Betingelser for eksistensen av to matriser. Invers matrise og matriserangering. AX = B, hvor matrise A er inverterbar

Ikke-singular matrise er en kvadratisk matrise av n-te orden hvis determinant ikke er null. Ellers kalles matrisen degenerert.

Teorem ( unikhet ved eksistensen av en invers matrise): Hvis en matrise har en invers matrise, er den unik.

Bevis.

La det være en matrise for hvilken og en matrise for hvilken .

Da, altså. La oss multiplisere begge sider av likheten med matrisen, vi får , hvor og .

Dette betyr at det er dette som måtte bevises.

12. Matriseligninger, deres løsning ved å bruke den inverse matrisen.

Matriseligninger kan se slik ut:

AX = B, HA = B, AXB = C,

hvor A, B, C er de spesifiserte matrisene, X er den ønskede matrisen.

Matriseligninger løses ved å multiplisere ligningen med inverse matriser.

For å finne matrisen fra ligningen, må du for eksempel gange denne ligningen med til venstre.

Derfor, for å finne en løsning på ligningen, må du finne den inverse matrisen og multiplisere den med matrisen på høyre side av ligningen.

13. Kvadratiske systemer av lineære ligninger. Cramers regel.

Et system av m lineære ligninger med n ukjente (eller, lineært system) i lineær algebra er et system av ligninger av formen

Cramers metode (Cramers regel) er en metode for å løse kvadratiske systemer av lineære algebraiske ligninger med en ikke-null determinant av hovedmatrisen (og for slike ligninger er det en unik løsning). Oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som oppfant metoden.

For et system med n lineære ligninger med n ukjente (over et vilkårlig felt)

med determinanten til systemmatrisen Δ forskjellig fra null, skrives løsningen på formen

(den i-te kolonnen i systemmatrisen er erstattet av en kolonne med frie termer).

I en annen form er Cramers regel formulert som følger: for alle koeffisienter c 1, c 2, ..., c n gjelder følgende likhet:

System av lineære ligninger:

Matrisetillegg.

Tilleggsegenskaper:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

Multiplisere en matrise med et tall.

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Matrisemultiplikasjon.

Invers matrise.

Egenskaper til determinanter

4. Substitusjonsteorem.

5. Kanselleringsteorem.

tillegg til disse elementene

hvor jeg = ,

Transponering av matriser.

Transponert matrise
EN T [ Jeg, j] = EN[j, Jeg].
For eksempel,

Og

Sylindriske overflater.

En overflate dannet av bevegelsen av en rett linje L, som beveger seg i rommet, opprettholder en konstant retning og krysser hver gang en viss kurve K, kalles en sylindrisk overflate eller sylinder; kurve K er sylinderens føring, og L er sin generator.

Elliptisk sylinder

Elliptisk ligning:

Et spesielt tilfelle elliptisk sylinder er sirkulær sylinder, dens ligning er x 2 + y 2 = R 2 . Ligningen x 2 =2pz definerer i rommet parabolsylinder.

Ligningen: definerer i rommet hyperbolsk sylinder.

Alle disse overflatene kalles andre ordens sylindere, siden deres likninger er likninger av andre grad med hensyn til gjeldende koordinater x, y, z.

62. Ellipsoider.

La oss undersøke overflaten definert av ligningen:

La oss vurdere deler av en overflate med plan parallelle med xOy-planet. Ligninger av slike plan: z=h, hvor h er et hvilket som helst tall. Linjen oppnådd i seksjonen bestemmes av to ligninger:

La oss undersøke overflaten:

Og hvis At Skjæringslinjen for overflaten med z=h-planene eksisterer ikke.

B) hvis , skjæringslinjen degenererer til to punkter (0,0,c) og (0,0,-c). Planet z = c, z = - c berører den gitte overflaten.

B) hvis , så kan ligningene skrives om som:
, som man kan se, er skjæringslinjen en ellipse med halvakser a1 = , b1 = . I dette tilfellet, jo mindre h, jo større er halvaksene. Ved n=0 når de sine høyeste verdier: a1=a, b1=b. Ligningene vil ha formen:

De vurderte seksjonene gjør det mulig å avbilde overflaten som en lukket oval overflate. Overflaten kalles en ellipsoid. Hvis noen halvakser er like, blir den triaksiale ellipsoiden til en omdreiningsellipsoide, og hvis a=b=c, så til en kule.

Hyperboloider.

1. Undersøk overflaten . Ved å skjære overflaten med planet z=h får vi en skjæringslinje hvis likninger har formen

z=h. eller z=hhalvakse: a1= b1=

halvaksene når sin minimumsverdi ved h=0: a1=a, b1=b. Når h øker, vil halvaksene til ellipsen øke. => x=0.

Analyse av disse seksjonene viser at overflaten definert av ligningen har formen av et uendelig ekspanderende rør. Overflaten kalles enkeltarks hyperboloid.

2. - overflateligning.

Og - en overflate som består av 2 hulrom formet som konvekse ubegrensede boller. Overflaten kalles to-arks hyperboloid.

64. paraboloider.

.
-Dette elliptisk paraboloid.

Kanonisk ligning: (p>0, q>0).

p = q er en paraboloid av rotasjon rundt Oz-aksen.

Deler av en elliptisk paraboloid etter plan er enten en ellipse, en parabel eller et punkt.

2.
- hyperbolsk paraboloid.

Deler av en hyperbolsk paraboloid etter plan er enten en hyperbel, en parabel eller et par rette linjer (rettlinjede generatorer).

65. Kanoniske overflater.

Kanonisk ligning:

a = b - rotasjonskjegle (rett sirkulær)
Seksjoner av en kjegle etter fly: i planet som skjærer alle rettlinjede generatriser - en ellipse; i et plan parallelt med en rettlinjet generatrise - en parabel; i et plan parallelt med to rettlinjede generatorer - en hyperbel; i planet som går gjennom kjeglens toppunkt - et par kryssende linjer eller et punkt (toppunkt).

66. Funksjon. Enkle konsepter. Måter å sette det på.

En funksjon er en lov som innebærer at et tall x fra et gitt sett X er assosiert med bare ett tall y, skrevet , mens x kalles argumentet til funksjonen, y

kalt verdien av funksjonen.

1. Analysemetode.

2. Grafisk metode.

3. Verbal metode.

4. Tabellform metode.

Sammenligningsteorem.

i teorien om differensiallikninger, et teorem som angir tilstedeværelsen av en viss egenskap ved løsninger til en differensialligning (eller system av differensialligninger) under antagelsen om at en hjelpeligning eller ulikhet (system av differensialligninger eller ulikheter) har en eller annen egenskap.

1) Sturms teorem: enhver ikke-triviell løsning av ligningen forsvinner på intervallet ikke mer enn m ganger hvis ligningen og for har denne egenskapen.

2) Differensiell ulikhet: løsningen på problemet er komponentmessig ikke-negativ hvis løsningen på problemet har denne egenskapen og ulikhetene er tilfredsstilt

Den første er en fantastisk grense.

Når man beregner grensene for uttrykk som inneholder trigonometriske funksjoner, brukes grensen ofte kalt den første bemerkelsesverdige grensen.

Den lyder: grensen for forholdet mellom en sinus og argumentet er lik én når argumentet har en tendens til null.

Bevis:

La oss ta en sirkel med radius 1 og angi radianmålet for vinkelen MOV med x. la 0 , buen MV er numerisk lik den sentrale vinkelen x, . Det er klart vi har. Basert på de tilsvarende geometriformlene får vi . La oss dele ulikheten med >0, vi får 1<

Fordi , da basert på kriteriet (på grensen for en mellomfunksjon) om eksistensen av grenser .

Og hvis x<0 => , hvor –x>0 =>

83. Den andre bemerkelsesverdige grensen.

Som kjent er grensen for en tallsekvens
, har en grense lik e. . 1. La . Hver x-verdi er innelukket mellom to positive heltall: , hvor n=[x] er heltallsdelen av x. Det følger at derfor
. Hvis , Det . Derfor:
,

Basert på eksistensen av grenser: . 2. La . La oss gjøre erstatningen –x=t, så = . Og kalt den andre bemerkelsesverdige grensen. De er mye brukt i beregning av grenser. I analytiske applikasjoner spiller eksponentialfunksjonen med base e en viktig rolle. Funksjon kalles eksponentiell, brukes også notasjonen .

Bevis.

(tar i betraktning at hvis Dx®0, så Du®0, siden u = g(x) er en kontinuerlig funksjon)

Deretter . Teoremet er bevist.

Cauchys teorem

Cauchys teorem: Hvis funksjonene f(x) og er kontinuerlige på intervallet, differensierbare på intervallet (a,b), og Til , så er det minst ett poeng , slik at likestillingen
.

Matriser. Enkle konsepter. Lineære operasjoner på matriser og deres egenskaper.

En matrise med størrelse m x n er en samling av mn reelle (komplekse) tall eller elementer av en annen struktur (polynomer, funksjoner osv.), skrevet i form av en rektangulær tabell, som består av m rader og n kolonner og tatt i runde eller rektangulære eller doble rette parenteser. I dette tilfellet kalles tallene i seg selv matriseelementer og hvert element er knyttet til to tall - radnummeret og kolonnenummeret.

En matrise hvis elementer alle er null kalles en nullmatrise

En matrise av størrelse n ved n kalles en kvadratisk matrise av n-te orden, dvs. antall rader er lik antall kolonner.

En kvadratisk matrise kalles diagonal hvis alle dens off-diagonale elementer er null.

En diagonal matrise der alle diagonale elementer er lik 1 kalles identitetsmatrisen
Matrisetillegg.

Tilleggsegenskaper:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

· Hvis O er en nullmatrise, så er A + O = O + A = A

Merknad 1. Gyldigheten til disse egenskapene følger av definisjonen av operasjonen av matriseaddisjon.

Merknad 2. Merk igjen at kun matriser av samme dimensjon kan legges til.

Multiplisere en matrise med et tall.

Egenskaper ved å multiplisere en matrise med et tall

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Merknad 1. Egenskapenes gyldighet følger av definisjon 3.4 og 3.5.

Merknad 2. La oss kalle differansen av matrisene A og B en matrise C der C+B=A, dvs. C=A+(-1)B.
Matrisemultiplikasjon.

Å multiplisere en matrise med en matrise krever også at visse betingelser er oppfylt for dimensjonene til faktorene, nemlig: antall kolonner i den første faktoren må være lik antall rader i den andre.

For kvadratiske matriser av samme rekkefølge eksisterer produktene AB og BA og har samme dimensjon, men deres tilsvarende elementer er generelt ikke like.

Imidlertid er produktene AB og BA i noen tilfeller sammenfallende

Invers matrise.

En kvadratisk matrise A kalles entall hvis ∆A=0, og ikke-entall hvis ∆A≠0

En kvadratisk matrise B kalles den inverse av en kvadratisk matrise A av samme orden hvis AB = BA = E. I dette tilfellet er B betegnet

For at en invers matrise skal eksistere, er det nødvendig og tilstrekkelig at den opprinnelige matrisen er ikke-singular.

2. Matrisedeterminant. Egenskaper til determinanter.

Determinant (eller determinant) er et av de grunnleggende begrepene i lineær algebra. Determinanten til en matrise er et polynom av elementene i en kvadratisk matrise (det vil si en der antallet rader og kolonner er likt). Generelt kan en matrise defineres over en hvilken som helst kommutativ ring, i så fall vil determinanten være et element i den samme ringen. (∆A)

Egenskaper til determinanter

· Determinanten er en skjev-symmetrisk polylineær funksjon av radene (kolonnene) i matrisen. Multilinearitet betyr at determinanten er lineær over alle rader (kolonner): , hvor osv. er radene i matrisen, er determinanten for en slik matrise.

· Når du legger til en lineær kombinasjon av andre rader (kolonner) til en hvilken som helst rad (kolonne), vil ikke determinanten endres.

· Hvis to rader (kolonner) i en matrise faller sammen, er dens determinant null.

· Hvis to (eller flere) rader (kolonner) i en matrise er lineært avhengige, er dens determinant lik null.

· Hvis du omorganiserer to rader (kolonner) i en matrise, multipliseres dens determinant med (-1).

· Fellesfaktoren til elementene i en hvilken som helst serie av determinanten kan tas ut av determinantens fortegn.

· Hvis minst én rad (kolonne) i matrisen er null, er determinanten lik null.

· Summen av produktene til alle elementene i en rad ved deres algebraiske komplementer er lik determinanten.

· Summen av produktene til alle elementene i en serie med de algebraiske komplementene til de tilsvarende elementene i en parallell serie er null.

· Determinanten til produktet av kvadratiske matriser av samme orden er lik produktet av deres determinanter (se også Binet-Cauchy-formelen).

· Ved å bruke indeksnotasjon kan determinanten til en 3x3 matrise bestemmes ved å bruke Levi-Civita-symbolet fra relasjonen:

3. Bifag og algebraiske komplementer.

Minoren til et matriseelement av n-te orden er determinanten for en matrise (n-1) oppnådd fra matrise A ved å slette den i-te raden og den j-te kolonnen.

Når du skriver ut determinanten til (n-1)te orden, i den opprinnelige determinanten blir ikke elementene som ligger under linjene tatt i betraktning.
Det algebraiske komplementet Aij til et element aij av en matrise av n. orden er dets moll, tatt med et fortegn, avhengig av radnummer og kolonnenummer: det vil si at det algebraiske komplementet faller sammen med moll når summen av raden og kolonnetall er et partall, og skiller seg fra moll i fortegn, når summen av rad- og kolonnenummer er et oddetall.

4. Substitusjonsteorem.

Summene av produktene av vilkårlige tall bi ,b2,...,b av de algebraiske komplementene til elementene i en hvilken som helst kolonne eller rad i en matrise av orden n er lik determinanten til matrisen, som oppnås fra dette ved å erstatte elementene i denne kolonnen (raden) med tallene b1,b2,...,bn.

5. Kanselleringsteorem.

Summen av produktene til elementene i en av kolonnene (radene) i matrisen med de tilsvarende algebraiske komplementene til elementene i en annen kolonne (rad) er lik null.

6. Noen metoder for å beregne determinanter.

Teorem (Laplace). Determinant av en matrise av orden N = summen av produktet av alle moll av k. orden, som kan være sammensatt av vilkårlig valgte k parallelle serier og algebraiske komplementer av disse birollene

Teorem (om utvidelse av determinanten til elementer i en serie). Kvalifisert kvm. matrise = summen av produkter av elementer i en viss serie og algebraisk

tillegg til disse elementene

7. Matrisemultiplikasjon. Egenskaper for multiplikasjon.

Operasjonen med å multiplisere to matriser introduseres bare for tilfellet når antall kolonner i den første matrisen er lik antall rader i den andre matrisen.

Produktet av matrise A m * n = (a i, g) av matrise B n * p = (b i, k) er en matrise Cm*p = (med i, k) slik at: ,

hvor jeg = , , dvs. elementet i de i-te og k-te kolonnene i produktmatrisen C er lik summen av produktene til elementene i den i-te raden av matrise A med de tilsvarende elementene i den k-te kolonnen i matrise B .

Matrisene A, n*m og B, m*n, kalt. avtalt. (hvis A er konsistent med B, betyr ikke dette at B er konsistent med A).

Betydningen av konsistens er at antall kolonner i den 1. matrisen sammenfaller med antall rader i den andre matrisen. For matchede matriser kan en multiplikasjonsoperasjon defineres.

Hvis matrisene A og B er kvadratiske og av samme størrelse, eksisterer alltid A*B og B*A. Transponering er endringen av alle elementene i en kolonne til de tilsvarende elementene i en rad. Hvis A T =A, kalles matrisen A. symmetrisk (det må være firkantet).

Transponering av matriser.

Transponert matrise- matrise hentet fra den opprinnelige matrisen ved å erstatte rader med kolonner.
Formelt sett er den transponerte matrisen for en størrelsesmatrise en størrelsesmatrise, definert som EN T [ Jeg, j] = EN[j, Jeg].
For eksempel,

Og

Invers matrise. En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en invers matrise. Finne den inverse matrisen.

La det være en matrise A - ikke-entall.

A-1, A-1 *A=A*A-1 =E, hvor E er identitetsmatrisen. A -1 har samme dimensjoner som A.

Algoritme for å finne den inverse matrisen:

1. I stedet for hvert element i matrisen a ij, skriver vi dets algebraiske komplement.

A* er en unionsmatrise.

2. transponer den resulterende unionsmatrisen. A *T

3. del hvert element i unionsmatrisen med determinanten til matrise A.

A -1 = A *T

Teorem: (om kanselleringen av determinanten):
summen av produktene til elementene i en viss serie av en determinant ved det algebraiske komplementet til elementene i en annen parallell serie er alltid lik null.

10. Matriserepresentasjon av et system av lineære ligninger og dets løsninger.

Matriser gjør det mulig å kort skrive ned et system med lineære ligninger. La et system med 3 ligninger med tre ukjente gis:

Tenk på systemmatrisen og matriser kolonner med ukjente og frie termer

La oss finne arbeidet

de. som et resultat av produktet får vi venstre side av likningene til dette systemet. Deretter, ved å bruke definisjonen av matriselikhet, kan dette systemet skrives i skjemaet

eller kortere EN∙X=B.

Her er matrisene EN Og B er kjent, og matrisen X ukjent. Det er nødvendig å finne det, fordi... dens elementer er løsningen på dette systemet. Denne ligningen kalles matriseligning.

La matrisedeterminanten være forskjellig fra null | EN| ≠ 0. Da løses matriseligningen som følger. Multipliser begge sider av ligningen til venstre med matrisen A-1, invers av matrisen EN: . Fordi det A -1 A = E Og E∙X = X, så får vi en løsning på matriseligningen i formen X = A -1 B.

Merk at siden den inverse matrisen bare kan finnes for kvadratiske matriser, kan matrisemetoden bare løse de systemene der antall ligninger sammenfaller med antall ukjente. Imidlertid er matriseregistrering av systemet også mulig i tilfellet når antall ligninger ikke er lik antall ukjente, da matrisen EN vil ikke være firkantet og derfor er det umulig å finne en løsning på systemet i skjemaet X = A -1 B.

11. Løsning av ikke-degenererte lineære systemer, Cramer-formler.

Det er vanlig å skrive SLAE-er i matriseform, når de ukjente i seg selv ikke er indikert, men bare matrisen til system A og kolonnen med frie termer B er indikert.

Løse ikke-degenererte SLAEer ved å bruke Cramers metode:

A -1 =

X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 b n)

Teorem: (Cramer):
løsning av ikke-degenererte ligninger AX=B, kan skrives slik:

, Ak er hentet fra A ved å erstatte den k-te kolonnen med kolonnen med det frie leddet B.

12. Matriserangering. Egenskaper for matriserangering. Beregning av rangeringen til en matrise ved hjelp av elementære transformasjoner.

Det maksimale antallet lineært avhengige rader i matrisen A kalles. rangering av matrisen og denotasjonen r(a). Den største av de mindre ordenene til en gitt matrise annet enn 0 kalles matriserangering.

Egenskaper:

1) ved transponering av rang=konst.

2) hvis du krysser ut nullraden, så ring=konst;

3)rang=kostnad, med elementære transformasjoner.

3) for å beregne rangeringen ved hjelp av elementet, transformer matrise A til matrise B, hvis rangering er lett å finne.

4) rangering av matrisetrekanten = antall elementer som ikke er null plassert på hoveddiagonalene.

Metoder for å finne rangeringen til en matrise:

1) metode for å grense mindreårige

2) metode for elementære transformasjoner

Grensende mindreårige metode:

Metoden for å grense til mindreårige lar deg algoritme prosessen med å finne rangeringsmatrisen og lar deg minimere antall beregninger av mindreårige.

1) hvis matrisen har alle nullelementer, så rang = 0

2) hvis det er minst ett element som ikke er null => r(a)>0

Nå skal vi grense til den mindre M1, dvs. vi skal konstruere alle mulige mindreårige av 2. orden, ktr. inneholder den i-te raden og den j-te kolonnen til vi finner en moll som ikke er null av 2. orden.

Prosessen vil fortsette til en av følgende hendelser inntreffer:
1. Størrelsen på den mindreårige vil nå tallet k.

2. på et tidspunkt vil alle mindreårige med grenser vise seg å være = 0.

I begge tilfeller vil størrelsen på rangeringsmatrisen være lik rekkefølgen til den større moll som ikke er null.

Elementær transformasjonsmetode:
Som kjent er konseptet med en trekantet matrise bare definert for kvadratiske matriser. For rektangulære matriser er en analog konseptet med en trapesformet matrise.

For eksempel:
rangering = 2.

Matrise invers av en gitt.

Ikke hver matrise har en invers.

Teorem 1. De enkleste egenskapene til en invers matrise.

1°. Enhver matrise kan ha maksimalt én invers.

2°. E –1 = E.

3°. ( EN –1) –1 = EN.

4°. ( AB) –1 = B –1 EN –1 .

Entalls- og ikke-entalls kvadratmatriser.

Teorem 2. Matriseinverterbarhetskriterium.

En matrise er inverterbar hvis og bare hvis den er ikke-singular.

Lemma 1. En hvilken som helst rad (kolonne) elementær transformasjon av en matrise kan implementeres ved å multiplisere denne matrisen til venstre (høyre) med den tilsvarende elementære matrisen.

Lemma 2. For at en matrise skal være ikke-singular, er det nødvendig og tilstrekkelig at den kan reduseres til identitetsmatrisen ved å bruke bare radvise elementære transformasjoner.

Lemma 3. Hvis radene (kolonnene) i matrisen EN (B) er lineært avhengige og C = AB, da gjelder nøyaktig den samme lineære avhengigheten for radene (kolonnene) i matrisen MED.

En praktisk måte å beregne den inverse matrisen på:

EN|E ... E|EN –1 .

Matriseligninger.

Registrering av SLE-er i form av én matriseligning av en spesiell form. Cramers tårn i matriseform.

Permutasjoner og substitusjoner

Omorganiseringer. Opptak av en permutasjon. Antall permutasjoner n elementer. Inversjoner. Jevn og odde permutasjoner. Transposisjoner.

Teorem. Egenskaper ved transposisjoner.

1°. Du kan gå fra en hvilken som helst permutasjon til en hvilken som helst annen permutasjon ved å bruke flere transposisjoner.

2°. Hver transponering endrer pariteten til permutasjonen.

Utskiftninger. S n. Registrerer erstatninger. Substitusjonsparitet. Korrektheten av å bestemme pariteten til en substitusjon. Jokertegn. (–1) s (p) .

Definisjon av determinant

Definisjon av determinant.

Eksempler på beregning av determinantene til matriser av andre og tredje orden, determinanten til den øvre (nedre) trekantede matrisen, determinanten til en matrise der alle elementene under (over) sidediagonalen er lik null.

Egenskaper til determinanten

Teorem. Egenskaper til determinanten.

1°. det t EN= det EN.

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Hvis en av radene i matrisen er null, er determinanten for matrisen lik null.

6°. Hvis to rader i en matrise er like, er determinanten for matrisen null.

7°. Hvis to rader i en matrise er proporsjonale, er determinanten for matrisen null.

8°. Hvis en av radene i matrisen multipliseres med et tall og legges til en annen rad, vil ikke determinanten endres.

9°. Determinanten til en entallsmatrise er lik null.

10°. Determinanten for en ikke-singular matrise er ikke-null.

Merk. Egenskaper 1°–4° er bevist per definisjon, de resterende egenskapene er utledet ved bruk av egenskaper 1°–4°.

Konsekvens 1. Kriterium for ikke-degenerasjon av en matrise.

En kvadratisk matrise er ikke-singular hvis og bare hvis determinanten er ikke-null.

Konsekvens 2. Et homogent system av lineære ligninger som består av n ligninger med n ukjent, har ikke-null løsninger hvis og bare hvis determinanten til systemmatrisen er lik null.

Bifag og algebraiske komplementer. Dekomponering av determinanten i rad og kolonne

Liten M ij kvadratisk matrise. Algebraisk komplement A ij element en ij kvadratisk matrise.

Teorem om nedbrytning.

det EN = en k 1 A k 1 +en k 2 A k 2 + ... +a kn A kn, det EN = en 1k EN 1k +en 2k EN 2k + ... +a nk A nk

for noen k =

Stadier av bevis

1. For en matrise der A n = e n, per definisjon det.

2. For en matrise der A i = e j, ved å redusere til tilfelle 1, under hensyntagen til tegnet A i og uforanderlighet M ij.

3. Generell sak ved representasjon A i som en sum n vektorer og reduksjon til tilfelle 2.

En annen egenskap til determinanten

11°. en k 1 A s 1 +en k 2 A s 2 + ... +a kn A pn,en 1 k A 1 s+en 2 k A 2 s+ ... +a nk A np, Hvis k ¹ s.

For hver tall a¹0 det er et omvendt tall en -1 slik at arbeidet a×a -1 =1. Et lignende konsept introduseres for kvadratiske matriser.

Definisjon. Hvis det er kvadratiske matriser X og A av samme rekkefølge som tilfredsstiller betingelsen:

der E er identitetsmatrisen av samme rekkefølge som matrisen A, kalles matrisen X omvendt til matrisen A og er betegnet med A -1.

Av definisjonen følger det at bare en kvadratisk matrise har en invers; i dette tilfellet er den inverse matrisen også kvadratisk av samme rekkefølge.

Imidlertid har ikke hver kvadratisk matrise en invers. Hvis tilstanden a¹0 er nødvendig og tilstrekkelig for eksistensen av et nummer en -1, så for eksistensen av matrise A-1 er en slik betingelse kravet DA ¹0.

Definisjon. Firkantet matrise n-ordenen kalles ikke-degenerert (ikke-entall), hvis determinanten er DA ¹0.

Hvis DA= 0 , da kalles matrise A degenerert (spesiell).

Teorem(en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en invers matrise). Hvis en kvadratisk matrise ikke spesielt(dvs. dens determinant er ikke lik null), så eksisterer det for den den eneste invers matrise.

Bevis.

JEG. Nødvendighet. La matrise A ha en invers A -1, dvs. AA -1 = A -1 A=E. Av eiendom 3 determinanter ( § 11) vi har D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, dvs. D.A. ¹0 og DA -1 ¹0.

jeg jeg. Tilstrekkelighet. La kvadratmatrisen A være ikke-singular, dvs. D.A. ¹0 . La oss skrive den transponerte matrisen A T:

I denne matrisen erstatter vi hvert element med dets algebraiske komplement, og vi får matrisen:

Matrisen A* kalles vedlagt matrise til matrise A.

La oss finne produktet AA * (og A * A):

Hvor diagonal elementer = DA,

DA.(formel 11.1 §elleve)

Og alle andre off-diagonal elementer i matrisen AA * er lik null eiendom 10 §11, For eksempel:

etc. Derfor,

AA * = eller AA * = DA= DA×E.

På samme måte er det bevist at A * A = DA×E.

Dividere begge oppnådde likheter med DA, får vi:. Dette, ved definisjonen av en invers matrise, innebærer eksistensen av en invers matrise

Fordi AA -1 =A -1 A=E.

Eksistensen av en invers matrise er bevist. La oss bevise det unike. Anta at det er en annen invers matrise F for matrise A, så AF = E og FA = E. Multipliserer begge sider av den første likheten med A -1 til venstre, og den andre med A -1 til høyre, får vi: A -1 AF = A - 1 E og FA A -1 = E A -1, hvorav EF = A -1 E og FE = E A -1. Derfor er F = A -1. Det unike er bevist.

Eksempel. Gitt en matrise A =, finn A -1.

Algoritme for å beregne den inverse matrisen:

Egenskaper til inverse matriser.

1) (A-1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B-1A-1

3) (AT) -1 = (A -1) T.

⇐ Forrige78910111213141516Neste ⇒

⇐ ForrigeSide 3 av 4Neste ⇒

La oss vurdere matrisene

Dessuten er elementene i matrisene A og B gitt, og X 1, X 2, X 3 er ukjente.

Da kalles ligningen A × X = B den enkleste matriseligningen.

For å løse det, dvs. for å finne elementene i matrisen av ukjente X, går vi frem som følger:

1. Multipliser begge sider av ligningen med matrise A -1, den inverse av matrise A , venstre:

A -1 (A × X) = A -1 × B

2. Ved å bruke egenskapen til matrisemultiplikasjon skriver vi

(A -1 × A) X = A -1 × B

3. Fra definisjonen av en invers matrise

(A -1 × A = E) vi har E × X = A -1 × B.

4. Ved å bruke egenskapen til identitetsmatrisen (E × X = X), får vi til slutt X = A -1 × B

Kommentar. Hvis matriseligningen har formen X × C = D, må ligningen multipliseres med C -1 for å finne den ukjente matrisen X til høyre.

Eksempel. Løs matriseligningen

Løsning. La oss introdusere notasjonen

Deres definisjon av matrisemultiplikasjon, tar hensyn til dimensjonene A og B, vil matrisen av ukjente X ha formen

Med tanke på den introduserte notasjonen vi har

A × X = B hvorav X = A -1 × B

La oss finne A -1 ved å bruke algoritmen for å konstruere den inverse matrisen

La oss beregne produktet

Så for X får vi

X = derfra x 1 = 3, x 2 = 2

Matrix rangering

Tenk på en matrise A med størrelse (m x n)

K. ordens moll av en matrise A er determinanten for orden k, hvis elementer er elementene i matrisen A som står i skjæringspunktet mellom alle K-rader og eventuelle K-kolonner. Åpenbart, k £ min (m, n).

Definisjon. Rangeringen r(A) til en matrise A er den høyeste rekkefølgen av ikke-null moll i denne matrisen.

Definisjon. Enhver moll som ikke er null i en matrise hvis rekkefølge er lik rangeringen kalles grunnleggende bifag.

Definere e. Matriser med samme rangering kalles tilsvarende.

Beregner matriserangering

Definisjon. Matrisen kalles tråkket, hvis det første elementet som ikke er null i hver rad inneholder nuller i de underliggende radene.

Teorem. Rangeringen til en echelonmatrise er lik antallet rader som ikke er null.

Ved å transformere matrisen til echelonform er det derfor lett å bestemme rangeringen. Denne operasjonen utføres ved hjelp av elementære matrisetransformasjoner, som ikke endrer rangeringen:

— multiplikasjon av alle elementene i matriseraden med tallet l ¹ 0;

- erstatte rader med kolonner og omvendt;

— omorganisering av parallelle rader;

— krysse ut nullraden;

- legge til elementene i en bestemt serie de tilsvarende elementene i en parallell serie, multiplisert med et hvilket som helst reelt tall.

Eksempel.

Teorem (nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en invers matrise).

Beregn matriserangering

A =

Løsning. La oss transformere matrisen til echelonform. For å gjøre dette legger du den andre linjen til den tredje linjen, multiplisert med (-3).

A~

La oss legge til en tredje til den fjerde linjen.

Antall rader som ikke er null i den resulterende ekvivalente matrisen er tre, derfor r(A) = 3.

Systemer med n lineære ligninger med n ukjente.

Metoder for å løse dem

Tenk på et system med n lineære ligninger med n ukjente.

A 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 (1)

……………………………….

a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a nn x n = b n

Definisjon: Løsningen på system (1) er et sett med tall (x 1, x 2, ..., x n), som gjør hver likning i systemet til en ekte likhet.

Matrise A, sammensatt av koeffisienter for ukjente, kalles hovedmatrisen til systemet (1).

A=

Matrise B, som består av elementer av matrise A og en kolonne med frie termer av system (1), kalles utvidet matrise.

B =

Matrisemetode

La oss vurdere matrisene

X = — matrise av ukjente;

С = er matrisen av frie termer av systemet (1).

Deretter, i henhold til regelen for matrisemultiplikasjon, kan system (1) representeres som en matriseligning

A × X = C (2)

Løsningen til ligning (2) er angitt ovenfor, det vil si X = A -1 × C, hvor A -1 er den inverse matrisen for hovedmatrisen til system (1).

Cramer metode

Et system med n lineære ligninger med n ukjente, hvor hoveddeterminanten er ikke-null, har alltid en løsning og dessuten en unik, som finnes i henhold til formlene:

hvor D = det A er determinanten til hovedmatrisen A til system (1), som kalles hovedmatrisen, Dх i oppnås fra determinanten D ved å erstatte den i-te kolonnen med en kolonne med frie ledd, dvs.

Dx 1 = ;

Dx 2 = ; … ;

Eksempel.

Løs et likningssystem ved å bruke Cramers metode

2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 15

x 1 + x 2 + 5x 3 = 16

3x 1 - 2x 2 + x 3 = 1

Løsning.

La oss beregne determinanten til hovedmatrisen til systemet

D = det A = = 44 ¹ 0

La oss beregne hjelpedeterminanter

Dx 3 = = 132.

Ved å bruke Cramers formler vil vi finne de ukjente

; ; .

Således x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 3.

Gauss metode

Essensen av Gauss-metoden er sekvensiell eliminering av ukjente fra systemets ligninger, dvs. ved å redusere hovedmatrisen til systemet til en trekantet form, når det er nuller under hoveddiagonalen. Dette oppnås ved å bruke elementære matrisetransformasjoner over radene. Som et resultat av slike transformasjoner blir systemets ekvivalens ikke krenket, og det får også en trekantet form, dvs. den siste ligningen inneholder en ukjent, den nest siste to osv. Ved å uttrykke den n-te ukjente fra den siste ligningen og bruke den omvendte bevegelsen, ved å bruke en rekke påfølgende erstatninger, oppnås verdiene til alle ukjente.

Eksempel. Løs et likningssystem ved å bruke Gauss-metoden

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 17

2x 1 - x 2 + 2x 3 = 8

x 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

Løsning. La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og redusere matrisen A i den til en trekantet form.

La oss bytte den første og tredje raden i matrisen, som tilsvarer å omorganisere den første og tredje likningen i systemet. Dette vil tillate oss å unngå utseendet av brøkuttrykk i påfølgende beregninger

B~

Vi multipliserer den første raden i den resulterende matrisen sekvensielt med (-2) og (-3) og legger den til med henholdsvis andre og tredje rad, og B vil ha formen:

Etter å ha multiplisert den andre raden med og lagt den til den tredje raden, vil matrise A få en trekantet form. For å forenkle beregningene kan du imidlertid gjøre følgende: multipliser den tredje linjen med (-1) og legg den til den andre. Da får vi:

B~

B~

La oss gjenopprette fra den resulterende matrisen B et likningssystem tilsvarende dette

X 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

x 2 - 2x 3 = 0

— 10x 3 = -10

Fra den siste ligningen finner vi Vi erstatter den funnet verdien x 3 = 1 i den andre ligningen til systemet, hvorfra x 2 = 2x 3 = 2 × 1 = 2.

Etter å ha erstattet x 3 = 1 og x 2 = 2 i den første ligningen for x 1, får vi x 1 = 9 - 4x 2 + 3x 3 = 9 - 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Så x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1.

Kommentar. For å sjekke riktigheten av løsningen av et ligningssystem, er det nødvendig å erstatte de funnet verdiene til de ukjente i hver av ligningene til dette systemet. Dessuten, hvis alle ligninger blir til identiteter, er systemet løst riktig.

Undersøkelse:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 riktig

2 × 4 – 2 + 2 × 1 = 8 riktige

4 + 4 × 2 – 3 × 1 = 9 riktig

Så systemet er løst riktig.

⇐ Forrige1234Neste ⇒

Les også:

De enkleste matriseligningene

hvor er matriser av slike størrelser at alle operasjonene som brukes er mulige, og venstre og høyre side av disse matriseligningene er matriser av samme størrelse.

Løsningen av ligningene (1)-(3) er mulig ved å bruke inverse matriser i tilfellet med ikke-degenererte matriser for X. I det generelle tilfellet skrives matrisen X element-for-element og handlingene spesifisert i ligningen er utført på matrisene. Som et resultat oppnås et system av lineære ligninger. Etter å ha løst systemet, finn elementene i matrisen X.

Invers matrisemetode

Dette er en løsning på et system av lineære ligninger i tilfelle av en kvadratisk ikke-singular matrise av system A. Den finnes fra matriseligningen AX=B.

A -1 (AX)=A -1 V, (A -1 A)X=A -1 V, EX= A -1 V, X= A -1 V.

Cramers formler

Teorem.La Δ — er determinanten for matrisen til system A, og Δ j er determinanten for matrisen oppnådd fra matrisen A ved å erstatte den j-te kolonnen med frie ledd. Deretter, hvis Δ≠ 0, så har systemet en unik løsning, bestemt av formlene:

- Cramers formler.

DZ 1. 2,23, 2,27, 2,51, 2,55, 2,62; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40, 2.65

Emne 4. Komplekse tall og polynomer

Komplekse tall og operasjoner på dem

Definisjoner.

1. Vi blir enige om å kalle et symbol på formen a + bi, der a og b er vilkårlige reelle tall, et komplekst tall.

2. Vi er enige om å betrakte komplekse tall a + bi og a 1 + b 1 i like hvis a = a 1 og

b = b 1.

3. Vi er enige om å vurdere et komplekst tall av formen a + 0i lik det reelle tallet a.

4. Summen av to komplekse tall a + bi og a 1 + b 1 i kalles det komplekse tallet (a + a 1) + (b + b 1)i.

Invers matrise. Matriserangering.

Produktet av to komplekse tall er det komplekse tallet aa 1 – bb 1 + (a b 1 +a 1 b)i.

Kompleks tall på formen 0 + bi kalles et rent imaginært tall og skrives vanligvis slik: bi; nummer 0 +1 jeg = jeg kalt imaginær enhet.

Per definisjon 3, hvert reelt tall EN tilsvarer et "likt" komplekst tall a+0i og omvendt - til et hvilket som helst komplekst tall a+0i tilsvarer et "likt" reelt tall EN, det vil si at det er en en-til-en samsvar mellom disse tallene. Hvis vi tar for oss summen og produktet av komplekse tall a 1 + 0i og en 2 + 0i i henhold til regel 4 og 5 får vi:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 – 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

Vi ser at summen (eller produktet) av disse komplekse tallene tilsvarer et reelt tall "lik" summen (eller produktet) av de tilsvarende reelle tallene. Så samsvaret mellom komplekse tall i formen a+0i og reelt tall EN er slik at som et resultat av å utføre aritmetiske operasjoner på de tilsvarende komponentene, oppnås tilsvarende resultater. En en-til-en korrespondanse som opprettholdes når du utfører handlinger kalles isomorfisme. Dette lar oss identifisere nummeret a+0i med reelt tall EN og betrakt hvert reelt tall som et spesialtilfelle av et komplekst tall.

Konsekvens. Tall kvadrat Jeg lik – 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)i =— 1.

Teorem.For addisjon og multiplikasjon av komplekse tall forblir de grunnleggende driftslovene i kraft.

Definisjoner:

1. Det reelle tallet a kalles den reelle delen av det komplekse tallet z = a + bi. Rez=a

2. Tallet b kalles den imaginære delen av det komplekse tallet z, tallet b kalles koeffisienten til den imaginære delen av z. Imz=b.

3. Tallene a + bi og a – bi kalles konjugert.

Konjugert tall z = a + bi angitt med symbolet

= a - bi.

Eksempel. z =3 + i,= 3 - i.

Teorem.Summen og produktet av to konjugerte komplekse tall er reelle.

Bevis. Vi har

I settet med komplekse tall kan det inverse av addisjon og multiplikasjon utføres.

Subtraksjon. La z 1 = a 1 + b 1 i Og z 2 = a 2 + b 2 i er komplekse tall. forskjell z 1 – z 2 det er et tall z = x + yi, som tilfredsstiller betingelsen z 1 = z 2 + z eller

a 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

For å bestemme x Og y vi får et ligningssystem a 2 + x = a 1 Og b 2 + y = b 1, som har en unik løsning:

x = a 1 - a 2, y = b 1 - b 2,

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = a 1 – a 2 + (b 1 – b 2)i.

Subtraksjon kan erstattes med addisjon med det motsatte tallet av det som trekkes fra:

z = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = (a 1 + b 1 i) + (- a 2 – b 2 i).

Inndeling.

Kvotient av tall z 1 Og z 2≠ 0 er et tall z = x + yi, som tilfredsstiller betingelsen z 1 = z 2 z eller

a 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

derfor,

a 1 + b 1 i = a 2 x - b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

hvorfra får vi ligningssystemet:

a 2 x - b 2 y = a 1 ,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

Løsningen som blir

derfor,

I praksis, for å finne kvotienten, multipliser utbyttet og divisor med konjugatet av divisor:

For eksempel,

Spesielt det inverse av et gitt tall z, kan representeres i skjemaet

Merk. I settet med komplekse tall forblir gyldige teorem: hvis produktet er lik null, så er minst én av faktorene lik null.

Faktisk, hvis z 1 z 2 = 0 og hvis z 1 ≠ 0, og deretter gange med , får vi

Q.E.D.

Når du utfører aritmetiske operasjoner på komplekse tall, bør du bli veiledet av følgende generelle regel: handlinger utføres i henhold til de vanlige reglene for handlinger på algebraiske uttrykk, etterfulgt av å erstatte i 2 med-1.

Teorem.Når hver komponent erstattes med sitt konjugerte nummer, erstattes også resultatet av handlingen med dets konjugerte nummer.

Beviset ligger i direkte verifisering. Så, for eksempel, hvis hvert begrep z 1 = a 1 + b 1 i Og z 2 = a 2 + b 2 i erstatte med konjugert tall, får vi konjugatet av summen z 1 + z 2.

derfor,

Tilsvarende for produktet har vi:

Forrige567891011121314151617181920Neste

SE MER:

Matriseligninger

Katalin David

AX = B, hvor matrise A er inverterbar

Siden matrisemultiplikasjon ikke alltid er kommutativ, multipliserer vi begge sider av ligningen fra venstre med $ A^(-1) $.

$A^(-1)\cdot|A\cdot X = B$

$A^(-1)\cdot A\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$I_(n)\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$\farge(rød)(X =A^(-1)\cdot B)$

Eksempel 50
Løs ligningen
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

Teorem 2. Kriterium for eksistensen av en invers matrise.

Vi multipliserer fra venstre med dens inverse matrise.
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end( pmatrix)$

$X=\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\høyrepil X= \ start(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 & -22 \\ 4 & 9 \end(pmatrix)$

XA = B, hvor matrise A er inverterbar

Siden matrisemultiplikasjon ikke alltid er kommutativ, multipliserer vi begge sider av ligningen til høyre med $ A^(-1) $.

$X\cdot A = B |\cdot A^(-1)$

$X\cdot A\cdot A^(-1) = B\cdot A^(-1)$

$X \cdot I_(n) =B\cdot A^(-1)$

Løsningen til ligningen har den generelle formen
$\farge(rød)(X =B\cdot A^(-1))$

Eksempel 51
Løs ligningen
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end(pmatrix)$

La oss sørge for at den første matrisen er inverterbar.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, derfor er matrisen inverterbar.

Vi multipliserer til høyre med dens inverse matrise.
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) ) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(- 1)$

$X=\begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\høyrepil X= \ start(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 & 4\ \ -8 & 5 \end(pmatrix)$

MatriserMatrisemultiplikasjonDeterminanterMatriserangeringInverse matriser Ligningssystemer Kalkulatorer for matriser

intl. forbauselse, overraskelse; glede, håp; plutselighet, skrekk; sorg, fortvilelse. Å, så bra! Å, hvis det bare var slik! Å, som du skremte meg! Å, og vift med hendene. Å, å, men det er ingenting å hjelpe med. Ah, dommer, dommer: fire skjørt, åtte lommer.

| Noen ganger blir ah til et substantiv. , ektemann. Ahhs, ohhs, og kvinnesukk. Hva var det om gisp, overraskelse, glede. Ahti, ahhli til meg, et utrop av sorg, tristhet; Akk; Jeg er så spent, alle kameratene mine er i fengsel - vil det være noe for meg også? Ohti-axmul på en eller annen måte gifte seg? Ikke så varmt for meg, ikke fantastisk, ikke for bra. Ahkhanki for meg, akhanki, uttrykker så å si medfølelse for seg selv eller for en annen. Å, som små barn, er dette en slags hilsen. Gisp, gisp, gisp, forundre; glede deg over noe, sørge, stønn, utbryt ah! Jeg skulle ønske jeg var hjemme, alene. Onkel ville gispe, se på seg selv, ta vare på deg selv, om virksomheten din. Jeg gispet, jeg var redd, jeg ble overrasket. Vi gispet også og så sorg. En enslig mann vil noen ganger stønne, og en gift mann vil gispe.

invers matrise

Hva pokker. Vi gispet da vi fikk vite om dette. La oss gå, la oss gå. Jeg ble overrasket over disse miraklene. De gispet, eller hva? Heia litt mer. Den ene gisper, den andre gisper. Hvorfor ble du begeistret? Du vil stønne ufrivillig. Du gisper feil, gisp igjen, en hån mot ubrukelige rop. Jeg tilbrakte hele dagen med å stønne. Kvinnen kom for å gispe, men måtte gispe; Jeg kom for å se på andres glede eller sorg, men min egen ulykke skjedde. Aah onsdag. umådelig uttrykk for glede, forundring, sorg, fortvilelse: gispende ektemann. ahalschnitsa no. gispet om. den som undrer seg over alt, roser andres ting overmål, er misunnelig. Det er syv achalere for hver achaler. For hver bakhar er det syv ahaler. Akhova lavere Akhtitelny Penz. herlig, utrolig vakker, vakker, som forårsaker et utrop av forundring og godkjenning. Forferdelig lommetørkle. Ahwa? koner , bue.-på. hull, gap; et hull, et kutt i huden, skade på den fra et uforsiktig skudd, injeksjon eller slag. Akhovnya? koner hud ødelagt av akhova, akhova eller akhvod hud. Wow, wow?, ødelegg huden med et skudd, et stikk, et kutt. Forferdelig lørdag, når du betaler, når feilaktige gisper etter penger.

Lemma: For enhver matrise EN produktet av en identitetsmatrise av passende størrelse er lik matrisen EN: AE=EA=A.

Matrise I kalt omvendt til matrisen EN, Hvis AB=BA=E. Invers matrise til matrise EN betegnet med A -1 .

En invers matrise eksisterer bare for en kvadratisk matrise.

Teorem: Firkantet matrise EN har en invers hvis og bare hvis determinanten til denne matrisen er ikke null (|A|≠0).

Algoritme for å finne den inverse matrisen A -1:

(for andre og tredje ordens matriser)

"Hvis du vil lære å svømme, så gå frimodig inn i vannet, og hvis du vil lære å løse problemer, Det løse dem.»
D. Polya (1887–1985)

(Matematiker. Gjorde et stort bidrag til populariseringen av matematikk. Skrev flere bøker om hvordan man løser problemer og hvordan man lærer å løse problemer.)

§6. Egenskaper til determinanter

§7. invers matrise

Ikke-entalls- og entallsmatriser

invers matrise

Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en invers matrise

Algoritme for å beregne den inverse matrisen ved hjelp av formelen

Beregning av den inverse matrisen ved hjelp av elementære transformasjoner

§ 6. Egenskaper til determinanter

1. Hvis en rad (kolonne) i matrisen er lik null, er dens determinant lik null.

Konsekvens 1. Hvis en kvadratisk matrise inneholder to identiske rader (kolonner), er dens determinant null.

Konsekvens 2. Hvis elementene i to rader (kolonner) i en matrise er proporsjonale, er dens determinant lik null.

2. Hvis alle elementene i en rad (kolonne) i en matrise multipliseres med et tall, vil dens determinant multipliseres med dette tallet.

Kommentar. Tegnet til determinanten kan tas for å være den felles faktoren for en hvilken som helst rad (kolonne), i motsetning til en matrise, hvis tegnet bare kan tas for å være den felles faktoren for alle elementer.

3. Når en matrise transponeres, endres ikke dens determinant.

4. Når to rader (kolonner) i en matrise byttes om, endrer dens determinant fortegn til den motsatte.

5. Determinanten til matrisen endres ikke hvis en annen rad (kolonne) multiplisert med et tall legges til en hvilken som helst rad (kolonne).

6. Determinanten av produktet av to kvadratiske matriser er lik produktet av deres determinanter, dvs.

Kommentar. Til og med EN∙I ≠ I∙EN, .

Så ved å bruke egenskapene til determinanter kan vi redusere enhver determinant til en trekantet form. La oss se på denne prosessen med et eksempel.

Eksempel. Beregn determinant

Løsning.

§ 7. invers matrise

For hvert tall EN¹ 0 det er et omvendt tall EN–1 slik at EN· EN–1 = 1. For kvadratiske matriser introduseres et lignende begrep.

Tenk på en kvadratisk matrise

.

Firkantet matrise EN kalt ikke-degenerert, hvis determinanten ikke er null, og degenerert hvis determinanten er null.

Firkantet matrise EN–1 kalles omvendt for en kvadratisk matrise EN, hvis produktet deres både til venstre og høyre er lik identitetsmatrisen:

EN · EN –1 = A-1 · A = E.

I motsetning til tall, har ikke hver kvadratmatrise en invers.

Teorem (nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en invers matrise). For at matrise A skal ha en invers, er det nødvendig og tilstrekkelig at den er ikke-degenerert.