Enkelt uttryckt är dessa grönsaker kokta i vatten enligt ett speciellt recept. Jag kommer att överväga två inledande komponenter (grönsakssallad och vatten) och det färdiga resultatet - borsjtj. Geometriskt kan detta representeras som en rektangel där ena sidan betecknar sallad, den andra sidan betecknar vatten. Summan av dessa två sidor kommer att beteckna borsjtj. Diagonalen och området för en sådan "borsjtj"-rektangel är rent matematiska begrepp och används aldrig i borsjtrecept.

Hur förvandlas sallad och vatten till borsjtj när det gäller matematik? Hur kan summan av två segment förvandlas till trigonometri? För att förstå detta behöver vi linjära vinkelfunktioner.

Du hittar inget om linjära vinkelfunktioner i matteläroböcker. Men utan dem kan det inte finnas någon matematik. Matematikens lagar, liksom naturlagarna, fungerar oavsett om vi vet att de finns eller inte.

Linjära vinkelfunktioner är additionens lagar. Se hur algebra förvandlas till geometri och geometri förvandlas till trigonometri.

Är det möjligt att klara sig utan linjära vinkelfunktioner? Det kan du, för matematiker klarar sig fortfarande utan dem. Knepet med matematiker ligger i det faktum att de alltid bara berättar om de problem som de själva kan lösa, och aldrig berättar om de problem som de inte kan lösa. Ser. Om vi ​​vet resultatet av additionen och en term använder vi subtraktion för att hitta den andra termen. Allt. Vi känner inte till andra problem och vi kan inte lösa dem. Vad ska vi göra om vi bara vet resultatet av tillägget och inte känner till båda termerna? I detta fall måste resultatet av addition delas upp i två termer med hjälp av linjära vinkelfunktioner. Vidare väljer vi själva vad en term kan vara, och de linjära vinkelfunktionerna visar vad den andra termen ska vara för att resultatet av additionen ska bli precis vad vi behöver. Det kan finnas ett oändligt antal sådana termpar. I vardagen klarar vi oss väldigt bra utan att bryta ner summan, subtraktion räcker för oss. Men i vetenskapliga studier av naturlagarna kan expansionen av summan i termer vara mycket användbar.

En annan tilläggslag som matematiker inte gillar att prata om (ett annat av deras knep) kräver att termerna har samma måttenhet. För sallad, vatten och borsjtj kan dessa vara vikt-, volym-, kostnads- eller måttenheter.

Figuren visar två skillnadsnivåer för matematik. Den första nivån är skillnaderna i fältet för siffror, som anges a, b, c. Detta är vad matematiker gör. Den andra nivån är skillnaderna i området för måttenheter, som visas inom hakparenteser och indikeras med bokstaven U. Detta är vad fysiker gör. Vi kan förstå den tredje nivån - skillnaderna i omfattningen av de beskrivna objekten. Olika objekt kan ha samma antal av samma måttenheter. Hur viktigt detta är kan vi se på exemplet med borsjtjtrigonometri. Om vi ​​lägger till subskript till samma notation för olika objekts måttenheter kan vi säga exakt vilken matematisk storhet som beskriver ett visst objekt och hur det förändras över tid eller i samband med våra handlingar. brev W Jag kommer att markera vattnet med bokstaven S Jag kommer att markera salladen med bokstaven B- Borsch. Så här skulle de linjära vinkelfunktionerna för borsjtj se ut.

Om vi ​​tar en del av vattnet och en del av salladen, blir de tillsammans till en portion borsjtj. Här föreslår jag att du tar en liten paus från borsjtj och minns din avlägsna barndom. Kommer du ihåg hur vi fick lära oss att sätta ihop kaniner och ankor? Det var nödvändigt att ta reda på hur många djur som skulle visa sig. Vad fick vi då lära oss att göra? Vi fick lära oss att skilja enheter från siffror och lägga till siffror. Ja, vilket nummer som helst kan läggas till vilket annat nummer som helst. Detta är en direkt väg till den moderna matematikens autism - vi förstår inte vad, det är inte klart varför, och vi förstår mycket dåligt hur detta relaterar till verkligheten, på grund av de tre skillnadsnivåerna opererar matematiker bara en. Det blir mer korrekt att lära sig hur man går från en måttenhet till en annan.

Och kaniner, och ankor och små djur kan räknas i bitar. En gemensam måttenhet för olika objekt gör att vi kan lägga ihop dem. Detta är en barnversion av problemet. Låt oss titta på ett liknande problem för vuxna. Vad får du när du lägger till kaniner och pengar? Det finns två möjliga lösningar här.

Första alternativet. Vi bestämmer marknadsvärdet på kaninerna och lägger till det till de tillgängliga kontanterna. Vi fick det totala värdet av vår förmögenhet i form av pengar.

Andra alternativet. Du kan lägga till antalet kaniner till antalet sedlar vi har. Vi kommer att få mängden lös egendom i bitar.

Som du kan se tillåter samma tilläggslag dig att få olika resultat. Allt beror på vad vi exakt vill veta.

Men tillbaka till vår borsjtj. Nu kan vi se vad som kommer att hända för olika värden på vinkeln för de linjära vinkelfunktionerna.

Vinkeln är noll. Vi har sallad men inget vatten. Vi kan inte laga borsjtj. Mängden borsjtj är också noll. Detta betyder inte alls att noll borsjtj är lika med noll vatten. Noll borsch kan också vara på noll sallad (rät vinkel).

För mig personligen är detta det huvudsakliga matematiska beviset på att . Noll ändrar inte numret när det läggs till. Detta beror på att addition i sig är omöjligt om det bara finns en term och den andra termen saknas. Du kan relatera till detta som du vill, men kom ihåg - alla matematiska operationer med noll uppfanns av matematikerna själva, så kasta bort din logik och dumt fylla på definitionerna som uppfunnits av matematiker: "division med noll är omöjlig", "vilket tal multiplicerat med noll". är lika med noll", "bakom nollpunkten" och annat nonsens. Det räcker att komma ihåg en gång att noll inte är ett tal, och du kommer aldrig att ha en fråga om noll är ett naturligt tal eller inte, eftersom en sådan fråga i allmänhet förlorar all betydelse: hur kan man betrakta ett tal som det som inte är ett tal . Det är som att fråga vilken färg man ska tillskriva en osynlig färg. Att lägga till noll till ett tal är som att måla med färg som inte finns. De viftade med en torr pensel och säger till alla att "vi har målat". Men jag avviker lite.

Vinkeln är större än noll men mindre än fyrtiofem grader. Vi har mycket sallad, men lite vatten. Som ett resultat får vi en tjock borsjtj.

Vinkeln är fyrtiofem grader. Vi har lika mycket vatten och sallad. Det här är den perfekta borsjten (må kockarna förlåta mig, det är bara matematik).

Vinkeln är större än fyrtiofem grader men mindre än nittio grader. Vi har mycket vatten och lite sallad. Få flytande borsjtj.

Rätt vinkel. Vi har vatten. Bara minnen finns kvar av salladen, då vi fortsätter att mäta vinkeln från linjen som en gång markerade salladen. Vi kan inte laga borsjtj. Mängden borsjtj är noll. I så fall, håll ut och drick vatten medan det finns)))

Här. Något som det här. Jag kan berätta andra historier här som kommer att vara mer än lämpliga här.

De två vännerna hade sina andelar i den gemensamma verksamheten. Efter mordet på en av dem gick allt till den andre.

Framväxten av matematik på vår planet.

Alla dessa berättelser berättas på matematikens språk med hjälp av linjära vinkelfunktioner. En annan gång kommer jag att visa dig den verkliga platsen för dessa funktioner i matematikens struktur. Under tiden, låt oss återgå till borsjtjs trigonometri och överväga projektioner.

Lördagen den 26 oktober 2019

Jag såg en intressant video om Grandis rad Ett minus ett plus ett minus ett - Numberphile. Matematiker ljuger. De gjorde inget jämställdhetstest i sina resonemang.

Detta resonerar med mitt resonemang om .

Låt oss ta en närmare titt på tecknen på att matematiker lurar oss. Allra i början av resonemanget säger matematiker att summan av sekvensen BERÖR på om antalet element i den är jämnt eller inte. Detta är ett objektivt ETABLERAT FAKTUM. Vad händer sen?

Därefter subtraherar matematiker sekvensen från enhet. Vad leder detta till? Detta leder till en förändring av antalet element i sekvensen - ett jämnt tal ändras till ett udda tal, ett udda tal ändras till ett jämnt tal. När allt kommer omkring har vi lagt till ett element lika med ett till sekvensen. Trots all yttre likhet är sekvensen före transformationen inte lika med sekvensen efter transformationen. Även om vi talar om en oändlig sekvens måste vi komma ihåg att en oändlig sekvens med ett udda antal element inte är lika med en oändlig sekvens med ett jämnt antal element.

Genom att sätta ett likhetstecken mellan två sekvenser olika i antalet element, hävdar matematiker att summan av sekvensen INTE BERÖR på antalet element i sekvensen, vilket motsäger ett objektivt ETABLISTERAT FAKTA. Ytterligare resonemang om summan av en oändlig sekvens är falsk, eftersom den bygger på en falsk likhet.

Om du ser att matematiker placerar parenteser under bevisförloppet, ordnar om elementen i ett matematiskt uttryck, lägger till eller tar bort något, var mycket försiktig, troligtvis försöker de lura dig. Liksom korttrollare avleder matematiker din uppmärksamhet med olika manipulationer av uttrycket för att så småningom ge dig ett falskt resultat. Om du inte kan upprepa korttricket utan att känna till hemligheten med fusk, är allt mycket enklare i matematik: du misstänker inte ens något om fusk, men genom att upprepa alla manipulationer med ett matematiskt uttryck kan du övertyga andra om korrektheten av resultatet, precis som när har övertygat dig.

Fråga från publiken: Och oändlighet (som antalet element i sekvensen S), är det jämnt eller udda? Hur kan du ändra pariteten för något som inte har någon paritet?

Infinity för matematiker är som Himmelriket för präster - ingen har någonsin varit där, men alla vet exakt hur allt fungerar där))) Jag håller med, efter döden kommer du att vara absolut likgiltig om du levt ett jämnt eller udda antal dagar , men ... Lägger du bara till en dag i början av ditt liv, kommer vi att få en helt annan person: hans efternamn, förnamn och patronym är exakt samma, bara födelsedatumet är helt annorlunda - han föddes en dagen före dig.

Och nu till saken))) Antag att en finit sekvens som har paritet förlorar denna paritet när den går till oändligheten. Då måste alla ändliga segment av en oändlig sekvens också förlora paritet. Vi observerar inte detta. Det faktum att vi inte kan säga säkert om antalet element i en oändlig sekvens är jämnt eller udda betyder inte alls att pariteten har försvunnit. Paritet, om den finns, kan inte försvinna i det oändliga utan ett spår, som i hylsan på ett kortare skarpare. Det finns en mycket bra analogi för detta fall.

Har du någonsin frågat göken som sitter i klockan i vilken riktning klockans visare roterar? För henne roterar pilen i motsatt riktning mot vad vi kallar "medurs". Det kan låta paradoxalt, men rotationsriktningen beror enbart på vilken sida vi observerar rotationen från. Och så har vi ett hjul som roterar. Vi kan inte säga i vilken riktning rotationen sker, eftersom vi kan observera den både från ena sidan av rotationsplanet och från den andra. Vi kan bara vittna om att det är rotation. Komplett analogi med pariteten för en oändlig sekvens S.

Låt oss nu lägga till ett andra roterande hjul, vars rotationsplan är parallellt med rotationsplanet för det första roterande hjulet. Vi kan fortfarande inte säga exakt vilken riktning dessa hjul snurrar, men vi kan säga med absolut säkerhet om båda hjulen snurrar i samma riktning eller i motsatta riktningar. Jämför två oändliga sekvenser S Och 1-S, Jag visade med hjälp av matematik att dessa sekvenser har olika paritet och att sätta ett likhetstecken mellan dem är ett misstag. Personligen tror jag på matematik, jag litar inte på matematiker))) Förresten, för att helt förstå geometrin för transformationer av oändliga sekvenser, är det nödvändigt att introducera konceptet "samtidighet". Detta kommer att behöva ritas.

Onsdagen den 7 augusti 2019

När vi avslutar samtalet om måste vi överväga en oändlig uppsättning. Gav in att begreppet "oändlighet" verkar på matematiker, som en boa constrictor på en kanin. Oändlighetens darrande fasa berövar matematiker sunt förnuft. Här är ett exempel:

Den ursprungliga källan finns. Alfa betecknar ett reellt tal. Likhetstecknet i uttrycken ovan indikerar att om du lägger till ett tal eller oändlighet till oändlighet kommer ingenting att förändras, resultatet blir samma oändlighet. Om vi ​​tar en oändlig uppsättning naturliga tal som exempel, kan de övervägda exemplen representeras enligt följande:

För att visuellt bevisa sin sak har matematiker kommit på många olika metoder. Personligen ser jag på alla dessa metoder som shamanernas danser med tamburiner. I grund och botten kommer de alla ner på att antingen är några av rummen inte upptagna och nya gäster bosatts i dem, eller att några av besökarna kastas ut i korridoren för att göra plats åt gästerna (mycket mänskligt). Jag presenterade min syn på sådana beslut i form av en fantastisk berättelse om blondinen. Vad bygger mitt resonemang på? Att flytta ett oändligt antal besökare tar oändligt lång tid. Efter att vi har lämnat det första gästrummet kommer en av besökarna alltid att gå längs korridoren från sitt rum till nästa fram till tidens slut. Naturligtvis kan tidsfaktorn dumt ignoreras, men detta kommer redan från kategorin "lagen är inte skriven för dårar." Allt beror på vad vi gör: att anpassa verkligheten till matematiska teorier eller vice versa.

Vad är ett "oändligt hotell"? En infinity inn är ett värdshus som alltid har hur många lediga platser som helst, oavsett hur många rum som är upptagna. Om alla rum i den ändlösa korridoren "för besökare" är upptagna, finns det ytterligare en oändlig hall med rum för "gäster". Det kommer att finnas ett oändligt antal sådana korridorer. Samtidigt har det "oändliga hotellet" ett oändligt antal våningar i ett oändligt antal byggnader på ett oändligt antal planeter i ett oändligt antal universum skapade av ett oändligt antal gudar. Matematiker, å andra sidan, klarar inte av att gå ifrån banala vardagsproblem: Gud-Allah-Buddha är alltid bara en, hotellet är ett, korridoren är bara en. Så matematiker försöker jonglera med serienumren på hotellrum, och övertygar oss om att det är möjligt att "skjuta de opåverkade".

Jag kommer att visa logiken i mitt resonemang för dig med exemplet med en oändlig uppsättning naturliga tal. Först måste du svara på en mycket enkel fråga: hur många uppsättningar naturliga tal finns - en eller många? Det finns inget korrekt svar på denna fråga, eftersom vi själva uppfann siffror, finns det inga siffror i naturen. Ja, naturen vet hur man räknar perfekt, men för detta använder hon andra matematiska verktyg som inte är bekanta för oss. Som naturen tänker ska jag berätta en annan gång. Sedan vi uppfann talen kommer vi själva att bestämma hur många uppsättningar av naturliga tal som finns. Överväg båda alternativen, som det anstår en riktig vetenskapsman.

Alternativ ett. "Låt oss ges" en enda uppsättning naturliga tal, som ligger lugnt på en hylla. Vi tar detta set från hyllan. Det är det, det finns inga andra naturliga siffror kvar på hyllan och det finns ingenstans att ta dem. Vi kan inte lägga till en till denna uppsättning, eftersom vi redan har den. Tänk om du verkligen vill? Inga problem. Vi kan ta en enhet från den uppsättning vi redan har tagit och lämna tillbaka den till hyllan. Efter det kan vi ta en enhet från hyllan och lägga till det vi har kvar. Som ett resultat får vi återigen en oändlig uppsättning naturliga tal. Du kan skriva alla våra manipulationer så här:

Jag har skrivit operationerna i algebraisk notation och mängdteorinotation, och listar elementen i mängden i detalj. Underskriften indikerar att vi har en och enda uppsättning naturliga tal. Det visar sig att mängden naturliga tal kommer att förbli oförändrad endast om ett subtraheras från det och samma enhet läggs till.

Alternativ två. Vi har många olika oändliga uppsättningar av naturliga tal på hyllan. Jag betonar - OLIKA, trots att de är praktiskt taget omöjliga att särskilja. Vi tar ett av dessa set. Sedan tar vi ett från en annan uppsättning naturliga tal och lägger till den till den uppsättning vi redan har tagit. Vi kan till och med lägga till två uppsättningar naturliga tal. Här är vad vi får:

Undertexterna "ett" och "två" indikerar att dessa element tillhörde olika uppsättningar. Ja, om du lägger till en till en oändlig uppsättning blir resultatet också en oändlig uppsättning, men det blir inte samma sak som originaluppsättningen. Om en oändlig mängd läggs till en annan oändlig mängd, blir resultatet en ny oändlig mängd som består av elementen i de två första mängderna.

Mängden naturliga tal används för att räkna på samma sätt som en linjal för mätningar. Föreställ dig nu att du har lagt till en centimeter till linjalen. Detta kommer redan att vara en annan rad, inte lika med originalet.

Du kan acceptera eller inte acceptera mitt resonemang - det här är din egen sak. Men om du någonsin stöter på matematiska problem, fundera på om du är på väg mot falska resonemang, upptrampade av generationer av matematiker. När allt kommer omkring bildar matematikklasser först och främst en stabil stereotyp av tänkande i oss, och först då lägger de till mentala förmågor till oss (eller vice versa, de berövar oss fritt tänkande).

pozg.ru

Söndagen den 4 augusti 2019

Jag skrev ett efterskrift till en artikel om och såg denna underbara text på Wikipedia:

Vi läser: "... den rika teoretiska grunden för matematiken i Babylon hade inte en holistisk karaktär och reducerades till en uppsättning olika tekniker, utan ett gemensamt system och bevisbas."

Wow! Hur smarta vi är och hur väl vi kan se andras brister. Är det svagt för oss att se på modern matematik i samma sammanhang? Lite omskrivning av texten ovan fick jag personligen följande:

Den rika teoretiska grunden för modern matematik har inte en holistisk karaktär och reduceras till en uppsättning disparata avsnitt, utan ett gemensamt system och bevisbas.

Jag ska inte gå långt för att bekräfta mina ord - den har ett språk och konventioner som skiljer sig från språket och konventionerna i många andra grenar av matematiken. Samma namn inom olika grenar av matematiken kan ha olika betydelser. Jag vill ägna en hel cykel av publikationer åt den moderna matematikens mest uppenbara misstag. Ses snart.

Lördagen den 3 augusti 2019

Hur delar man upp en uppsättning i delmängder? För att göra detta måste du ange en ny måttenhet, som finns i några av elementen i den valda uppsättningen. Tänk på ett exempel.

Må vi ha många MEN bestående av fyra personer. Denna uppsättning är bildad på basis av "människor" Låt oss beteckna elementen i denna uppsättning genom bokstaven men, kommer prenumerationen med ett nummer att indikera ordningsnumret för varje person i denna uppsättning. Låt oss introducera en ny måttenhet "sexuell egenskap" och beteckna den med bokstaven b. Eftersom sexuella egenskaper är inneboende hos alla människor, multiplicerar vi varje element i uppsättningen MEN på kön b. Lägg märke till att vår uppsättning "människor" nu har blivit uppsättningen "människor med kön". Efter det kan vi dela upp de sexuella egenskaperna i manliga bm och kvinnors bw könsegenskaper. Nu kan vi tillämpa ett matematiskt filter: vi väljer en av dessa sexuella egenskaper, det spelar ingen roll vilken som är man eller kvinna. Om det finns i en person multiplicerar vi det med ett, om det inte finns något sådant tecken multiplicerar vi det med noll. Och så tillämpar vi den vanliga skolmatematiken. Se vad som hände.

Efter multiplikation, reduktioner och omarrangemang fick vi två delmängder: den manliga delmängden bm och en undergrupp av kvinnor bw. Ungefär på samma sätt som matematiker resonerar när de tillämpar mängdlära i praktiken. Men de släpper inte in oss på detaljerna, utan ger oss det färdiga resultatet – "mycket människor består av en delmängd av män och en delmängd av kvinnor." Naturligtvis kan du ha en fråga, hur korrekt tillämpad matematik i ovanstående transformationer? Jag vågar försäkra dig om att omvandlingarna faktiskt görs korrekt, det räcker med att känna till den matematiska motiveringen av aritmetik, boolesk algebra och andra delar av matematiken. Vad det är? Någon annan gång ska jag berätta om det.

När det gäller superset är det möjligt att kombinera två uppsättningar till en superset genom att välja en måttenhet som finns i elementen i dessa två uppsättningar.

Som du kan se gör måttenheter och vanlig matematik mängdlära till ett minne blott. Ett tecken på att allt inte står rätt till med mängdlära är att matematiker har kommit på ett eget språk och notation för mängdlära. Matematikerna gjorde vad shamanerna en gång gjorde. Endast shamaner vet hur man "korrekt" tillämpar sin "kunskap". Denna "kunskap" lär de oss.

Avslutningsvis vill jag visa dig hur matematiker manipulerar
Låt oss säga att Akilles springer tio gånger snabbare än sköldpaddan och är tusen steg bakom den. Under tiden som Akilles springer denna sträcka, kryper sköldpaddan hundra steg åt samma håll. När Akilles har sprungit hundra steg kommer sköldpaddan att krypa ytterligare tio steg, och så vidare. Processen kommer att fortsätta på obestämd tid, Achilles kommer aldrig ikapp sköldpaddan.

Detta resonemang blev en logisk chock för alla efterföljande generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alla ansåg de, på ett eller annat sätt, Zenons aporier. Chocken var så stark att " ... diskussionerna fortsätter för närvarande, det vetenskapliga samfundet har ännu inte lyckats komma till en gemensam åsikt om essensen av paradoxer ... matematisk analys, mängdteori, nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt var involverade i studien av frågan ; ingen av dem blev en universellt accepterad lösning på problemet ..."[Wikipedia," Zenos Aporias "]. Alla förstår att de blir lurade, men ingen förstår vad bedrägeriet är.

Ur matematikens synvinkel visade Zeno i sin aporia tydligt övergången från värdet till. Denna övergång innebär att tillämpa istället för konstanter. Såvitt jag förstår har den matematiska apparaten för att tillämpa variabla måttenheter antingen inte utvecklats ännu, eller så har den inte tillämpats på Zenos aporia. Tillämpningen av vår vanliga logik leder oss in i en fälla. Vi, genom tänkandets tröghet, tillämpar konstanta tidsenheter på det ömsesidiga. Ur fysisk synvinkel ser detta ut som en avmattning i tiden tills det stannar helt i det ögonblick då Akilles kommer ikapp sköldpaddan. Om tiden stannar kan Akilles inte längre köra om sköldpaddan.

Vänder vi på logiken vi är vana vid faller allt på plats. Akilles springer i konstant hastighet. Varje efterföljande segment av dess väg är tio gånger kortare än den föregående. Följaktligen är tiden för att övervinna det tio gånger mindre än den föregående. Om vi ​​tillämpar begreppet "oändlighet" i den här situationen, så skulle det vara korrekt att säga "Akilles kommer oändligt snabbt att gå om sköldpaddan."

Hur undviker man denna logiska fälla? Förbli i konstanta tidsenheter och byt inte till ömsesidiga värden. På Zenos språk ser det ut så här:

På den tid det tar Akilles att springa tusen steg, kryper sköldpaddan hundra steg åt samma håll. Under nästa tidsintervall, lika med det första, kommer Akilles att springa ytterligare tusen steg, och sköldpaddan kommer att krypa hundra steg. Nu är Akilles åttahundra steg före sköldpaddan.

Detta tillvägagångssätt beskriver på ett adekvat sätt verkligheten utan några logiska paradoxer. Men detta är inte en fullständig lösning på problemet. Einsteins uttalande om ljusets hastighets oöverstiglighet är mycket lik Zenons aporia "Akilles och sköldpaddan". Vi har ännu inte studerat, omprövat och löst detta problem. Och lösningen måste sökas inte i oändligt stora antal, utan i måttenheter.

En annan intressant aporia av Zeno berättar om en flygande pil:

En flygande pil är orörlig, eftersom den vid varje tidpunkt är i vila, och eftersom den är i vila vid varje ögonblick av tid, är den alltid i vila.

I denna aporia övervinns den logiska paradoxen väldigt enkelt - det räcker för att klargöra att den flygande pilen vid varje ögonblick vilar på olika punkter i rymden, vilket i själva verket är rörelse. Det finns en annan punkt att notera här. Från ett fotografi av en bil på vägen är det omöjligt att avgöra vare sig rörelsen eller avståndet till den. För att fastställa faktumet av bilens rörelse behövs två fotografier tagna från samma punkt vid olika tidpunkter, men de kan inte användas för att bestämma avståndet. För att bestämma avståndet till bilen behöver du två fotografier tagna från olika punkter i rymden samtidigt, men du kan inte bestämma rörelsefaktumet från dem (naturligtvis behöver du fortfarande ytterligare data för beräkningar, trigonometri hjälper dig) . Det jag särskilt vill poängtera är att två punkter i tid och två punkter i rummet är två olika saker som inte ska blandas ihop då de ger olika möjligheter till utforskande.
Jag kommer att visa processen med ett exempel. Vi väljer "röd fast i en finne" - det här är vår "helhet". Samtidigt ser vi att dessa saker är med båge, och det finns utan båge. Efter det väljer vi en del av "helheten" och bildar en uppsättning "med en båge". Detta är hur shamaner livnär sig genom att binda sin uppsättningsteori till verkligheten.

Låt oss nu göra ett litet trick. Låt oss ta "fast i en finne med en rosett" och förena dessa "hela" efter färg, välj röda element. Vi fick mycket "rött". Nu en knepig fråga: är de mottagna seten "med båge" och "röda" samma set eller två olika set? Bara shamaner vet svaret. Mer exakt, de själva vet ingenting, men som de säger, så är det.

Detta enkla exempel visar att mängdlära är helt värdelös när det kommer till verkligheten. Vad är hemligheten? Vi bildade en uppsättning av "röd solid pimply med en rosett". Formningen skedde enligt fyra olika måttenheter: färg (röd), styrka (fast), grovhet (i en bula), dekorationer (med rosett). Endast en uppsättning måttenheter gör det möjligt att adekvat beskriva verkliga objekt på matematikens språk. Så här ser det ut.

Bokstaven "a" med olika index betecknar olika måttenheter. Inom parentes är måttenheter markerade, enligt vilka "hela" tilldelas i det preliminära skedet. Måttenheten, enligt vilken uppsättningen bildas, tas ur parentes. Den sista raden visar det slutliga resultatet - en del av uppsättningen. Som du kan se, om vi använder enheter för att bilda en uppsättning, beror resultatet inte på ordningen på våra handlingar. Och det här är matematik, och inte shamanernas danser med tamburiner. Shamaner kan "intuitivt" komma till samma resultat och argumentera för det med "självklarhet", eftersom måttenheter inte ingår i deras "vetenskapliga" arsenal.

Med hjälp av måttenheter är det mycket enkelt att bryta en eller kombinera flera set till en superset. Låt oss ta en närmare titt på algebra för denna process.

Tabell över värden för trigonometriska funktioner

Notera. Den här värdetabellen för trigonometriska funktioner använder tecknet √ för att beteckna kvadratroten. För att beteckna ett bråk - symbolen "/".

se även användbara material:

För bestämma värdet av en trigonometrisk funktion, hitta den i skärningspunkten av linjen som anger den trigonometriska funktionen. Till exempel, en sinus på 30 grader - vi letar efter en kolumn med rubriken sin (sinus) och vi hittar skärningen av denna kolumn i tabellen med raden "30 grader", vid deras skärningspunkt läser vi resultatet - en andra. På samma sätt finner vi kosinus 60 grader, sinus 60 grader (återigen, vid skärningspunkten mellan sin (sinus) kolumnen och 60 graders raden, hittar vi värdet sin 60 = √3/2), etc. På samma sätt hittas värdena för sinus, cosinus och tangenter för andra "populära" vinklar.

Sinus för pi, cosinus för pi, tangent för pi och andra vinklar i radianer

Tabellen med cosinus, sinus och tangenter nedan är också lämplig för att hitta värdet av trigonometriska funktioner vars argument är ges i radianer. För att göra detta, använd den andra kolumnen med vinkelvärden. Tack vare detta kan du konvertera värdet på populära vinklar från grader till radianer. Låt oss till exempel hitta 60 graders vinkeln på den första raden och läsa dess värde i radianer under den. 60 grader är lika med π/3 radianer.

Siffran pi uttrycker unikt beroendet av en cirkels omkrets av vinkelns gradmått. Så pi radianer är lika med 180 grader.

Alla tal uttryckta i termer av pi (radianer) kan enkelt omvandlas till grader genom att ersätta talet pi (π) med 180.

Exempel:
1. sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
alltså är sinus för pi samma som sinus för 180 grader och är lika med noll.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
alltså, cosinus för pi är samma som cosinus för 180 grader och är lika med minus ett.

3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
alltså, tangenten för pi är densamma som tangenten på 180 grader och är lika med noll.

Tabell över sinus, cosinus, tangentvärden för vinklar 0 - 360 grader (frekventa värden)

vinkel α (grader)	vinkel α i radianer (via pi)	synd (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangent)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	orsak (cosecant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Om i tabellen över värden för trigonometriska funktioner, istället för funktionens värde, ett streck anges (tangens (tg) 90 grader, cotangens (ctg) 180 grader), då för ett givet värde på gradmåttet vinkeln, funktionen har inget bestämt värde. Om det inte finns något bindestreck är cellen tom, så vi har ännu inte angett önskat värde. Vi är intresserade av vilka förfrågningar användare kommer till oss för och kompletterar tabellen med nya värden, trots att nuvarande data om värdena för cosinus, sinus och tangenter för de vanligaste vinkelvärdena räcker för att lösa de flesta problem.

Tabell över värden för trigonometriska funktioner sin, cos, tg för de mest populära vinklarna
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grader
(numeriska värden "enligt Bradis tabeller")

vinkelvärde α (grader)	värdet på vinkeln α i radianer	synd (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Varje trigonometrisk funktion för en given vinkel (eller tal) α motsvarar en viss menande denna funktion. Från definitioner av sinus, cosinus, tangent och cotangens det är tydligt att värdet på sinus för vinkeln α är ordinatan för den punkt in i vilken enhetscirkelns initiala punkt passerar efter att den roterat genom vinkeln α, värdet på cosinus är abskissan för denna punkt, tangentens värde är förhållandet mellan ordinatan och abskissan, och värdet på cotangensen är förhållandet mellan abskissan och ordinatan.

Ganska ofta, när man löser problem, blir det nödvändigt att hitta värdena för sinus, cosinus, tangenter och cotangenter för de angivna vinklarna. För vissa vinklar, till exempel vid 0, 30, 45, 60, 90, ... grader, är det möjligt att hitta de exakta värdena för trigonometriska funktioner, för andra vinklar är det problematiskt att hitta de exakta värdena och man får nöja sig med ungefärliga värden.

I den här artikeln kommer vi att ta reda på vilka principer som bör följas vid beräkning av värdet på sinus, cosinus, tangent eller cotangens. Låt oss lista dem i ordning.

• Det ungefärliga värdet för den angivna trigonometriska funktionen kan hittas per definition. Och för vinklar 0, ±90, ±180, etc. graders definition av trigonometriska funktioner låter dig specificera de exakta värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens.
• Förhållandena mellan sidorna och vinklarna i en rätvinklig triangel låter dig hitta värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för de "grundläggande" vinklarna 30, 45, 60 grader.
• Om vinkeln är utanför intervallet 0 till 90 grader, bör du först använda reduktionsformler, vilket gör att du kan gå vidare till beräkningen av värdet av trigonometriska funktioner med ett argument från 0 till 90 grader.
• Om värdet av en av de trigonometriska funktionerna för en given vinkel α är känt, så kan vi alltid beräkna värdet av någon annan trigonometrisk funktion med samma vinkel. Detta är vad vi får göra grundläggande trigonometriska identiteter.
• Det är ibland möjligt att beräkna värdet av en given trigonometrisk funktion för en given vinkel, utgående från värdena för funktionerna för de grundläggande vinklarna och med hjälp av lämpliga trigonometriformler. Till exempel, givet det kända värdet på sinus på 30 grader och halvvinkelformeln för sinus, kan du hitta värdet på sinus på 15 grader.
• Slutligen kan du alltid hitta det ungefärliga värdet för en given trigonometrisk funktion för en given vinkel genom att referera till den önskade från tabeller över sinus, cosinus, tangenter och cotangenter.

Låt oss nu överväga var och en av de listade principerna för att beräkna värdena för sinus, cosinus, tangenter och cotangenter i detalj.

Sidnavigering.

Att hitta värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens per definition

Baserat på definitionen av sinus och cosinus kan du hitta värdena för sinus och cosinus för en given vinkel α. För att göra detta måste du ta en enhetscirkel, rotera startpunkten A (1, 0) med en vinkel α, varefter den går till punkt A 1. Då kommer koordinaterna för punkten A 1 att ge respektive cosinus och sinus för den givna vinkeln α. Därefter kan man beräkna tangenten och cotangensen för vinkeln α genom att beräkna förhållandena mellan ordinatan och abskissan respektive abskissan till ordinatan.

Per definition kan vi beräkna de exakta värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för vinklar 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grader ( 0, ±π/2, ±π, ±3π/2, ±2π, … radianer). Låt oss dela upp dessa vinklar i fyra grupper: 360 z grader (2π z rad), 90+360 z grader (π/2+2π z rad), 180+360 z grader (π+2π z rad) och 270+360 z grader (3π/2+2π z rad), där z är vilken som helst . Låt oss avbilda i figurerna var punkten A 1 kommer att vara belägen, som ett resultat av rotationen av startpunkten A med dessa vinklar (studera om nödvändigt artikelns material rotationsvinkel).

För var och en av dessa grupper av vinklar hittar vi värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens med hjälp av definitionerna.

När det gäller de andra vinklarna än 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grader, då kan vi per definition bara hitta ungefärliga värden för sinus, cosinus, tangent och cotangens. Låt oss till exempel hitta sinus, cosinus, tangent och cotangens för vinkeln −52 grader.

Låt oss bygga.

Enligt ritningen finner vi att abskissan för punkt A 1 är ungefär 0,62 och ordinatan ungefär −0,78. På det här sättet, Och . Det återstår att beräkna värdena på tangenten och cotangensen, vi har Och .

Det är tydligt att ju mer exakt konstruktionerna utförs, desto mer exakt kommer de ungefärliga värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för en given vinkel att hittas. Det är också tydligt att det i praktiken inte är praktiskt att hitta värdena för trigonometriska funktioner, eftersom det är obekvämt att utföra de beskrivna konstruktionerna.

Linjer av sinus, cosinus, tangenter och cotangenter

Kortfattat är det värt att uppehålla sig vid den så kallade linjer av sinus, cosinus, tangenter och cotangenter. Linjer av sinus, cosinus, tangenter och cotangens kallas linjer avbildade tillsammans med en enhetscirkel, med en referenspunkt och en måttenhet lika med en i det införda rektangulära koordinatsystemet, de representerar tydligt alla möjliga värden av sinus , cosinus, tangenter och cotangenter. Vi avbildar dem på ritningen nedan.

Värden på sinus, cosinus, tangenter och cotangenter för vinklar på 30, 45 och 60 grader

För vinklar på 30, 45 och 60 grader är de exakta värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens kända. De kan erhållas från definitionerna av sinus, cosinus, tangent och cotangens för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel med hjälp av pythagoras satser.

För att erhålla värdena för trigonometriska funktioner för vinklar på 30 och 60 grader, överväg en rätvinklig triangel med dessa vinklar och ta det så att längden på hypotenusan är lika med en. Det är känt att benet mitt emot vinkeln på 30 grader är halva hypotenusan, därför är dess längd 1/2. Vi hittar längden på det andra benet med hjälp av Pythagoras sats: .

Eftersom sinus för en vinkel är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan, alltså Och . I sin tur är cosinus förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan Och . Tangenten är förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande benet, och cotangensen är förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta benet, därför Och , såväl som Och .

Det återstår att få värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel på 45 grader. Låt oss vända oss till en rätvinklig triangel med vinklar på 45 grader (det kommer att vara likbent) och en hypotenusa lika med en. Sedan är det med Pythagoras sats lätt att kontrollera att benens längder är lika. Nu kan vi beräkna värdena för sinus, cosinus, tangens och cotangens som förhållandet mellan längderna på motsvarande sidor i den betraktade räta triangeln. Vi har och .

De erhållna värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för vinklarna 30, 45 och 60 grader kommer mycket ofta att användas för att lösa olika geometriska och trigonometriska problem, så vi rekommenderar att du kommer ihåg dem. För enkelhetens skull lägger vi in ​​dem Tabell med grundläggande värden för sinus, cosinus, tangent och cotangens.

För att avsluta detta stycke kommer vi att illustrera värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för vinklarna 30, 45 och 60 med hjälp av enhetscirkeln och linjerna för sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Plattning till en vinkel från 0 till 90 grader

Vi noterar direkt att det är bekvämt att hitta värdena för trigonometriska funktioner när vinkeln är i intervallet från 0 till 90 grader (från noll till pi i halv rad). Om argumentet för den trigonometriska funktionen, vars värde vi behöver hitta, går över gränserna från 0 till 9 0 grader, använder vi alltid reduktionsformler vi kan fortsätta med att hitta värdet på den trigonometriska funktionen, vars argument kommer att ligga inom de angivna gränserna.

Låt oss till exempel hitta värdet på sinus på 210 grader. Genom att representera 210 som 180+30 eller som 270−60, reducerar motsvarande reduktionsformler vårt problem från att hitta sinusen på 210 grader till att hitta värdet på sinusen på 30 grader, eller cosinus på 60 grader.

Låt oss komma överens för framtiden när vi ska hitta värdena för trigonometriska funktioner, alltid med hjälp av reduktionsformlerna, gå till vinklar från intervallet från 0 till 90 grader, såvida inte vinkeln naturligtvis redan är inom dessa gränser.

Det räcker att veta värdet av en av de trigonometriska funktionerna

Grundläggande trigonometriska identiteter upprätta samband mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för samma vinkel. Så, med deras hjälp, kan vi använda det kända värdet för en av de trigonometriska funktionerna för att hitta värdet av någon annan funktion i samma vinkel.

Låt oss överväga ett exempel på en lösning.

Exempel.

Bestäm vad som är sinus för vinkeln pi med åtta, om .

Lösning.

Ta först reda på vad cotangensen för denna vinkel är:

Använder nu formeln , kan vi beräkna vad kvadraten på sinus för vinkeln pi med åtta är lika med, och därför det önskade värdet på sinus. Vi har

Det återstår bara att hitta värdet på sinus. Eftersom vinkeln pi gånger åtta är vinkeln för den första koordinatkvarten, så är sinus för denna vinkel positiv (om nödvändigt, se teoriavsnittet tecken på sinus, cosinus, tangent och cotangens i fjärdedelar). På det här sättet, .

Svar:

.

Hitta värden med trigonometriska formler

I de två föregående styckena har vi redan börjat täcka frågan om att hitta värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens med hjälp av trigonometriformler. Här vill vi bara säga att det ibland är möjligt att beräkna det erforderliga värdet för en trigonometrisk funktion med hjälp av trigonometriska formler och kända värden för sinus, cosinus, tangent och cotangens (till exempel för vinklar på 30, 45 och 60 grader).

Till exempel, med hjälp av trigonometriska formler, beräknar vi värdet på tangenten för vinkeln pi med åtta, som vi använde i föregående stycke för att hitta värdet på sinus.

11 grader? Frågan är väldigt svår.

Men de exakta värdena för trigonometriska funktioner i praktiken är ofta inte så nödvändiga. Ungefärliga värden med en viss grad av noggrannhet är vanligtvis tillräckliga. Det finns värdetabeller för trigonometriska funktioner, varifrån vi alltid kan hitta det ungefärliga värdet av sinus, cosinus, tangent eller cotangens för en given vinkel som vi behöver. Exempel på sådana tabeller är tabeller över sinus, cosinus, tangenter och cotangenter för V. M. Bradis. Dessa tabeller innehåller värdena för trigonometriska funktioner med en noggrannhet på fyra decimaler.

Bibliografi.

• Algebra: Proc. för 9 celler. snitt skola / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Upplysning, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra och början av analysen: Proc. för 10-11 celler. Allmän utbildning institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn och andra; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14:e uppl.- M.: Upplysning, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M.I. Algebra och början av analys: Proc. för 10-11 celler. snitt skola - 3:e uppl. - M.: Upplysningen, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.