Решаване на задача за линейно програмиране (LPP) чрез графичен метод
Общо изложение на zlp
Намерете стойностите на n променливи x 1, x 2,…, x n, осигуряващи екстремум (минимален или максимум) на линейната функция Z = C 1 x 1, + C 2 x 2 +… + C n x n
и едновременно с това удовлетворяващи m ограничения на формата
a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 +… + a 1, n x n£ = ≥b 1,
a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 +… + a 2, n x n£ = ≥b 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,
a m, 1 x 1 + a m, 2 x 2 +… + a m, n x n£ = ≥b m,
за дадени a i, j, b i, C j (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n). Знакът на връзката може да приеме всяка от трите показани стойности.
Пример за проблем с линейно програмиране
Помислете за следния проблем. Мениджърът на компания, която произвежда два вида бои, описа на изследователя на операциите ситуацията на пазара за производство и продажба на бои. Оказа се, че фабриката произвежда два вида бои: за вътрешни и външни работи. И двете бои се предлагат на едро. За производството на бои се използват два изходни продукта - А и Б. Максималните възможни дневни запаси от тези продукти са съответно 6 и 8 тона. Опитът показва, че дневното търсене на външна боя никога не надвишава търсенето на вътрешна боя с повече от 1 тон. Освен това е установено, че търсенето на външна боя никога не надвишава 2 тона на ден. Цените на едро за един тон бои бяха, както следва: 3 хиляди рубли за външната боя и 2 хиляди рубли за вътрешната. Колко от всяка боя трябва да произвежда една фабрика, за да максимизира приходите от продажби?
За да се реши поставеният пред изследователя проблем, първо е необходимо да се разработи математически модел на описаната ситуация.
Когато конструира математически модел, изследователят на операциите задава три въпроса.
- За какви количества трябва да се изгради моделът? С други думи, трябва да идентифицирате променливите на задачата.
- Какви ограничения трябва да бъдат наложени на променливите, за да се задоволят условията, характерни за моделираната система?
- Каква е целта, за постигането на коя от всички възможни (допустими) стойности на променливите е необходимо да се изберат тези, които ще отговарят на оптималното (най-доброто) решение на проблема?
Нека представим променливи:
x 1 - дневно производство на външна боя (в тонове),
x 2 е дневното производство на интериорна боя (в тонове).
Като се вземат предвид цените на едро за тон на всеки вид боя, дневният доход от продажба на произведени продукти се дава чрез линейната целева функция Z = 3x 1 + 2x 2.
Целта на производството е да се максимизира печалбата, което означава, че трябва да намерите стойностите x 1 и x 2, които максимизират целевата функция Z.
Тъй като производителят на боята не може да разполага със стойностите на променливите по произволен начин, е необходимо да се подчертае наборът от възможни стойности на тези променливи, който се определя от специфичните условия на производство и търговия. Този набор се нарича диапазон от валидни стойности.
Първият тип ограничения се определят от запасите от продукти А и Б, от които се произвеждат бои. От производствената технология е известно, че две части от продукт А се използват за производство на тон външна боя, а една част за тон вътрешна боя. За продукт Б съотношението е обратно. Тези технологични условия се описват с неравенствата
2x 1 + x 2 £ 6 (на склад 6 тона продукт А),
x 1 + 2x 2 £ 8 (на склад 8 тона продукт B).
Последните две ограничения означават очевидно обстоятелство: не можете да използвате повече продукти А и Б за производството на бои, отколкото всъщност имат на склад.
Ситуацията с продажбата на бои на пазара води до следните ограничения: x 1 - x 2 £ 1 (външната боя се продава не повече от един тон повече от вътрешната), x 1 £ 2 (не повече от два тона външна боя се продават на ден).
Обобщавайки всичко казано, е възможно да се зададе математически модел, описващ текущата производствена ситуация в следната форма:
намирам® max (Z = 2 × x 1 + 3 × x 2) със следните ограничения върху стойностите на променливите x 1 и x 2
2 × x 1 + x 2 £ 6 ограничение (1),
X 1 + 2 × x 2 £ 8 ограничение (2),
X 1 - х 2 £ 1 ограничение (3),
X 1 £ 2 ограничение (4)
и изискването за неотрицателност на променливите x 1 ³ 0 (5), x 2 ³ 0 (6).
Полученият математически модел е проблем за линейно програмиране.
Графичен метод за решаване на zlp
Графичният метод за решаване на slp може да бъде реализиран само в двуизмерен случай.
Полученият математически модел за формулираната типична задача изисква изследване, тъй като не е известно предварително дали той (като математическа задача) има решение. Изследването ще се извърши с помощта на графични конструкции. Едновременно с подобни изследвания ще намерим (ако има) решение.
Етап 1. Изграждане на района на изпълними решения
Целта е да се изгради зона, всяка точка на която отговаря на всички ограничения.
Всяко от шестте ограничения геометрично дефинира полуравнина. За да го изградите, трябва:
- · Заменете знака за неравенство с равенство в ограничението (получаваме уравнението на правата линия);
- · Изградете права линия от две точки;
- · Определете коя полуравнина е дадена от знака за неравенство. За да направите това, заменете някаква точка в неравенството (например началото на координатите). Ако удовлетворява неравенството, боядисайте върху полуравнината, която го съдържа.
Ние извършваме такива действия за всички ограничения. Всяка от правите линии ще бъде обозначена с числата, приети при номерирането на ограниченията (виж фиг.).
Областта на възможните решения (удовлетворяващ всички ограничения) е наборът от точки от първия квадрант на координатната равнина (x 1, x 2), който е пресечната точка на всички полуравнини, определени от неравенствата на ограниченията.
Наборът от точки, които удовлетворяват всичките шест ограничения на проблема, е многоъгълникът AFEDCB.
Етап 2 Построяване на линии на ниво целева функция и определяне на максималната точка
Целта е да се намери в конструирания многоъгълник AFEDCB е точката, в която целевата функция Z = 2x 1 + 3x 2 достига своята максимална стойност.
Нека начертаем права линия 2x 1 + 3x 2 = Const (линия на ниво), така че да пресича многоъгълника AFEDCB (например Const = 10). Тази линия на ниво е показана като пунктирана линия на фигурата.
Ако разгледаме стойностите на линейната целева функция Z върху набора от точки (x 1, x 2), принадлежащи на сегмента от пунктираната линия, разположен вътре в шестоъгълника, тогава всички те са равни на една и съща стойност (Const = 10).
Нека определим посоката на нарастване на функцията. За да направите това, начертайте линия на ниво с по-голяма стойност. Ще бъде права линия, успоредна на построената, но разположена вдясно. Това означава, че в дадена посока стойността на целевата функция се увеличава и в наш интерес е да я преместим колкото е възможно по-далеч в тази посока.
Преместването може да продължи, докато преместената линия пресича многоъгълника на възможното решение. Последната позиция на правата линия, когато има една обща точка с полигона AFEDCB (точка C), съответства на максималната стойност на целевата функция Z и се достига в точка C с координати x 1 = 4/3 ("1.333 ), x 2 = 10/3 (" 3,333). В този случай Z = 38/3 (»12,667).
Задачата е напълно решена. От извършените геометрични разсъждения става ясно, че решението е уникално. Нека направим някои обобщения, които следват от геометричната интерпретация на проблема.
Първо. Областта на възможните решения е изпъкнал многоъгълник ( Защо изпъкнал? Може ли областта на възможните решения да бъде празно множество? Точка? Раздел? Рей? Директен? Ако да, моля, дайте пример за система за ограничения).
Второ. Максимумът на целевата функция се постига във върха на многоъгълника от възможни решения ( но може ли да има нещо повече от единственото решение? Може ли да няма решение?)
Задача 1 (завършете в клас, покажете на учителя)
Решете по графичен метод
|
A) F = 2 x 1 +3 x 2 и макс С ограничения x 1 +3 x 2 ≤ 18 2 x 1 + x 2 ≤ 16 х 2 ≤ 5 3 x 1 ≤ 21 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 |
Б) F = 4 x 1 +6 x 2 и min С ограничения 3 x 1 + x 2 ≥ 9 x 1 +2 x 2 ≥ 8 x 1 + 6x 2 ≥ 12 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 |
|
В) F = 3 x 1 +3 x 2 è макс С ограничения x 1 + x 2 ≤ 8 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 2 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 |
Г) F = 2 x 1 -3 x 2 и мин С ограничения x 1 + x 2 ≥ 4 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 1 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 |
А) x1 = 6 x2 = 4 F = 24
Б) x1 = 2 x2 = 3 F = 26
В) x1Î x2 = 8-x1 F = 24
Задача 2 (завършете в клас, покажете на учителя)
Отговорете на въпросите в курсив.
Задача 3 (домашна работа)
Напишете програма.
Даден е текстов файл от формата
2 3 (коефициенти на целевата функция)
4 (брой ограничения)
2 2 12 (ограничения)
1 2 8
4 0 16
0 4 12
Конструирайте прави линии, така че многоъгълникът на възможните решения да е изцяло на екрана (за дефиницията на мащаба вижте книгата Онегов). Правите линии могат да бъдат успоредни на осите!
Конструирайте няколко реда на нивото на целевата функция (натиснете клавиша - линията се движи, показва се стойността на целевата функция). Покажи мащаба.
Графичният метод е доста прост и интуитивен за решаване на задачи за линейно програмиране с две променливи. Тя се основава на геометричнапредставяне на възможни решения и CF на проблема.
Всяко от неравенствата на задачата за линейно програмиране (1.2) дефинира определена полуравнина на координатната равнина (фиг. 2.1), а системата от неравенства като цяло определя пресечната точка на съответните равнини. Множеството от пресечни точки на тези полуравнини се нарича област на осъществими решения(ODR). SDT винаги представлява изпъкналфигура, т.е. която има следното свойство: ако две точки A и B принадлежат на тази фигура, то целият отсечка AB й принадлежи. ODR може да бъде графично представен чрез изпъкнал многоъгълник, неограничен изпъкнал многоъгълен регион, сегмент, лъч или една точка. В случай на несъответствие на системата от ограничения за задача (1.2), ODR е празно множество.
Всичко по-горе важи и за случая, когато системата от ограничения (1.2) включва равенства, тъй като всяко равенство
може да се представи като система от две неравенства (виж фигура 2.1)
При фиксирана стойност ZF дефинира права линия върху равнината. Променяйки стойностите на L, получаваме семейство от успоредни линии, наречени нива на линии.
Това се дължи на факта, че промяната в стойността на L ще доведе до промяна само в дължината на сегмента, отрязан от линията на нивото на оста (първоначална ордината), а наклонът на правата линия ще остане постоянен ( виж Фигура 2.1). Следователно, за да го решите, ще бъде достатъчно да построите една от линиите на ниво, като произволно изберете стойността на L.
Вектор с координати от CF коефициентите при и е перпендикулярен на всяка от линиите на ниво (виж фиг. 2.1). Посоката на вектора е същата като посоката се увеличава CF, което е важен момент за решаване на проблеми. Посока намаляващи CF е противоположна на посоката на вектора.
Същността на графичния метод е следната. В посоката (срещу посоката) на вектора в ODR се извършва търсенето на оптималната точка. Оптималната точка е точката, през която минава линията на ниво, съответстваща на най-голямата (най-малката) стойност на функцията. Оптималното решение винаги се намира на границата на ODR, например в последния връх на ODR многоъгълника, през който преминава целевата линия, или от цялата му страна.
При търсене на оптимално решение на задачи за линейно програмиране са възможни следните ситуации: има уникално решение на проблема; има безкраен брой решения (алтернативен оптимум); CF не е ограничен; площта на допустимите решения е единствената точка; задачата няма решения.
Фигура 2.1 Геометрична интерпретация на ограниченията и CF на проблема.
Методика за решаване на ЛП задачи по графичен метод.
I. В ограниченията на задача (1.2) заменете знаците на неравенствата със знаците на точни равенства и построете съответните линии.
II. Намерете и засенчете полуравнини, които са разрешени от всяко от ограниченията на неравенството на задача (1.2). За да направите това, трябва да замените координатите на точка [например (0; 0)] в определено неравенство и да проверите истинността на полученото неравенство.
Аконеравенството е вярно,
тогаванеобходимо е да се засенчи полуравнината, съдържаща дадената точка;
в противен случай(неравенството е невярно) е необходимо да се засенчи полуравнината, която не съдържа дадената точка.
Тъй като и трябва да са неотрицателни, техните допустими стойности винаги ще бъдат над оста и вдясно от оста, т.е. в квадрант I.
Ограниченията за равенство позволяват само онези точки, които лежат на съответната права. Следователно е необходимо да се подчертаят такива прави линии на графиката.
III. Дефинирайте ODR като част от равнината, която принадлежи към всички разрешени зони едновременно, и го изберете. При липса на IDT проблемът няма решения.
IV. Ако ODR не е празен набор, тогава трябва да изградите целева линия, т.е. която и да е от линиите на ниво (където L е произволно число, например, кратно на и, т.е. удобно за извършване на изчисления). Методът на изграждане е подобен на конструирането на директни ограничения.
V. Конструирайте вектор, който започва в точка (0; 0) и завършва в точка. Ако целевата линия и векторът са начертани правилно, тогава те ще бъдат перпендикулярно.
Vi. При търсене на максимума на CF е необходимо да преместите целевата линия в посокатавектор, когато се търси минимума от CF - срещу посокавектор. Последният връх на ODR в хода на движение ще бъде точката на максимума или минимума на CF. Ако такава точка (точки) не съществува, тогава можем да заключим, че неограниченост на CF върху набора от плановеотгоре (когато търсиш максимум) или отдолу (когато търсиш минимум).
VII. Определете координатите на точката max (min) на CF и изчислете стойността на CF. За да се изчислят координатите на оптималната точка, е необходимо да се реши системата от уравнения на правите линии, в пресечната точка на които е.
Графичните методи се свързват предимно с геометричното представяне на функционалната зависимост с помощта на линии в равнина. Графиките се използват за бързо намиране на стойността на функциите по съответната стойност на аргумента, за визуално представяне на функционалните зависимости.
В икономическия анализ се използват почти всички видове диаграми: сравнителни диаграми, диаграми на времеви редове, криви на разпределение, диаграми на корелационни полета, статистически картограми. Сравнителните диаграми са особено разпространени в анализа - за съпоставяне на отчетени показатели с планови, на предходни периоди и напреднали предприятия на местно или чуждестранно ниво. За да се визуализира динамиката на икономическите явления (а при анализа с времеви редове трябва да се занимавате много често), се използват диаграми на времеви редове.
С помощта на координатна мрежа се изграждат графики на зависимостта, например, нивото на разходите от обема на произведените и продадените продукти. графики, на които можете да изобразите корелациите между индикаторите. В координатната система изображението показва влиянието на различни фактори върху конкретен индикатор.
Графичният метод се използва широко за изучаване на производствени процеси, организационни структури, процеси на програмиране и др. Например, за да се анализира ефективността на използването на производственото оборудване, се изграждат изчислителни графики, включително графики на множество фактори.
Легенда: всеки кръг се счита за един от върховете на графиката; номерът в горния сектор на всеки връх означава неговия пореден номер; от числата на два съседни върха се добавя работният шифър; числото в долния сектор на всеки връх е поредният номер на предишния връх, а линията, свързваща тези два върха, показва определена работа. Под чертата е планираната продължителност на тази работа; цифрата в левия сектор на всеки връх означава общата продължителност на всички предишни работи, цифрата в десния сектор се различава от цифрата в левия с размера на резерва (времеви резерв). По този начин, за върхове, лежащи на критичния път, числата в левия и десния сектор на върха съвпадат, тъй като времевият интервал е 0.
В една математически формализирана система за анализ, планиране и управление мрежовите диаграми заемат специално място. Те дават голям икономически ефект при строителството и монтажа на промишлени и други предприятия.
Мрежовата диаграма (фиг. 6.1) ви позволява да подчертаете най-важните от целия комплекс от работа, лежащи на критичния път, и да съсредоточите върху тях основните ресурси на строително-монтажните организации, да установите връзки между различни специализирани организации и да координирате тяхната работа. Работите по критичния път изискват най-дългото чакане за идване на следващото събитие. На етапа на оперативен анализ и управление мрежовият график дава възможност за ефективно наблюдение на напредъка на строителството, вземане на навременни мерки за отстраняване на възможни забавяния в работата.
Използването на мрежови диаграми за анализ, планиране и управление осигурява, както показват много примери, намаляване на времето за строителство с 20-30%, повишаване на производителността на труда с 15-20%.
При анализа, извършен директно на строителни обекти, използването на материали за планиране и управление на мрежата допринася за правилното определяне на причините, влияещи върху хода на строителството, и идентифицирането на предприятия, които не осигуряват изпълнението на поверената им работа. или доставка на оборудване в рамките на срока, определен от графика.
Разработването на мрежов график в строителството се извършва при наличие на: норми за продължителността на строителството и периода на въвеждане в експлоатация на обект или комплекс от обекти, проектни оценки, проект за организиране на строителство и производство на работа, стандарт технологични схеми, текущи норми на разходи за труд, материали и работа на машината. Освен това при съставянето на графика се използва опитът от извършване на отделни работи, както и данни за производствената база на строително-монтажните организации.
Въз основа на всички тези данни се съставя таблица на работите и ресурсите, където техните характеристики, обем, интензивност на труда в човекодни, изпълнител (организация и екип), брой работници, смени, нужда от механизми и материали, източници на тяхното получаване са посочени в технологичната последователност на работа, общата продължителност на работата в дни, както и предишната задача, след края на която можете да започнете тази работа. Въз основа на показателите на такава таблица се изготвя мрежов график, който може да има различна степен на детайлност в зависимост от приетата производствена схема.
работно ръководство и ниво на управление; в допълнение към общия график изпълнителите разработват график за работата, която изпълняват.
Основните елементи на мрежовия график: събитие, работа, очакване, зависимост.
При анализиране на напредъка на строителството на обект трябва да се установи дали мрежовият график е съставен правилно, дали критичният път не е надценен, дали всички възможности за неговото намаляване са взети предвид при оптимизиране на графика , дали е възможно паралелно извършване на каквито и да е работи или намаляване на времето, изразходвано за тях чрез увеличаване на средствата за механизация и др. Това е особено важно в случаите, когато продължителността на работата по график не осигурява завършване на строителството в срок.
Основният материал за мрежово планиране, използван в анализа, е информация за напредъка на работата по график, който обикновено се изготвя поне веднъж на десетилетие. Като пример е дадена карта на заданието и информация за хода на работата по строителен обект, извършена съгласно мрежовия график (Таблица 6.1). Според картата критичната работа е извършена в началото на месеца предсрочно, но тогава е допуснато забавяне при монтажа на подкранови греди в ред Б, а последващата работа - монтаж на подкранови греди в ред А - е била завършен със закъснение от един ден.
Оптимизирането на мрежовите графици се извършва на етапа на планиране чрез намаляване на критичния път, т.е. минимизиране на времето на строителните работи при дадени нива на ресурси, минимизиране на нивото на потребление на материални, трудови и финансови ресурси с фиксирано време на строителните работи . Възможен е и смесен подход: за една част от работата (по-скъпа) - да се сведе до минимум нивото на потребление на ресурси при фиксирана времева рамка за работа, за другата - да се сведе до минимум времето при фиксирано ниво на ресурси.
Решаването на оптимизационни проблеми е значително улеснено от наличието на приложни софтуерни пакети (APP), адаптирани за компилиране на оптимални мрежови диаграми на компютър.
В чуждестранната практика на системния анализ е широко разпространен граф-математическият метод, наречен "дърво на решенията". Същността на този метод е следната.
Чрез предварителна оценка на потребностите, предварителен анализ на възможни организационни, технически или технологични условия се очертават всички предложени варианти за решаване на този проблем. Първоначално разработен
| | Упражнение | | Информация | Резерв от време за работа | бр ти |
|||||||
| име върши работа | шифър | дата започнете | дата край | планирано продължи | Re зърно време | % тези- | необходимо време за | в ранг | действителна дата | намиране крещящ | не се намира | резерв за време от |
| | върши работа | върши работа (план) | ния върши работа (план) | гражданин неност, дни | аз | срам готов ност | край ния върши работа, дни | грабвам zhki | край ния върши работа | на критичния път | критичен път | началото на месеца, дни |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| Развитие на почвата | 1-2 | 1 / IV | 6 / IV | 5 | 0 | 100 | - | - | 6 / IV | ¦- | - | - |
| Бетониране на основи за котли | 2-3 | 7 / IV | 17 / 1V | 9 | 0 | 100 | 14 / IV | 2 | 2 |
|||
| Бетониране на основи в ред А | 2-4 | 7 / IV | 14 / 1V | 7 | 2 | 100 | 14 / IV | | | |
||
| Същото за ред Б | 2-5 | 7 / IV | 14 / IV | 7 | 2 | 100 | - | - | 14 / IV | | | |
| Тръбопроводно устройство | 6-18 | 18 / IV | 21 / IV | 4 | 19 | 100 | - | - | 29 / IV | -7 |
||
| Устройство за запълване | 6-7 | 18 / IV | 19 / IV | 2 | 0 | 100 | 17 / IV | 2 | 2 |
|||
| Монтаж на сглобяем стоманобетон | | | | | | | | | | | | |
| lonne: на ред Б | 7-8 | 20 / IV | 22 / IV | 3 | 1 | 100 | - | - | 22 / IV | _ | - | - |
| на ред А | 7-9 | 20 / IV | 22 / IV | 3 | 1 | 100 | - | - | 22 / IV | - | - | - |
Изграждане на подкранови писти и монтаж на кулокран 7-10
Монтаж на подпорни рамки на основата за оборудване 7-16 Монтаж на подкранови греди:
на ред B 8-11
20 / IV 24 / IV 4
20 / IV 24 / IV 4
24 / IV 25 / IV 2
в ред А 10-12 25 / IV 26 / IV
Монтаж на първа част от греди и покривни плочи 12-13 27 / IV 4 / V
Монтаж на подкранови писти lt;3 крана 12-14 27 / IV 3 / V
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 0 | 100 | - | - | 22 / IV | 1 | - | 1 |
| 14 | 100. | - | - | 29 / IV | - | -5 | - |
| 1 | 100 | на- | 27 / IV | -2 |
27 / IV -1
поддръжка с доставка на стоманобетонни конструкции
- 100 -
увеличени опции. След това, като се въвеждат допълнителни условия, всяко от тях се разделя на редица опции. Графичното представяне на тези опции ви позволява да изключите по-малко печелившите и да изберете най-приемливия.
Този метод може да се използва в нашата компания при определяне на реда за обработка на определени части на няколко машини с цел минимизиране на общото време за обработка; при определяне на размера на ресурсите за минимизиране на общите производствени разходи; при разпределяне на капиталови инвестиции и други ресурси за промишлени съоръжения; при решаване на транспортни и други проблеми.
Графичните изображения са важен метод за научен анализ на статистическия материал. Първите опити за използване на графични методи в икономическите изследвания започват през 1780-те години. Графичният метод обаче получава по-широко приложение по-късно - в средата на 18 век, особено след доклада на представителя на Берлинското статистическо бюро Швабе "Теория на графичните изображения" на 8-ия международен статистически конгрес (Петербург, 1872 г.) за за първи път в историята на статистиката. Според добре познатия израз на немския физик Ф. Ауербах, XX век. е белязан от „триумфалното темпо на графичния метод в науката“.
Какво е графика? Графиката е форма на визуално представяне на статистически данни за социално-икономически явления и процеси чрез геометрични изображения, чертежи или схематични географски карти и обяснения към тях.
Графиката има пет основни елемента от общата структура: поле, координатна мрежа, графични символи и тяхното разположение в графичното поле, мащаб и експликация (фиг. 10.3).
Ориз. 10.3. Основни елементи на диаграмата
Всеки от тези елементи има свое собствено предназначение и играе съответна роля в изграждането и интерпретацията. Графичното поле е пространството, в което са поставени геометрични и други знаци, които съставляват графичното изображение.
Графичното изображение е съвкупност от различни символични знаци, с помощта на които се отразяват статистически данни. Тези знаци могат да бъдат изобразени във форми: линии, точки, геометрични, графични и понякога негеометрични фигури.
Координатната мрежа е правоъгълна координатна система, в която времето е нанесено по оста на абсцисата, а индикаторите за мащаба по оста на ординатите.
Мащабът е условна мярка за преобразуване на числена стойност на статистическо явление в графична и обратно. Той служи за задаване на числените стойности на явленията, изразени на графиката.
Експликацията на графиката е словесно обяснение на нейното специфично съдържание, което обикновено включва:
1) заглавие с необходимите допълнителни обяснения;
2) точното обяснение на същността е условно предоставено в тази графика на нейните графични знаци (геометрични, графични, фонови, чисто конвенционални)
3) други обяснения, бележки и др.
В допълнение към полето на графиката може да се приложи някаква допълнителна информация, например цифрови данни, които засягат някои графични знаци и повтарят в цифров вид точните им стойности, изразени графично.
Графиките играят особено важна роля при изследването на сложни взаимовръзки на социално-икономическите явления и процеси, идентифициране на тенденции, закономерности и промени в показателите на динамиката, както и в текущия анализ. Основните разлики и предимства на графичния метод в сравнение с другите са: по-добра яснота; способността за общо покриване на данните от изследваното; способността да се изразят някои аналитични зависимости, които не са много ясни и трудни за идентифициране по други начини за представяне на данни.
С помощта на графици можете да извършвате оперативен контрол върху производството, продажбите на продукти, изпълнението на договорните задължения и възложените задачи. По този начин графиците се задават:
Да обобщава и анализира данни;
Изображение за разпространение на данни;
Разкриване на закономерностите на развитие на изследваните явления и процеси в динамиката;
Отражение на връзката на показателите;
Контрол върху производството, изпълнение на договори за продажба на продукти и други подобни.
Съществуват различни класификации на графиките - според формата на графичните изображения, според съдържанието, естеството на поставените задачи.
Следните видове графики се различават по формата на графичните изображения:
1) точка;
2) линейни;
3) равнинен;
4) обемни;
5) художествен (изобразителен, конвенционален).
В диаграмите на разсейване обемът на популацията се изразява или като една точка, или като натрупване на точки. Една точка може да представлява едно събитие или няколко (напр. едно предприятие, 500 работници).
Линейните графики се състоят от няколко линии: прави сегменти, прекъснати линии, стъпаловидни, плавни криви (предимно за предаване на динамиката на населението). Често отсечките от прави линии се заменят с ленти със същата ширина, които също действат като графични знаци, но в едно измерение (дължина). В такива случаи графиките се наричат лентови графики, ако ивиците са поставени вертикално, или лентови графики, когато ивиците са хоризонтални.
От своя страна колонните диаграми са разделени на колонна диаграма: проста и плътна, от групи от стълбове и т.н., а лентовидните диаграми са разделени на лентови диаграми: прости и стъпкови диаграми, компонентни момчета, плъзгащи се, двустранно насочени (например, "възрастовата пирамида" на състава на населението) ...
Специалните видове линейни графики включват спирални (за явления, които се развиват неограничено във времето и с нарастваща величина), радиални диаграми (за показване на модели на периодично повтарящи се явления, техния ритъм, сезонност).
Равнините са диаграми с две измерения под формата на равнини с различни геометрични форми. В зависимост от това те могат да бъдат квадратни, кръгли, секторни. Препоръчително е да използвате тези графики за сравняване на явленията, представени чрез абсолютни и относителни стойности.
Важни характеристики на планарните графики са двуизмерният "знак на Варзар", лентова или поточна диаграма и балансова диаграма.
Двуизмерният "знак на Варзар" (наречен на своя изобретател, руския статистик В. Е. Варзар) е правоъгълник с основа a и височина b и площ Sab, който е полезен за графично изразяване на доста често сходни съотношения на три величини a, от S .
Лентовата или текущата диаграма се използва за схематично изразяване на обема и състава на товарен трафик между две точки в едната и втората посока.
Балансовата диаграма е двустранна лентова диаграма, чиито ленти се разклоняват в две посоки в по-тесни ивици, като тяхната ширина изразява съответните стойности на позиции на приходи и разходи, позиции на активи и пасиви и други подобни.
Обемни - 3D графики, които се използват рядко, защото са по-малко изразителни от линейните и равнинните.
Художествени (изобразителни, конвенционални) - графики с конвенционални графични знаци, които отразяват съвкупността или отделните й значения под формата на човешки фигури, животински контури, схематични рисунки на обекти и др.
Класификацията на графиките по тяхното съдържание е от голямо значение. Имайки предвид това, графиките се разделят на два класа - диаграми и статистически карти.
Диаграмата е графичен израз на обемите и характеристиките на един или повече агрегати с помощта на количествени графични знаци (геометрични, художествени, фонови, чисто конвенционални).
Диаграмата обаче не дава графично представяне на териториалното разпределение на изобразените агрегати или териториалната промяна в техните характеристики. За целта се използват статистически карти за изобразяване на териториалното разпределение на популациите или териториалната промяна на техните характеристики. Те са разделени на два класа – картограми и картодиаграми.
Картограмите са контурни географски карти, на които с помощта на графични знаци са представени количествените териториални характеристики на населението.
Картографските диаграми са контурни географски карти, където отделни области (райони, точки) на територията са нанесени с еднакъв вид диаграма (една или няколко), изобразяващи обема и териториалните характеристики на един и същи вид агрегати в тези райони. Така например са изобразени потоците от стоки, превозвани от пътници, населението, мигриращите и други подобни.
Диаграмите и статистическите карти изпълняват такива важни задачи в изследването на населението:
Общи сравнения между тях;
Проучване на структурата;
Изучаване на динамиката;
Изучаване на връзката на техните знаци;
Измерване на степента на изпълнение на стопанските планове, договорните задължения в планирането и стопанската практика.
От своя страна и диаграмите, и картограмите, в зависимост от предназначението им, се разделят на подкласове, групи и форми (Таблица 10.27).
При изграждането на графики трябва да се спазват следните изисквания:
1) разчитат на надеждни цифрови данни;
2) графиката трябва да бъде смислена като дизайн и интересна по съдържание;
3) трябва да бъдат изградени в съответствие с възложените задачи и практическото им предназначение;
4) бъдете изключително икономични – съдържат максимум информация, идеи с минимум средства за тяхното графично изразяване, прости, ясни, разбираеми;
5) технически добре изпълнен.
Нека разгледаме по-подробно основните видове и форми на диаграми и статистически карти, които най-често се използват в практиката на аналитичната работа.
Линейната диаграма е един от най-често срещаните видове графики, които служат за изобразяване на динамиката на изследваните явления. За неговото изграждане се използва правоъгълна координатна система. По абсцисата са нанесени равни интервали - периоди от време (дни, месеци, години и т.н.), а на ординатата - се приема скала, характеризираща мерните единици. Върху координатното поле се прилагат точки, равни на стойността на индикатора за определен период. Тогава всички точки се свързват с прави линии, в резултат на което се получава прекъсната линия, която характеризира изменението на изследваното явление за определен период от време (табл. 10.28, фиг. 10.4).
|
Подклас |
Разновидности и графична форма, най-често срещани |
||
|
диаграми |
I. Общи диаграми за сравнение |
1.хомогенни агрегати |
Колона, лента, художествена |
|
2. Различни популации |
Колона, лента, равнинна |
||
|
II. Структурни диаграми |
1. Диаграми на разпределение на населението |
Многоъгълник, хистограма, кумулатив, огив, крива на разпределение, графика на Лоренц, корелационно поле |
|
|
2. Диаграми за групи |
Графики от ленти, ленти, разделени на абсолютни или процентни части, кръгови диаграми, балансови диаграми, "възрастова пирамида" и т.н. |
||
|
III. Динамични диаграми |
1. Диаграми на динамиката на обемите |
Колонни, линейни, кумулативни, спираловидни, художествени диаграми |
|
|
2. Диаграми на динамиката на структурата |
Столкови диаграми с процентни деления, в кръгове с разделяне на сектори и т.н. |
||
|
3. Сезонни графики |
Линейни, лентови, радиални диаграми |
||
|
IV. диаграми взаимовръзки знаци |
1. Диаграми за конфигурация на съзвездието |
Петно, фон |
|
|
2. Диаграми на комуникационните форми |
Начупени или гладки извивки |
||
|
3. Диаграми на степента на плътност на комуникацията |
Затворени контури на корелационното поле под формата на стъпаловидни прекъснати линии или елипсовидни криви и др. |
||
|
V. Схеми на изпълнение на плановете |
1. Схеми на текущо изпълнение |
Линейни диаграми, диаграми на Гант |
|
|
2. Графики за напредъка от началото на периода |
Кумулати, кумулативни диаграми на Гант, диаграми на Лоренц |
||
|
Статистически карти |
Vi. Картограми |
1. Картограми на разпределение на единици население |
Точкови картограми |
|
2. Картограми на разположение на съвкупния обем на знаците |
Точкови картограми |
||
|
3. Картограми на промените в обобщените характеристики |
Точкови, фонови картограми |
||
|
4. Картограми на изолинии |
Линейни картограми |
||
|
5. Центрограми |
Точкови картограми |
Таблица 10.28. Инвестиции в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна през 2000-2005 г. стр., в реални цени, милиона UAH
Данните от графиката показват, че обемът на инвестициите в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна в реални цени е нараснал от 2000 до 2005 г.
Ориз. 10.4. Динамика на обема на инвестициите в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна през 2000-2005 г., в реални цени, милиона UAH
Линейните графики се изграждат върху специално проектирана решетка, където единиците за време са разположени хоризонтално, а изследователските обекти са разположени вертикално. Освен това всеки хоризонтален сегмент отговаря на 100% изпълнение на планираната задача. Тези сегменти са разделени на 5 равни части, всяка от които отговаря на 20% от планираната цел.
Степента на изпълнение на плана на графиката е изобразена с две линии: тънка пунктирана линия - за единица време (ден, десетилетие) и плътна удебелена линия - за отчетния период като цяло.
Нека разгледаме процедурата за конструиране на планов график с помощта на пример.
Пример. Изградете линеен график за изпълнение на планираната задача от екип от работници от СМР, като използвате данните в табл. 10.29.
Таблица 10.29. Изпълнение на планираната задача от екип от работници от СМР
Графикът за изпълнение на планираната задача от екип от строители за СМР е показан на фиг. 10.5.
Тънката непрекъсната линия на първия ден съответства на 90% от плана и заема четири клетки и половина, а линията на втория ден - 80% и заема четири клетки, линията на третия ден се простира точно пет, а четвъртата - пет клетки (100%) плюс допълнителен сегментът по-долу, който заема 20% и т.н.
Кумулативното показване на нивото на изпълнение на плана изисква някои допълнителни изчисления. И така, през първия ден плътна удебелена линия ще бъде дълга колкото тънка непрекъсната линия - 90% и ще отнеме четири клетки и половина. Освен това трябва да се направят следните изчисления: за два дни действително бяха завършени 513 m2 (225 + 288). От тази сума 250 м 2 се кредитират за изпълнение на плана за първия ден. Тогава за сметка на втория ден ще има 263 m 2, което според плана за този ден е 91% (263 288).
Според удебелата линия заема пет клетки на първия ден и 91% на втория. За три дни реално бяха завършени 923 м2 (225 + 288 + 410). За изпълнение на плана за първите два дни се записват 610 m 2, а за третия ден 313 m 2, което според плана за този ден е 76% (313: 410). Удебелата линия ще заема 5 клетки през първия и втория ден и 76% в третия. Всички следващи изчисления се извършват по същия начин. Степента на изпълнение на плана за всеки ден на удебелата линия е обозначена с точки.
Колонна диаграма- много често срещан тип графики в едно измерение поради тяхната яснота и простота. Статистическите данни в тях са изобразени под формата на правоъгълници с еднаква ширина, разположени вертикално по хоризонтална линия (фиг. 10.6).
Височината на лентите трябва да съответства на величината на изобразените явления. Ако лентите са разположени хоризонтално, тогава такава диаграма се нарича лентова диаграма (Фигура 10.7).
Диаграмите с колони и ленти ви позволяват да сравнявате стойности на различни стойности, да характеризирате едно и също явление в динамиката; характеризират съвкупността.
Кругови диаграми (или кръгови) - диаграми, предназначени да показват структурата на изследваните явления и процеси. Те са изобразени под формата на кръг, разделен на сектори, чиито стойности съответстват на размерите на изобразените явления (фиг. 10.8).
Както е показано на графиката (фиг. 10.8), основният източник на финансиране за лизингови операции в Украйна са банковите заеми (80,9%), след това - собствените средства (16,1%). Привлечените средства на юридически лица представляват едва 3,6%.
Ориз. 10.6. Динамика на обема на инвестициите в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна през 2000-2005 г. стр., в реални цени, милиона UAH
Ориз. 10.7. Динамика на обема на инвестициите в дълготрайни активи в жилищното строителство в Украйна през 2000-2005 г. стр., в реални цени, милиона UAH
В съвременните условия на развитие на информационни и компютърни системи стана възможно изграждането на графики с помощта на софтуерни пакети, включително електронни таблици EXCEL, "Statistica-6" и др. Те са удобни за използване и значително опростяват тази работа.
Ориз. 10.8. Структура на източниците на финансиране за лизингови операции в Украйна в началото на 2005 г. п.,%
Ако има само две променливи в задачата за линейно програмиране, тогава тя може да бъде решена графично.
Помислете за проблем с линейно програмиране с две променливи и:
(1.1)
;
(1.2)
Тук има произволни числа. Задачата може да бъде както намиране на максимума (max), така и намиране на минимума (min). В системата от ограничения могат да присъстват както знаци, така и знаци.
Изграждане на района на изпълними решения
Графичният метод за решаване на задача (1) е както следва.
Първо рисуваме координатните оси и избираме мащаба. Всяко от неравенствата на системата от ограничения (1.2) дефинира полуравнина, ограничена от съответната права.
И така, първото неравенство
(1.2.1)
дефинира полуравнина, ограничена от права линия. От едната страна на тази права линия и от другата страна. На най-правата линия. За да разберем от коя страна важи неравенството (1.2.1), избираме произволна точка, която не лежи на права линия. След това заместваме координатите на тази точка в (1.2.1). Ако неравенството е изпълнено, тогава полуравнината съдържа избраната точка. Ако неравенството не е изпълнено, тогава полуравнината се намира от другата страна (не съдържа избраната точка). Засенчване на полуравнината, за която важи неравенството (1.2.1).
Извършваме същото и за останалите неравенства на системата (1.2). Това ще ни даде сенчестите полуравнини. Точките от областта на допустимите решения удовлетворяват всички неравенства (1.2). Следователно, графично, областта на възможните решения (ADS) е пресечната точка на всички конструирани полуравнини. Засенчване ODT. Това е изпъкнал многоъгълник, чиито лица принадлежат на конструираните прави линии. Също така, ODR може да бъде неограничена изпъкнала форма, сегмент от линия, лъч или права линия.
Може да възникне случай, че полуравнините не съдържат общи точки. Тогава областта на възможните решения е празното множество. Този проблем няма решения.
Методът може да бъде опростен. Не е нужно да засенчвате всяка полуравнина, но първо изградете всички прави линии
(2)
След това изберете произволна точка, която не принадлежи на нито една от тези линии. Заместете координатите на тази точка в системата от неравенства (1.2). Ако всички неравенства са изпълнени, тогава областта на възможните решения е ограничена от построените прави линии и включва избраната точка. Засенчваме областта на възможните решения по границите на правите линии, така че да включва избраната точка.
Ако поне едно неравенство не е изпълнено, тогава избираме друга точка. И така нататък, докато се намери една точка, чиито координати удовлетворяват системата (1.2).
Намиране на екстремума на целевата функция
И така, имаме засенчена област на възможните решения (ODS). Тя е ограничена от полилиния, състояща се от сегменти и лъчи, принадлежащи на конструираните прави линии (2). ODR винаги е изпъкнало множество. То може да бъде или ограничено множество, или да не е ограничено по някои посоки.
Сега можем да търсим екстремума на целевата функция
(1.1)
.
За да направите това, изберете произволно число и изградете права линия
(3)
.
За удобство на по-нататъшното представяне приемаме, че тази линия минава през ODR. На тази линия целевата функция е постоянна и равна. такава права линия се нарича линия на ниво функция. Тази права линия разделя равнината на две полуравнини. На една полуравнина
.
В другата полуравнина
.
Тоест от едната страна на правата линия (3) целевата функция се увеличава. И колкото повече отдалечим точката от правата линия (3), толкова по-голяма ще бъде стойността. От другата страна на правата линия (3) целевата функция намалява. И колкото повече преместим точката от правата линия (3) на другата страна, толкова по-ниска ще бъде стойността. Ако начертаем права линия, успоредна на правата линия (3), тогава новата права линия също ще бъде линията на нивото на целевата функция, но с различна стойност.
По този начин, за да се намери максималната стойност на целевата функция, е необходимо да се начертае права линия, успоредна на правата линия (3), най-отдалечената от нея в посока на увеличаване на стойностите и минаваща през поне една точка на ODR. За да се намери минималната стойност на целевата функция, е необходимо да се начертае права линия, успоредна на правата линия (3) и най-отдалечената от нея в посока на намаляващи стойности и минаваща през поне една точка от ODR.
Ако ГДР е неограничена, тогава може да възникне случай, когато такава права линия не може да бъде начертана. Тоест, независимо как отстраняваме правата линия от линията на нивото (3) в посока на увеличаване (намаление), правата линия винаги ще минава през ODR. В този случай тя може да бъде произволно голяма (малка). Следователно няма максимална (минимална) стойност. Проблемът няма решения.
Да разгледаме случая, когато крайна права линия, успоредна на произволна права линия от вида (3), минава през един връх на ODR многоъгълника. От графиката определяме координатите на този връх. Тогава максималната (минималната) стойност на целевата функция се определя по формулата:
.
Решението на проблема е
.
Може да има и случай, когато права линия е успоредна на една от лицата на ODR. След това линията минава през два върха на ODR многоъгълника. Определете координатите на тези върхове. За да определите максималната (минималната) стойност на целевата функция, можете да използвате координатите на всеки от тези върхове:
.
Проблемът има безкрайно много решения. Решението е всяка точка, разположена на отсечката между точките и, включително точките и самите тях.
Пример за решаване на задача за линейно програмиране с помощта на графичен метод
Задачата
Компанията произвежда рокли от два модела A и B. В този случай се използват три вида плат. За производството на една рокля от модел А са необходими 2 м от първия вид плат, 1 м от втория тип плат и 2 m от третия тип плат. За производството на една рокля модел Б са необходими 3 м от първия вид плат, 1 м от втория тип плат, 2 m от третия тип плат. Запасите на първия тип плат са 21 м, на втория - 10 м, на третия - 16 м. Пускането на един продукт тип А носи доход от 400 ден. единици, един продукт от тип Б - 300 ден. единици
Направете производствен план, който осигурява на компанията най-висок доход. Решете задачата графично.
Решение
Нека променливите и означават броя на произведените рокли от модели А и В, съответно. Тогава количеството консумирана тъкан от първия тип ще бъде:
(м)
Количеството консумирана тъкан от втория тип ще бъде:
(м)
Количеството консумирана тъкан от третия тип ще бъде:
(м)
Тъй като броят на произведените рокли не може да бъде отрицателен
и .
Приходите от произведените рокли ще бъдат:
(парични единици)
Тогава икономическият и математическият модел на задачата има формата:
Решаваме го графично.
Начертаваме координатните оси и.
Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертайте права линия през точки (0; 7) и (10.5; 0).
Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертайте права линия през точките (0; 10) и (10; 0).
Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертайте права линия през точки (0; 8) и (8; 0).
Засенчване на областта, така че точката (2; 2) да попадне в засенчената част. Получаваме четириъгълник OABC.
(A1.1) .
В .
В .
Начертайте права линия през точките (0; 4) и (3; 0).
Освен това отбелязваме, че тъй като коефициентите при и на целевата функция са положителни (400 и 300), тогава тя се увеличава с увеличаване и. Начертаваме права линия, успоредна на правата (A1.1), най-отдалечената от нея във възходяща посока и минаваща през поне една точка от четириъгълника OABC. Такава права минава през точка С. От конструкцията определяме нейните координати.
.
Решението на задачата: ;
Отговор
.
Тоест, за да получите най-висок доход, е необходимо да направите 8 рокли от модел А. В този случай доходът ще бъде 3200 ден. единици
Пример 2
Задачата
Решете задача за линейно програмиране с помощта на графичен метод.
Решение
Решаваме го графично.
Начертаваме координатните оси и.
Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертайте права линия през точки (0; 6) и (6; 0).
Изграждаме права линия.
Оттук.
В .
В .
Начертайте права линия през точки (3; 0) и (7; 2).
Изграждаме права линия.
Изграждаме права линия (ос на абсцисата).
Областта на възможните решения (ODD) е ограничена от построените прави линии. За да разберем от коя страна, забелязваме, че точката принадлежи на ODR, тъй като удовлетворява системата от неравенства:
Засенчваме областта по границите на построените линии, така че точката (4; 1) да попадне в защрихованата част. Получаваме триъгълник ABC.
Ние изграждаме произволна линия на нивото на целевата функция, например,
.
В .
В .
Начертаваме права линия на нивото през точките (0; 6) и (4; 0).
Тъй като целевата функция нараства с нарастване и, тогава начертаваме права линия, успоредна на линията на нивото и колкото е възможно по-далеч от нея в посока на нарастване и минаваща през поне една точка от триъгълника ABC. Такава права минава през точка С. От конструкцията определяме нейните координати.
.
Решението на задачата: ;
Отговор
Пример за липса на решение
Задачата
Решете графично задача за линейно програмиране. Намерете максималната и минималната стойност на целевата функция.
Решение
Решаваме проблема графично.
Начертаваме координатните оси и.
Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертайте права линия през точките (0; 8) и (2,667; 0).
Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертайте права линия през точките (0; 3) и (6; 0).
Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертайте права линия през точки (3; 0) и (6; 3).
Правите линии са координатните оси.
Площта на допустимите решения (ODS) е ограничена от построените прави линии и координатни оси. За да разберем от коя страна, забелязваме, че точката принадлежи на ODR, тъй като удовлетворява системата от неравенства:
Засенчваме областта, така че точката (3; 3) да попадне в засенчената част. Получаваме неограничена област, ограничена от полилинията ABCDE.
Ние изграждаме произволна линия на нивото на целевата функция, например,
(A3.1) .
В .
В .
Начертайте права линия през точки (0; 7) и (7; 0).
Тъй като коефициентите при и са положителни, той нараства с увеличаване на и.
За да намерите максимума, трябва да начертаете успоредна права линия, която е максимално отдалечена във възходяща посока и минаваща през поне една точка от областта ABCDE. Въпреки това, тъй като регионът е неограничен от страната на големи стойности на и, такава права линия не може да бъде начертана. Без значение каква права линия начертаем, винаги ще има точки от региона, които са по-отдалечени в посока на увеличаване и. Следователно няма максимум. може да се направи произволно голям.
Търсим минимум. Начертаваме права линия, успоредна на правата (A3.1) и най-отдалечената от нея в посока на намаляване и минаваща през поне една точка от областта ABCDE. Такава права минава през точка С. От конструкцията определяме нейните координати.
.
Минимална стойност на целевата функция:
Отговор
Няма максимална стойност.
Минимална стойност
.
