geïntroduceerd, op basis waarvan verder onderzoek wordt gedaan. De gebruiker heeft misschien geen speciale kennis op het gebied van numerieke methoden en lineaire algebra, maar kan gemakkelijk profiteren van de resultaten van dit werk. Voor de duidelijkheid wordt een programma gepresenteerd voor het op verschillende manieren berekenen van de determinant van een matrix, geschreven in de programmeertaal C++. Het programma wordt gebruikt als laboratoriumbank voor het maken van illustraties voor het rapport. En er wordt ook onderzoek gedaan naar methoden voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen. De nutteloosheid van het berekenen van de inverse matrix is bewezen, daarom biedt het werk meer optimale methoden voor het oplossen van vergelijkingen zonder deze te berekenen. Het verklaart waarom er zoveel verschillende methoden zijn voor het berekenen van determinanten en inverse matrices en bespreekt hun nadelen. Ook wordt gekeken naar fouten bij het berekenen van de determinant en wordt de bereikte nauwkeurigheid geschat. Naast Russische termen gebruikt het werk ook hun Engelse equivalenten om te begrijpen onder welke namen we moeten zoeken naar numerieke procedures in bibliotheken en wat hun parameters betekenen.
Basisdefinities en eenvoudigste eigenschappen
Bepalend
Laten we de definitie van de determinant van een vierkante matrix van willekeurige orde introduceren. Deze definitie zal zijn: terugkerend, dat wil zeggen, om vast te stellen wat de determinant van de ordematrix is, moet men al weten wat de determinant van de ordematrix is. Merk ook op dat de determinant alleen bestaat voor vierkante matrices.
De determinant van een vierkante matrix wordt aangeduid met of det.
Definitie 1. Bepalend vierkante matrix 
tweede bestelling is het nummer 
.
Bepalend 
vierkante matrix van orde heet het getal 
waarbij de determinant is van de volgordematrix die is verkregen uit de matrix door de eerste rij en de kolom met het nummer te verwijderen.
Voor de duidelijkheid schrijven we op hoe je de determinant van een matrix van de vierde orde kunt berekenen: 
Commentaar. In uitzonderlijke gevallen wordt gebruik gemaakt van de feitelijke berekening van determinanten voor matrices van hogere orde van drie, op basis van de definitie. In de regel wordt de berekening uitgevoerd volgens andere algoritmen, die later zullen worden besproken en die minder rekenwerk vergen.
Commentaar. In Definitie 1 zou het nauwkeuriger zijn om te zeggen dat de determinant een functie is die is gedefinieerd op de reeks vierkante matrices van orde en waarbij waarden in de reeks getallen worden aangenomen.
Commentaar. In de literatuur wordt in plaats van de term "determinant" ook de term "determinant" gebruikt, die dezelfde betekenis heeft. Van het woord "determinant" verscheen de aanduiding det.
Laten we eens kijken naar enkele eigenschappen van determinanten, die we formuleren in de vorm van uitspraken.
Stelling 1. Wanneer de matrix wordt getransponeerd, verandert de determinant niet, dat wil zeggen.
Stelling 2. De determinant van het product van vierkante matrices is dus gelijk aan het product van de determinanten van de factoren.
Stelling 3. Als twee rijen in een matrix worden verwisseld, verandert de determinant van teken.
Stelling 4. Als een matrix twee identieke rijen heeft, is de determinant nul.
In de toekomst moeten we strings toevoegen en een string vermenigvuldigen met een getal. We zullen deze bewerkingen op rijen (kolommen) op dezelfde manier uitvoeren als bewerkingen op rijmatrices (kolommatrices), dat wil zeggen elementsgewijs. Het resultaat is een rij (kolom), die in de regel niet samenvalt met de rijen van de oorspronkelijke matrix. Als er bewerkingen zijn om rijen (kolommen) op te tellen en te vermenigvuldigen met een getal, kunnen we ook praten over lineaire combinaties van rijen (kolommen), dat wil zeggen sommen met numerieke coëfficiënten.
Stelling 5. Als een rij van een matrix wordt vermenigvuldigd met een getal, dan wordt de determinant ervan vermenigvuldigd met dit getal.
Stelling 6. Als de matrix een nulrij bevat, dan is de determinant nul.
Stelling 7. Als een van de rijen van de matrix gelijk is aan de andere vermenigvuldigd met een getal (de rijen zijn evenredig), dan is de determinant van de matrix nul.
Stelling 8. Laat de i-de rij in de matrix de vorm hebben. Dan, waar de matrix wordt verkregen uit de matrix door de i-de rij te vervangen door een rij, en de matrix - door de i-de rij te vervangen door een rij.
Stelling 9. Als een van de rijen van de matrix wordt opgeteld bij een andere, vermenigvuldigd met een getal, dan verandert de determinant van de matrix niet.
Verklaring 10. Als een van de rijen van een matrix een lineaire combinatie is van zijn andere rijen, dan is de determinant van de matrix nul.
Definitie 2. algebraïsch complement naar een matrixelement is een getal dat gelijk is aan, waarbij de determinant is van de matrix verkregen uit de matrix door de i-de rij en de j-de kolom te verwijderen. Het algebraïsche complement van een matrixelement wordt aangeduid met.
Voorbeeld. Laat 
... Dan 
Commentaar. Met behulp van algebraïsche optellingen kan definitie 1 van de determinant als volgt worden geschreven: 
Stelling 11. Ontbinding van de determinant langs een willekeurige reeks.
De determinant van de matrix voldoet aan de formule 
Voorbeeld. Berekenen 
.
Oplossing. Laten we de uitbreiding op de derde regel gebruiken, deze is winstgevender, omdat in de derde regel twee van de drie getallen nullen zijn. We krijgen 
Verklaring 12. Voor een vierkante matrix van orde op geldt de volgende relatie: 
.
Verklaring 13. Alle eigenschappen van de determinant geformuleerd voor rijen (stellingen 1 - 11) zijn ook geldig voor kolommen, met name de ontleding van de determinant in de j-de kolom is geldig 
en gelijkheid 
Bij .
Verklaring 14. De determinant van een driehoekige matrix is gelijk aan het product van de elementen van zijn hoofddiagonaal.
Gevolg. De determinant van de identiteitsmatrix is gelijk aan één.
Gevolgtrekking. De bovengenoemde eigenschappen maken het mogelijk om met relatief weinig rekenwerk determinanten van matrices van voldoende hoge ordes te vinden. Het rekenalgoritme is als volgt.
Algoritme voor het maken van nullen in een kolom. Laat het nodig zijn om de determinant van de bestelling te berekenen. Als, dan verwisselen we de eerste regel en elke andere waarin het eerste element niet nul is. Hierdoor zal de determinant gelijk zijn aan de determinant van de nieuwe matrix met het tegengestelde teken. Als het eerste element van elke rij gelijk is aan nul, dan heeft de matrix een nulkolom en, volgens stellingen 1, 13, is de determinant gelijk aan nul.
We beschouwen dat dus al in de oorspronkelijke matrix. Laat de eerste regel ongewijzigd. Voeg aan de tweede regel de eerste regel toe, vermenigvuldigd met een getal. Dan is het eerste element van de tweede rij 
.
De rest van de elementen van de nieuwe tweede regel worden aangeduid met. Volgens stelling 9 is de determinant van de nieuwe matrix. De eerste regel wordt vermenigvuldigd met een getal en opgeteld bij de derde. Het eerste element van de nieuwe derde regel zal zijn 
De rest van de elementen van de nieuwe derde regel worden aangeduid met. Volgens stelling 9 is de determinant van de nieuwe matrix.
We gaan door met het verkrijgen van nullen in plaats van de eerste elementen van de regels. Ten slotte vermenigvuldigen we de eerste regel met een getal en tellen bij de laatste regel op. Als gevolg hiervan wordt een matrix verkregen, we geven deze aan, die de vorm heeft 
en. Om de determinant van de matrix te berekenen, gebruiken we de expansie in de eerste kolom
Vanaf dat moment 
De determinant van de volgordematrix staat aan de rechterkant. Hetzelfde algoritme wordt erop toegepast en de berekening van de determinant van de matrix wordt teruggebracht tot de berekening van de determinant van de ordematrix. We herhalen het proces totdat we de determinant van de tweede orde bereiken, die per definitie wordt berekend.
Als de matrix geen specifieke eigenschappen heeft, is het niet mogelijk om het aantal berekeningen significant te verminderen in vergelijking met het voorgestelde algoritme. Een andere goede kant van dit algoritme is dat het gemakkelijk te gebruiken is om een computerprogramma samen te stellen voor het berekenen van determinanten van matrices van grote orders. In standaardprogramma's voor het berekenen van determinanten wordt dit algoritme gebruikt met kleine wijzigingen die verband houden met het minimaliseren van de invloed van afrondingsfouten en invoergegevensfouten in computerberekeningen.
Voorbeeld. Bereken de determinant van een matrix 
.
Oplossing. Laat de eerste regel ongewijzigd. Voeg aan de tweede regel de eerste toe, vermenigvuldigd met een getal:
De determinant verandert niet. Bij de derde regel voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met een getal:
De determinant verandert niet. Voeg aan de vierde regel de eerste toe, vermenigvuldigd met een getal:
De determinant verandert niet. Als resultaat krijgen we 
Met hetzelfde algoritme berekenen we de determinant van de matrix van orde 3 aan de rechterkant. We laten de eerste regel ongewijzigd, bij de tweede regel voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met een getal 
:
Bij de derde regel voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met het getal 
:
Als resultaat krijgen we 
Antwoord. .
Commentaar. Hoewel in de berekeningen breuken werden gebruikt, was het resultaat een geheel getal. Inderdaad, door gebruik te maken van de eigenschappen van determinanten en het feit dat de oorspronkelijke getallen gehele getallen zijn, hadden bewerkingen met breuken vermeden kunnen worden. Maar in de technische praktijk zijn getallen zelden geheel. Daarom zullen de elementen van de determinant in de regel decimale breuken zijn en is het onpraktisch om enkele trucs te gebruiken om de berekeningen te vereenvoudigen.
inverse matrix
Definitie 3. De matrix heet inverse matrix voor een vierkante matrix als.
Uit de definitie volgt dat de inverse matrix een vierkante matrix zal zijn van dezelfde orde als de matrix (anders een van de producten of niet gedefinieerd).
De inverse matrix voor de matrix wordt aangegeven met. Dus, als het bestaat, dan.
Uit de definitie van de inverse matrix volgt dat de matrix de inverse van de matrix is, dat wil zeggen. Over matrices en we kunnen zeggen dat ze invers zijn aan elkaar of onderling invers zijn.
Als de determinant van een matrix nul is, bestaat de inverse niet.
Omdat het belangrijk is om de inverse matrix te vinden of de determinant van de Maritsa gelijk is aan nul of niet, introduceren we de volgende definities.
Definitie 4. Een vierkante matrix heet ontaarden of speciale matrix, als niet-gedegenereerd of niet-singuliere matrix, als .
Stelling. Als de inverse matrix bestaat, is deze uniek.
Stelling. Als een vierkante matrix niet gedegenereerd is, dan bestaat de inverse ervan en 
(1) waar zijn de algebraïsche complementen van de elementen.
Stelling. De inverse matrix voor een vierkante matrix bestaat dan en slechts als de matrix niet gedegenereerd is, de inverse matrix uniek is en formule (1) geldig is.
Commentaar. Speciale aandacht moet worden besteed aan de plaatsen die worden ingenomen door algebraïsche optellingen in de formule van de inverse matrix: de eerste index toont het aantal kolom en de tweede is het nummer snaren, waarin u het berekende algebraïsche complement moet schrijven.
Voorbeeld. 
.
Oplossing. Vind de determinant
Omdat de matrix niet-gedegenereerd is en de inverse bestaat. Vind algebraïsche complementen: 
We stellen de inverse matrix samen en plaatsen de gevonden algebraïsche complementen zo dat de eerste index overeenkomt met een kolom en de tweede met een rij: 
(2)
De resulterende matrix (2) is het antwoord op het probleem.
Commentaar. In het vorige voorbeeld zou het nauwkeuriger zijn om het antwoord als volgt te schrijven: 
(3)
De notatie (2) is echter compacter en het is handiger om er eventueel verdere berekeningen mee uit te voeren. Daarom heeft het schrijven van het antwoord in de vorm (2) de voorkeur als de elementen van de matrices gehele getallen zijn. Omgekeerd, als de elementen van de matrix decimale breuken zijn, is het beter om de inverse matrix te schrijven zonder een factor ervoor.
Commentaar. Bij het vinden van de inverse matrix moet je behoorlijk wat berekeningen uitvoeren en de ongebruikelijke regel voor het rangschikken van algebraïsche complementen in de uiteindelijke matrix. Er is dus een grote kans op fouten. Om fouten te voorkomen, moet u een controle uitvoeren: bereken het product van de oorspronkelijke matrix en de laatste in de een of andere volgorde. Als het resultaat de identiteitsmatrix is, wordt de inverse correct gevonden. Anders moet u op zoek naar een fout.
Voorbeeld. Vind de inverse van een matrix 
.
Oplossing.
- bestaat.
Antwoord: 
.
Gevolgtrekking. Het vinden van de inverse matrix met formule (1) vereist te veel rekenwerk. Dit is onaanvaardbaar voor matrices van de vierde orde en hoger. Het echte algoritme voor het vinden van de inverse matrix zal later worden gegeven.
De determinant en inverse matrix berekenen met behulp van de Gauss-methode
De Gauss-methode kan worden gebruikt om de determinant en inverse van de matrix te vinden.
De determinant van de matrix is namelijk gelijk aan det.
De inverse matrix wordt gevonden door stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen met behulp van de Gauss-eliminatiemethode:
Waar is de j-de kolom van de identiteitsmatrix, is de vereiste vector.
De verkregen oplossingsvectoren - vormen uiteraard de kolommen van de matrix, aangezien.
Determinanten formules
1. Als de matrix niet gedegenereerd is, dan en (product van spilelementen).
Laat er een vierkante matrix A zijn van grootte n x n.
Definitie. De determinant is de algebraïsche som van alle mogelijke producten van elementen uit elke kolom en elke rij van de matrix A. Als in elk van deze producten (term van de determinant) de factoren zijn gerangschikt in de volgorde van de kolommen (dwz de tweede indices van de elementen a ij in het product zijn in oplopende volgorde), dan met het (+) teken, die producten worden genomen waarvoor de permutatie van de eerste indices even is, en met een (-) teken - die waarvoor het oneven is.
.
Hier is het aantal inversies in de permutatie van indices i 1, i 2,…, i n.
Methoden voor het vinden van determinanten
- De determinant van de matrix door ontleding in rijen en kolommen in termen van minderjarigen.
- Determinant door reductie tot driehoekige vorm (Gauss-methode)
Determinanten eigenschap
- Wanneer een matrix wordt getransponeerd, verandert de determinant niet.
- Als u twee rijen of twee kolommen van de determinant verwisselt, verandert de determinant van teken, maar verandert niet in absolute waarde.
- Laat C = AB waarbij A en B vierkante matrices zijn. Dan is detC = detA ∙ detB.
- De determinant met twee identieke rijen of met twee identieke kolommen is gelijk aan 0. Als alle elementen van een bepaalde rij of kolom gelijk zijn aan nul, dan is de determinant zelf gelijk aan nul.
- De determinant met twee proportionele rijen of kolommen is 0.
- De determinant van een driehoekige matrix is gelijk aan het product van de diagonale elementen. De determinant van een diagonaalmatrix is gelijk aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
- Als alle elementen van een rij (kolom) worden vermenigvuldigd met hetzelfde getal, dan wordt de determinant vermenigvuldigd met dit getal.
- Als elk element van een bepaalde rij (kolom) van de determinant wordt gepresenteerd als een som van twee termen, dan is de determinant gelijk aan de som van twee determinanten waarin alle rijen (kolommen) behalve deze hetzelfde zijn, en in deze rij (kolom) de eerste determinant bevat de eerste, en in de tweede - de tweede term.
- Stelling van Jacobi: Als we bij de elementen van een bepaalde kolom van de determinant de overeenkomstige elementen van de andere kolom optellen, vermenigvuldigd met een willekeurige factor λ, dan verandert de waarde van de determinant niet.
- de matrix transponeren;
- voeg aan elke regel een andere regel toe, vermenigvuldigd met een willekeurig getal.
Oefening 1... Bereken de determinant door deze uit te breiden per rij of kolom.
Oplossing: xml: xls
Voorbeeld 1: xml: xls
Opdracht 2... Bereken de determinant op twee manieren: a) volgens de regel van "driehoeken"; b) ontbinding langs de lijn.
Oplossing.
a) De termen in het minteken zijn op dezelfde manier geconstrueerd met betrekking tot de zijdiagonaal.
| = |
b) Laten we de matrix in de vorm schrijven:
| A = |
|
Belangrijkste determinant:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34
Opdracht 3... Geef aan waaraan de determinant van een vierkante matrix A van de vierde orde gelijk is als zijn rang r (A) = 1.
Antwoord: det (A) = 0.
