Най-често срещаните в модерен святметоди за изчисление - десетични и двоични. Те се използват в напълно различни области, но и двете са еднакво важни. Често преобразуване от двоичен към десетична системаили обратното. Имената идват от основите, които зависят от това колко знака се използват при писане на числата. В двоичната система е само 0 и 1, а в десетичната е от 0 до 9. В други системи освен цифри се използват букви, други икони и дори йероглифи, но почти всички от тях отдавна са остарели. Тъй като дори други видове числови системи са много по-рядко срещани, ще говорим предимно за двете вече споменати. Всъщност е удивително как всичко това е могло да бъде измислено. Нека поговорим за тази тема отделно.

История на произход

Дори сега, когато изглежда, че целият свят мисли същото, най-много различни системи. В най-затънтените ъгли глобуссе задоволяват само с понятията „едно“, „две“ и „много“ или нещо подобно. Какво можем да кажем за онези времена, когато беше много по-трудно хората да контактуват помежду си, така че огромен брой от най-много различни видовезаписи и методи за изчисление. Човечеството не дойде веднага съществуваща система, и това се отразява във факта, че часът е разделен на 60 минути, а не на 100 периода от време, което изглежда по-логично. И в същото време хората често броят с десетки, а не с дузини. Всичко това са ехо от времето, когато инструменти за количествено определянеСобствените им пръсти или например фалангите на някои от тях служеха за нещо. Така възникват десетичната и дванадесетичната система. Но как е възникнал двоичният файл? Много просто и логично. Факт е, че например диодите имат само две позиции: могат да бъдат включени или изключени. Следователно първото състояние може да бъде записано като 1, а второто като 0. Това обаче не означава това двоична системавъзникнали едновременно с електронни устройства. Използван е много по-рано, например Лайбниц го смята за изключително удобен, елегантен и прост. Дори е изненадващо, че тази бройна система в крайна сметка не се превърна в основна.

Области на приложение

За повечето хора двете основни бройни системи просто не се пресичат. Така че преобразуването от двоичен в десетичен не е осъществима задача за всеки. Факт е, че най-новата системаизползвани в ежедневието, комуникацията между хората, за прости изчисления и т.н. Но всички цифрови устройства, предимно компютри, говорят на двоичен език. Всяка информация, намираща се в паметта на всеки настолен компютър, таблет, телефон, лаптоп и много други устройства, е различни комбинациинули и единици.

Разлики и особености

Когато става въпрос за бройни системи, е наложително да ги разграничим по някакъв начин. В крайна сметка, за да се направи разлика между 11 и 100 различни методизаписването просто така е напълно невъзможно. Затова се използва показалецът под и вдясно от самото число. Така че, когато видите записа 11 2 или 100 10, можете да разберете за какво става дума ние говорим за. И двете системи са позиционни, т.е. стойността им зависи от местоположението на определена цифра. В училище говорят за цифрите на десетичната система: има единици, десетици, стотици, хиляди и т.н. В двоичната система всичко е същото. Но поради факта, че основата му - 2 - е по-малка от 10, той се нуждае от много повече цифри, тоест записът на числата се оказва много по-дълъг. Между другото, в двоичната система, както във всички други системи, с изключение на десетичната, която е най-често срещаната, четенето се извършва по специален начин. Ако основата 10 позволява четенето на 101 като "сто и едно", тогава за 2 ще бъде "едно нула едно".

Връщайки се към въпроса за заустванията, трябва да повторя, че поради много по-малката база са необходими повече зауствания. Така например 8 10 е 1000 2. Разликата е очевидна - един ранг и четири. Друг сериозна разлика- не съществува в двоична система отрицателни числа. Разбира се, можете да го запишете, но той все пак ще бъде съхранен и шифрован по различен начин. И така, как се прави преобразуването от двоичен в десетичен и обратно?

Алгоритъм

Доста рядко, но все пак понякога трябва да направите преход от една база към друга. С други думи, има нужда от преобразуване от двоичен в десетичен и обратно. Съвременни компютриправят го лесно и бързо, дори и записите да са много дълги и обемни. Хората също могат да направят това, макар и много по-бавно и по-малко ефективно. Извършването както на едната, така и на втората операция не е толкова трудно, но изисква знания как се прави, внимание и практика. За да преминете от база 2 към 10, трябва да направите следните стъпки:

2) последователно умножете стойността по 2, повишена до степен, равна на номера на позицията;

3) сумирайте резултатите.

Друг начин е да започнете да сумирате произведенията на цифрите последователно отдясно наляво. Това се нарича трансформация на Horner и много хора го намират за по-удобно от обичайния алгоритъм.

За да извършите обратната операция, тоест да преминете от десетичната система към двоичната система, трябва да направите следното:

1) разделете първоначалното число на 2 и запишете остатъка (1 или 0);

2) повторете стъпка 1 до момента, в който остане само 0 или 1;

3) запишете получените стойности по ред.

Има и други начини за преобразуване от двоична в десетична бройна система и обратно. Но те нямат предимство пред описания алгоритъм и не са по-ефективни. Но те изискват умения за извършване на аритметични операции в двоичната система, която е достъпна за много малко.

дроби

За щастие или за съжаление остава фактът, че двоичната система използва не само цели числа. Преобразуването на дроби не е много трудна, но често отнемаща време задача за хората. Ако оригиналното число е представено в десетичната система, тогава след преобразуването на цялото число всичко след десетичната запетая вече не трябва да се дели, а да се умножава по 2, като се записват целите части. Ако преобразувате от двоична към десетична система, тогава всичко е още по-просто. В този случай, когато започне преобразуването на десетичната част, степента, на която се повишава 2, последователно ще бъде -1, -2, -3 и т.н. Най-добре е да вземете предвид това на практика.

Пример

За да разберете как да приложите описаните алгоритми, трябва сами да извършите всички операции. Практиката винаги може да подсили теорията, така че би било най-добре да разгледате следните примери:

• преобразуване на 1000101 2 в десетичната система: 1x2 6 + 0x2 5 + 0x2 4 + 0x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 64+0+0+0+4+1 = 69 10 ;
• използвайки метода на Horner. 00110111010 2 = 0x2+0=0x2+0=0x2+1=1x2+1=3x2+0=6x2+1=13x2+1=27x2+1=55x2+0=110x2+1=221x2+0=442 10 ;
• 1110.01 2: 1x2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 + 0x2 -1 + 1x2 -2 = 8+4+2+0.25 = 14.25 10 ;
• от десетичната система: 15 10 = 15/2=7(1)/2=3(1)/2=1(1)/2=0(1)= 1111 2 ;

Как да не се объркате?

Дори ако използваме само двоичната и десетичната система като пример, става ясно, че ръчната промяна на основата е нетривиална задача. Но има и други: шестнадесетична, осмична, шестдесетична и т.н. При ръчно преобразуване от една бройна система в друга е изключително необходимо внимание. Наистина е трудно да не се объркате, особено ако публикацията е дълга. Освен това не трябва да забравяме, че цифрите се броят от 0, а не от 1, тоест броят на цифрите винаги ще бъде с една повече. Разбира се, трябва внимателно да преброите броя на цифрите и да не правите грешки в аритметичните операции и, разбира се, да не пропускате стъпки в алгоритъма. В крайна сметка има начини за преход между базите използване на софтуерни методи. Но тук е по-лесно да напишете скрипт сами, отколкото да го търсите в откритите пространства световна мрежа. Във всеки случай трябва да присъстват и умения за ръчен превод, както и теоретично разбиране как се прави това.

Инструкции

Видео по темата

В системата за броене, която използваме всеки ден, има десет цифри - от нула до девет. Ето защо се нарича десетичен. Въпреки това, в техническите изчисления, особено тези, свързани с компютри, др системи, по-специално двоичен и шестнадесетичен. Следователно трябва да можете да превеждате числаот един системиброене на друг.

Ще имаш нужда

• - лист хартия;
• - молив или химикал;
• - калкулатор.

Инструкции

Двоичната система е най-простата. Има само две цифри - нула и единица. Всяка двоична цифра числа, започвайки от края, съответства на степен две. Две в е равно на едно, в първото - две, във второто - четири, в третото - осем и т.н.

Да предположим, че ви е дадено двоично число 1010110. Единиците в него са на второ, трето, пето и седмо място от края. Следователно в десетичната система това число е 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Обратна задача - десетична числасистема. Да кажем, че имате числото 57. За да го получите, трябва последователно да разделите числото на 2 и да напишете остатъка. Двоичното число ще бъде построено от край до начало.
Първата стъпка ще ви даде последната цифра: 57/2 = 28 (остатък 1).
След това получавате второто от края: 28/2 = 14 (остатък 0).
Допълнителни стъпки: 14/2 = 7 (остатък 0);
7/2 = 3 (остатък 1);
3/2 = 1 (остатък 1);
1/2 = 0 (остатък 1).
Това последна стъпка, защото резултатът от делението е нула. В резултат на това получавате двоичното число 111001.
Проверете отговора си: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Вторият, използван в компютърните въпроси, е шестнадесетичен. Той няма десет, а шестнадесет цифри. За да не е нов символи, първите десет шестнадесетични цифри системисе обозначават с обикновени цифри, а останалите шест - с латински букви: A, B, C, D, E, F. Те съответстват на десетичния запис числа m от 10 до 15. За да избегнете объркване преди числото, изписано съгл шестнадесетична система, поставете знака # или символите 0x.

За да направите число от шестнадесетичен системи, трябва да умножите всяка от неговите цифри по съответната степен на шестнадесет и да добавите резултатите. Например числото #11A в десетична система е 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Обратно преобразуване от десетичен знак системикъм шестнадесетичен се извършва с помощта на същия метод на остатъците, както към двоичен. Например вземете числото 10000. Последователно разделяйки го на 16 и записвайки остатъците, получавате:
10000/16 = 625 (остатък 0).
625/16 = 39 (остатък 1).
39/16 = 2 (остатък 7).
2/16 = 0 (остатък 2).
Резултатът от изчисленията ще бъде шестнадесетично число #2710.
Проверете отговора си: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Трансфер числаот шестнадесетичен системиМного по-лесно е да конвертирате в двоичен код. Числото 16 е две: 16 = 2^4. Следователно всеки шестнадесетична цифраможе да се запише като четирицифрено двоично число. Ако имате по-малко от четири цифри в двоично число, добавете водещи нули.
Например #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Проверете отговора: и двете числав десетична система те са равни на 8062.

За да преведете, трябва да разделите двоичното число на групи от четири цифри, като започнете от края, и да замените всяка такава група с шестнадесетична цифра.
Например 11000110101001 става (0011)(0001)(1010)(1001), което в шестнадесетичен запис е равно на #31A9. Правилността на отговора се потвърждава чрез преобразуване в десетична система: и двете числаса равни на 12713.

Съвет 5: Как да конвертирате число в двоично

Поради ограниченото използване на символи, двоичната система е най-удобна за използване в компютри и други цифрови устройства. Има само два символа: 1 и 0, така че това системаизползвани при работата на регистрите.

Инструкции

Двоичното е позиционно, т.е. Позицията на всяка цифра в числото съответства на определена цифра, която е равна на две на подходяща степен. Степента започва от нула и се увеличава, докато се движите от дясно на ляво. Например, номер 101 е равно на 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Осмичната, шестнадесетичната и десетичната система също се използват широко сред позиционните системи. И ако за първите два вторият метод е по-приложим, то за превод от двата са приложими.

Нека помислим десетично числокъм двоичен системачрез последователно деление на 2. За преобразуване на десет номер 25 V

IN Ежедневиетосме свикнали да използваме десетична системаномер, познат ни от училище. Въпреки това, освен него, има много други системи. Как да напиша числата не в десетична, а например в ?

Как да конвертирате произволно число от десетичната система в двоична

Необходимостта от преобразуване на десетично число в двоично изглежда обезсърчително само на пръв поглед. Всъщност е доста просто - дори не е нужно да търсите онлайн услуги, за да завършите транзакцията.

• Например, нека вземем числото 156, записано в познатата ни десетична форма, и се опитаме да го преобразуваме в двоична форма.
• Алгоритъмът ще изглежда така - първоначалното число ще трябва да се раздели на две, след това отново на 2 и отново на 2, докато отговорът остане едно.
• При извършване на деление не целите числа са важни за преобразуването в двоична система, а остатъците. Ако при делене отговорът е четно число, тогава остатъкът се записва като числото 0; ако е нечетно, тогава като числото 1.
• На практика можете лесно да проверите, че първоначалната двоична поредица от остатъци за числото 156 ще изглежда така - 00111001. За да се превърне в пълноценен двоичен код, тази поредица ще трябва да бъде написана в обратен ред- тоест 10011100.

Двоичното число 10011100, получено в резултат на проста операция, ще бъде двоичният израз на числото 156.

Друг пример, но на снимката

Преобразуване на двоично число в десетична система

Обратното преобразуване - от двоична в десетична - може да изглежда малко по-сложно. Но ако използвате прост метод на удвояване, тогава можете да се справите с тази задача за няколко минути. Например, нека вземем същото число, 156, но в двоична форма - 10011100.

• Методът на удвояване се основава на факта, че на всяка стъпка от изчислението се взема така наречената предходна сума и към нея се добавя следващата цифра.
• Тъй като предишната сума все още не съществува в първата стъпка, тук винаги вземаме 0, удвояваме я и добавяме към нея първата цифра на израза. В нашия пример ще бъде 0 * 2 + 1 = 1.
• На втората стъпка вече имаме предишната сума - тя е равна на 1. Това число трябва да се удвои и след това към него да се добави следващото по ред, тоест - 1 * 2 + 0 = 2.
• В третата, четвъртата и следващите стъпки предишните суми все още се вземат и добавят към следващото число в израза.

Когато в двоичен записще остане само един последната цифра, и няма да има какво повече да се добави, операцията ще бъде завършена. С проста проверка можете да се уверите, че отговорът съдържа желаното десетично число 156.

За компютърните чипове е важно само едно нещо. Или има сигнал (1), или няма сигнал (0). Но пишете програми в двоичен код- това не е лесен въпрос. На хартия получавате много дълги комбинации от нули и единици. Тежко му е на човек.

Използването на познатата десетична система в компютърната документация и програмиране е много неудобно. Преобразуването от двоична към десетична система и обратно е много трудоемък процес.

Произходът на осмичната система, както и на десетичната система, се свързва с броенето на пръсти. Но трябва да се броят не пръстите, а пространствата между тях. Има само осем от тях.

Решението на проблема беше осмично. от понепризори компютърно оборудване. Когато капацитетът на процесора беше малък. Осмичната система улесни преобразуването на двоични числа в осмични и обратно.

Осмичната бройна система е бройна система с основа 8. Тя използва числата от 0 до 7 за представяне на числа.

Преобразуване

За да преобразувате число в двоично, трябва да замените всяка цифра осмично числоза три аут двоични цифри. Важно е само да запомните коя двоична комбинация съответства на цифрите на числото. Има много малко от тях. Само осем!

Във всички бройни системи, с изключение на десетичната, цифрите се четат една по една. Например в осмичната система числото 610 се произнася „шест, едно, нула“.

Видео по темата

За компоненти електронни машини, което включва компютрите, има само две различими състояния: има ток и няма ток. Те са обозначени съответно с "1" и "0". Тъй като има само две такива състояния, много процеси и операции в електрониката могат да бъдат описани с помощта на двоични числа.

Инструкции

Разделете десетичното число на две, докато получите остатък, неделим на две. На стъпката получаваме остатъка 1 (ако числото е нечетно) или 0 (ако дивидентът се дели на две без остатък). Всички тези баланси трябва да се вземат предвид. Последният коефициент, получен в резултат на такова поетапно деление, винаги ще бъде едно.
Записваме последната единица в най-значимата цифра на желаната двоична система и записваме получените в процеса остатъци след тази единица в обратен ред. Тук трябва да внимавате и да не пропускате нули.
Така числото 235 в двоичен код ще съответства на числото 11101011.

Сега нека преобразуваме дробната част на десетичното число в двоичната бройна система. За да направите това, ние последователно умножаваме дробната част на числото по 2 и фиксираме целите числа на получените числа. Добавяме тези цели части към полученото в предишна стъпкачисло след двоично число в пряк ред.
След това десетична дробно число 235.62 съответства на двоичната дроб 11101011.100111.

Видео по темата

Забележка

Двоичната дробна част на число ще бъде крайна само ако дробната част на оригиналното число е крайна и завършва с 5. Най-простият случай: 0,5 x 2 = 1, следователно 0,5 в десетична система е 0,1 в двоична система.

източници:

• Преобразуване на десетични числа в двоични през 2019 г

Съвет 4: Как да конвертирате двоични числа в десетични

За показване се използва двоичната или двоичната бройна система електронна информация. Всяко число може да бъде записано в двоична форма. Във всички се използва двоичната система компютри. Всеки запис в тях е кодиран според определени правила, като се използва набор от два знака: 0 и 1. Преобразувайте двоично число в неговото десетично представяне, повече удобен за потребителя, е възможно с помощта на разработения алгоритъм.

Инструкции

Представете си числото като степени на 2. За да направите това, всичките осем цифри се умножават последователно по числото 2, повдигнато до . Степента трябва да съответства на цифрената категория. Цифрата се брои от нула, като се започне от най-малко значимия, най-десния символ на двоичната система числа. Напишете всичките осем съставени произведения на .

Съвет 5: Как да напишем десетично число в двоичната бройна система

Десетична система мъртво разчитане– един от най-често срещаните в математическата теория. Въпреки това, с появата информационни технологии, двоичната система получи не по-малко от широко използване, тъй като това е основният начин за представяне на информация в компютърната памет.

Инструкции

Преобразуването от десетична в двоична система се прилага както за цели числа, така и за дроби. Преводът на цяло десетично число се извършва чрез последователното му разделяне на 2. В този случай броят на повторенията (действията) се увеличава, докато коефициентът стане нула, а крайният двоичен номерсе записва като получените остатъци отдясно наляво.

Например преобразуването на числото 19 изглежда така: 19/2 = 18/2 + 1 = 9, остатъкът е 1, пишем 1; 9/2 = 8/2 + 1 = 4, остатъкът е 1 , пишем 1;4/ 2 = 2, няма остатък, пишем 0;2/2 = 1, няма остатък, пишем 0;1/2 = 0 + 1, остатъкът е 1, пишем 1. И така, след метода на последователното деление на числото 19 получихме двоично число номер 10011.

Повечето хора на нашата планета използват десетичната бройна система при броене, но компютрите използват двоичната бройна система. Някои племена в зората на човешкото развитие са използвали дванадесетичен и шестдесетичен знак. Именно от тях ни остават 12 часа на циферблата и 60 минути в час.

Понякога е необходимо число да се конвертира от една система в друга. В тази статия ще разгледаме по-конкретно как да конвертирате в десетичната система от някои други популярни системи.

Принципът на конструиране на число от цифри

На първо място, трябва да разберете какво е числова система и нейната основа. Бройната система е начин за представяне на числата като комбинация от определени цифри. Основата на системата е броят на използваните в нея цифри. Например в десетичната система с основа 10 има само 10 цифри - от 0 до 9. В шестнадесетичната има съответно 16 цифри, които се означават с арабски цифри 0 - 9 и писма A - F вместо числа 10 - 15. Например 2F7BE 16 е шестнадесетично число. Когато е написан по този начин, индексът означава основата на бройната система. Ключова разликамежду системи с различни основи е „стойността“ на числото 10. В шестнадесетичната система 10 16 ще бъде равно на 16 10, а в двоичната система 10 2 ще бъде равно само на две. 100 16 ще се изчисли като

100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .

Също така е необходимо да се прави разлика между понятията „цифра“ и „число“. Едно число се обозначава с един символ, а едно число може да бъде представено с няколко. Например числото 9 10 в двоичната система ще изглежда като 1001 2, а числото 9 в двоичната система не съществува като такова.

Алгоритъм за превод

За да преобразувате число в десетичната система, трябва да научите как да използвате прост алгоритъм.

1. Определете основата на бройната система. Обозначава се с долен индекс след числото, например в числото 2F7BE 16 основата е 16.
2. Умножете всяка цифра на числото по основата до степен, равна на номера на цифрата отдясно наляво, започвайки от нула. В числото 2F7BE 16 E (равно на 14) се умножава по 16 на нулева степен, B (цифра 11) по 16 на първа степен и така нататък: 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11 *16 1 + 14*16 0 .
3. Съберете резултатите.

2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .

Нека да разгледаме примери как да конвертирате най-популярните шестнадесетични, осмични и двоични системи в десетични.

• 5736 8 = 5*8 3 + 7*8 2 + 3*8 1 + 6*8 0 = 3038 10
• 1001011 2 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 75 10
• 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10

Разбира се, ръчното броене всеки път е неудобно, нерационално и дори неохотно. Има много калкулатори, които могат да преобразуват числа от система в система. напр. стандартен калкулатор Windows в режим на програмист (клавиши Alt+3 или меню View) може да работи с системи radix 2, 8, 10 и 16.