Den mindre rekkefølgen som bestemmer rangeringen av matrisen kalles. Beregning av rangeringen til en matrise ved hjelp av elementære transformasjoner

Tenk på en matrise \ (A \) av typen \ ((m, n) \). La, for bestemthetens skyld, være \ (m \ leq n \). Ta \ (m \) rader og velg \ (m \) kolonner i matrisen \ (A \), i skjæringspunktet mellom disse radene og kolonnene får vi en kvadratisk matrise av orden \ (m \), hvis determinant er kalt mindre ordre \ (m \) matriser \ (A \). Hvis denne minor er annet enn 0, kalles den base moll og de sier at rangeringen av matrisen \ (A \) er \ (m \). Hvis denne determinanten er lik 0, velges andre \ (m \) kolonner, i skjæringspunktet deres er det elementer som danner en annen minor av orden \ (m \). Hvis mindretallet er 0, fortsetter vi prosedyren. Hvis det blant alle mulige mindreårige av orden \ (m \) ikke er noen enere som ikke er null, velger vi \ (m-1 \) rader og kolonner fra matrisen \ (A \), ved skjæringspunktet deres oppstår det en kvadratisk matrise av orden \ (m-1 \), dens determinant kalles minor av orden \ (m-1 \) av den opprinnelige matrisen. Ved å fortsette prosedyren ser vi etter en mindreårig som ikke er null, og gjentar over alle mulige mindreårige, og senker rekkefølgen deres.

Definisjon.

Den ikke-null moll av en gitt høyeste ordens matrise kalles base moll den opprinnelige matrisen, dens rekkefølge kalles rang matriser \ (A \), rader og kolonner, i skjæringspunktet mellom grunnmoll, kalles grunnleggende rader og kolonner. Rangeringen til en matrise er angitt med \ (rang (A) \).

Denne definisjonen innebærer enkle egenskaper for rangeringen til en matrise: den er et heltall, og rangeringen til en matrise som ikke er null, tilfredsstiller ulikhetene: \ (1 \ leq rang (A) \ leq \ min (m, n) \).

Hvordan vil rangeringen til en matrise endres hvis en rad slettes? Legge til en linje?

Sjekk svar

1) Rangeringen kan reduseres med 1.

2) Rangeringen kan øke med 1.

La \ (A \) være en matrise av typen \ ((m, n) \). Tenk på kolonnene i matrisen \ (A \) - disse er kolonner med \ (m \) tall hver. La oss betegne dem \ (A_1, A_2, ..., A_n \). La \ (c_1, c_2, ..., c_n \) være noen tall.

Definisjon.

Kolonne \ [D = c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_nA_n = \ sum _ (m = 1) ^ nc_mA_m \] kalles en lineær kombinasjon av kolonner \ (A_1, A_2, ..., A_n \), tall \ (c_1, c_2 , ..., c_n \) kalles koeffisientene til denne lineære kombinasjonen.

Definisjon.

La \ (p \) kolonner \ (A_1, A_2, ..., A_p \) gis. Hvis det er tall \ (c_1, c_2, ..., c_p \) slik at

1.ikke alle disse tallene er null,

2.den lineære kombinasjonen \ (c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_pA_p = \ sum _ (m = 1) ^ pc_mA_m \) er lik nullkolonnen (dvs. kolonnen, som alle elementer er null), da si at kolonnene \ ( A_1, A_2, ..., A_p \) er lineært avhengige. Hvis for et gitt sett med kolonner slike tall \ (c_1, c_2, ..., c_n \) ikke eksisterer, sies kolonnene å være lineært uavhengige.

Eksempel. Tenk på 2-kolonner

\ [A_1 = \ venstre (\ begynnelse (matrise) (c) 1 \\ 0 \ slutt (matrise) \ høyre), A_2 = \ venstre (\ begynnelse (matrise) (c) 0 \\ 1 \ slutt (matrise) \ høyre), \] så for alle tall \ (c_1, c_2 \) har vi: \ [c_1A_1 + c_2A_2 = c_1 \ venstre (\ begynnelse (matrise) (c) 1 \\ 0 \ slutt (matrise) \ høyre) + c_2 \ venstre (\ begynnelse (matrise) (c) 0 \\ 1 \ slutt (matrise) \ høyre) = \ venstre (\ begynnelse (matrise) (c) c_1 \\ c_2 \ slutt (matrise) \ høyre). \]

Denne lineære kombinasjonen er lik nullkolonnen hvis og bare hvis begge tallene \ (c_1, c_2 \) er lik null. Dermed er disse kolonnene lineært uavhengige.

Uttalelse. For at kolonnene skal være lineært avhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at en av dem er en lineær kombinasjon av de andre.

La kolonnene \ (A_1, A_2, ..., A_m \) være lineært avhengige, dvs. for noen konstanter \ (\ lambda _1, \ lambda _2, ..., \ lambda _m \), som ikke alle er lik 0, utføres følgende: \ [\ sum _ (k = 1) ^ m \ lambda _kA_k = 0 \ ] (til høyre - null kolonne). La for eksempel \ (\ lambda _1 \ neq 0 \). Deretter \ [A_1 = \ sum _ (k = 2) ^ mc_kA_k, \ quad c_k = - \ lambda _k / \ lambda _1, \ quad \ quad (15) \] dvs. den første kolonnen er en lineær kombinasjon av de andre.

For enhver matrise som ikke er null \ (A \) gjelder følgende:

1. Grunnkolonnene er lineært uavhengige.

2. Enhver kolonne i en matrise er en lineær kombinasjon av dens grunnkolonner.

(Det samme gjelder for strenger.)

La, for bestemthetens skyld, \ ((m, n) \) være typen av matrisen \ (A \), \ (rang (A) = r \ leq n \) og grunnmoll er plassert i første \ ( r \) rader og kolonner matriser \ (A \). La \ (s \) være et hvilket som helst tall mellom 1 og \ (m \), \ (k \) være et hvilket som helst tall mellom 1 og \ (n \). Tenk på en mindre av følgende form: \ [D = \ venstre | \ begin (array) (ccccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1r) & a_ (1s) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2r) & a_ (2s) \\ \ prikker & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (r1) & a_ (r2) & \ ldots & a_ (rr) & a_ (rs) \\ a_ (k1) & a_ (k2) & \ ldots & a_ (kr) & a_ (ks) \\ \ ende (matrise) \ høyre | , \] dvs vi tildelte \ (s - \) th kolonne og \ (k - \) th rad til den grunnleggende moll. Ved definisjonen av rangeringen til matrisen er denne determinanten lik null (hvis vi valgte \ (s \ leq r \) eller \ (k \ leq r \), så har denne minor 2 identiske kolonner eller 2 identiske rader, hvis \ (s> r \) og \ (k> r \) - ved definisjonen av rang, forsvinner en moll med størrelse større enn \ (r \). Vi utvider denne determinanten med den siste raden, vi får: \ [a_ (k1) A_ (k1) + a_ (k2) A_ (k2) + .... + a_ (kr) A_ (kr) + a_ (ks) A_ (ks ) = 0. \ quad \ quad (16) \]

Her er tallene \ (A_ (kp) \) de algebraiske komplementene til elementene fra bunnlinjen \ (D \). Deres verdier avhenger ikke av \ (k \), siden dannes ved hjelp av elementer fra de første \ (r \) linjene. I dette tilfellet er mengden \ (A_ (ks) \) en annen grunnmoll enn 0. Angi \ (A_ (k1) = c_1, A_ (k2) = c_2, ..., A_ (ks) = c_s \ neq 0 \). Vi skriver om i ny notasjon (16): \ [c_1a_ (k1) + c_2a_ (k2) + ... + c_ra_ (kr) + c_sa_ (ks) = 0, \] eller, dividere med \ (c_s \), \ [ a_ (ks) = \ lambda_1a_ ​​​​(k1) + \ lambda_2a_ (k2) + ... + \ lambda_ra_ (kr), \ quad \ lambda _p = -c_p / c_s. \] Denne likheten gjelder for enhver verdi \ (k \), så \ [a_ (1s) = \ lambda_1a_ ​​​​(11) + \ lambda_2a_ (12) + ... + \ lambda_ra_ (1r), \] \ [a_ (2s) = \ lambda_1a_ ​​(21) + \ lambda_2a_ (22) + ... + \ lambda_ra_ (2r), \] \ [................ .... .................................... \] \ [a_ (ms) = \ lambda_1a_ ​​​​(m1) + \ lambda_2a_ (m2) + ... + \ lambda_ra_ (mr). \] Så, \ (s - \) th kolonne er en lineær kombinasjon av de første \ (r \) kolonnene. Teoremet er bevist.

Kommentar.

Det følger av det grunnleggende mindre teoremet at rangeringen til en matrise er lik antallet av dens lineært uavhengige kolonner (som er lik antall lineært uavhengige rader).

Konsekvens 1.

Hvis determinanten er null, har den en kolonne som er en lineær kombinasjon av de gjenværende kolonnene.

Konsekvens 2.

Hvis rangeringen til matrisen er mindre enn antall kolonner, er kolonnene i matrisen lineært avhengige.

Noen transformasjoner av matrisen endrer ikke rangeringen. Slike transformasjoner kan kalles elementære. De tilsvarende fakta er enkle å verifisere ved å bruke egenskapene til determinantene og definisjonen av rangeringen til matrisen.

1. Omorganisering av kolonner.

2. Multiplikasjon av elementer i en kolonne med en faktor som ikke er null.

3. Legge til en hvilken som helst annen kolonne multiplisert med et vilkårlig tall.

4. Kryss av nullkolonnen.

Det samme gjelder for strenger.

Ved hjelp av disse transformasjonene kan matrisen transformeres til den såkalte "trapesformen" - en matrise, under hoveddiagonalen som det bare er nuller av. For en "trapesformet" matrise er rang antall oppføringer som ikke er null på hoveddiagonalen, og basemoll er en moll hvis diagonal sammenfaller med settet med ikke-nulloppføringer på hoveddiagonalen til den transformerte matrisen.

Eksempel. Tenk på matrisen

\ [A = \ venstre (\ begynner (matrise) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ ende (matrise) \ høyre). \] Vi vil transformere den ved å bruke transformasjonene ovenfor. \ [A = \ venstre (\ begynner (matrise) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ end (array) \ right) \ mapto \ left (\ begynne (array) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \ \ 2 & -1 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ mapto \ left (\ start (array) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \ end (matrise) \ høyre) \ mapsto \] \ [\ venstre (\ begynne (matrise) (cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ slutt (matrise) \ høyre) \ mapsto \ venstre (\ begynne (matrise) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \ ende (matrise) \ høyre). \]

Her tar vi følgende trinn sekvensielt: 1) omarranger den andre raden opp, 2) trekk den første raden fra resten med en passende faktor, 3) trekk den andre raden fra den tredje 4 ganger, legg den andre raden til den fjerde, 4) slett nulllinjene - den tredje og fjerde ... Vår endelige matrise har fått den ønskede formen: det er tall som ikke er null på hoveddiagonalen, og nuller under hoveddiagonalen. Etter det stopper prosedyren og antall elementer som ikke er null på hoveddiagonalen er lik rangeringen til matrisen. Grunnmoll er de to første linjene og de to første kolonnene. I skjæringspunktet deres er det en matrise av orden 2 med en determinant som ikke er null. I dette tilfellet, tilbake langs kjeden av transformasjoner i motsatt retning, kan man spore hvor denne eller den raden (denne eller den kolonnen) oppsto i den endelige matrisen, dvs. bestemme grunnradene og kolonnene i den opprinnelige matrisen. I dette tilfellet danner de to første radene og de to første kolonnene grunnmoll.

La A være en matrise av størrelsen m \ ganger n, og k være et naturlig tall som ikke overstiger m og n: k \ leqslant \ min \ (m; n \). Mindre av kth orden av matrisen A kalles determinanten for matrisen av k-te orden dannet av elementene i skjæringspunktet mellom vilkårlig valgte k rader og k kolonner i matrisen A. Når du angir mindreårige, vil tallene på de valgte radene bli indikert med hevet skrift, og de valgte kolonnene - med lavere, og plassere dem i stigende rekkefølge.

Eksempel 3.4. Skriv bifag av forskjellige rekkefølger av en matrise

A = \ begynnelse (pmatrise) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 3 \ slutt (pmatrise) \ !.

Løsning. Matrise A har dimensjonene 3 \ ganger 4. Den har: 12 mindreårige av 1. orden, for eksempel en mindreårig M _ (() _ 2) ^ (() _ 3) = \ det (a_ (32)) = 4; 18 mindreårige av 2. orden, for eksempel, M _ (() _ (23)) ^ (() ^ (12)) = \ begynnelse (vmatrise) 2 & 1 \\ 2 & 2 \ slutt (vmatrise) = 2; 4 mindre 3. orden, for eksempel,

M _ (() _ (134)) ^ (() ^ (123)) = \ begynnelse (vmatrise) 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \ slutt (vmatrise) = 0.

I en matrise A av størrelsen m \ ganger n, kalles rth ordens moll grunnleggende hvis det ikke er null, og alle (r + 1) -ro orden mindreårige er null eller de eksisterer ikke i det hele tatt.

Etter rangeringen av matrisen rekkefølgen til grunnmoll kalles. Det er ingen grunnmoll i nullmatrisen. Derfor antas rangeringen av nullmatrisen per definisjon å være null. Rangeringen av matrisen A er angitt \ operatørnavn (rg) A.

Eksempel 3.5. Finn alle grunnleggende mindreårige og rangering av en matrise

A = \ begynnelse (pmatrise) 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ slutt (pmatrise) \ !.

Løsning. Alle tredjeordens mindreårige i denne matrisen er lik null, siden disse determinantene har null tredje rad. Derfor kan bare andreordens moll som ligger i de to første radene i matrisen være grunnleggende. Når vi går gjennom 6 mulige mindreårige, velger vi ikke-null

M _ (() _ (12)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (13)) ^ (() ^ (12)) = \ begynne (vmatrise) 1 & 2 \\ 0 & 2 \ end ( vmatrise) \!, \ quad M _ (() _ (24)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (34)) ^ (() ^ (12) )) = \ begynne (vmatrise) 2 & 0 \\ 2 & 3 \ slutt (vmatrise) \!, \ Quad M _ (() _ (14)) ^ (() ^ (12)) = \ begynne (vmatrise) ) 1 & 0 \\ 0 & 3 \ end (vmatrise) \ !.

Hver av disse fem mindreårige er grunnleggende. Derfor er rangeringen av matrisen 2.

Merknader 3.2

1. Hvis i matrisen alle minorene i kth orden er lik null, så er minorene av høyere orden også lik null. Faktisk, ved å utvide (k + 1) -ro-ordren minor langs en hvilken som helst rad, får vi summen av produktene til elementene i denne raden med kth ordens moll, og de er lik null.

2. Rangeringen til en matrise er lik den høyeste orden av en moll som ikke er null i denne matrisen.

3. Hvis en kvadratisk matrise er ikke-degenerert, er rangeringen lik rekkefølgen. Hvis kvadratmatrisen er degenerert, er rangeringen mindre enn rekkefølgen.

4. Betegnelsene brukes også for rangen \ operatørnavn (Rg) A, ~ \ operatørnavn (rang) A, ~ \ operatørnavn (rangering) A.

5. Blokkmatriserangering er definert som rangeringen til en vanlig (numerisk) matrise, dvs. ikke ta hensyn til blokkstrukturen. Dessuten er rangeringen til en blokkmatrise ikke mindre enn rekkene til blokkene: \ operatørnavn (rg) (A \ midt B) \ geqslant \ operatørnavn (rg) A og \ operatørnavn (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ operatørnavn (rg) B siden alle minorer av matrisen A (eller B) også er minorer av blokkmatrisen (A \ mid B).

Grunnleggende moll- og matriserangeringsteoremer

Tenk på hovedsetningene som uttrykker egenskapene til lineær avhengighet og lineær uavhengighet til kolonner (rader) i en matrise.

Teorem 3.1 om grunnfaget. I en vilkårlig matrise A er hver kolonne (rad) en lineær kombinasjon av kolonnene (radene) der grunnmoll ligger.

Faktisk, uten tap av generalitet, antar vi at i en matrise A med størrelsen m \ ganger n, er grunnmoll plassert i de første r radene og de første r kolonnene. Vurder determinanten

D = \ begynne (vmatrise) ~ a_ (11) & \ cdots & a_ (1r) \! \! & \ Vline \! \! & A_ (1k) ~ \\ ~ \ vdots & \ ddots & \ vdots \! \! & \ vline \! \! & \ vdots ~ \\ ~ a_ (r1) & \ cdots & a_ (rr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (rk) ~ \\\ hline ~ a_ (s1) & \ cdots & a_ (sr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (sk) ~ \ end (vmatrise),

som oppnås ved å tilordne de korresponderende elementene i s-te rad og k-te kolonne til den grunnleggende minor av matrisen A. Merk at for evt 1 \ leqslant s \ leqslant m og denne determinanten er null. Hvis s \ leqslant r eller k \ leqslant r, så inneholder determinanten D to identiske rader eller to identiske kolonner. Hvis s> r og k> r, så er determinanten av D lik null, siden den er en moll av (r + l) -ro orden. Utvider determinanten langs den siste linjen, får vi

a_ (s1) \ cdot D_ (r + 11) + \ ldots + a_ (sr) \ cdot D_ (r + 1r) + a_ (sk) \ cdot D_ (r + 1 \, r + 1) = 0,

hvor D_ (r + 1 \, j) er de algebraiske komplementene til elementene i den siste raden. Legg merke til at D_ (r + 1 \, r + 1) \ ne0, siden dette er en grunnmoll. Derfor

a_ (sk) = \ lambda_1 \ cdot a_ (s1) + \ ldots + \ lambda_r \ cdot a_ (sr), hvor \ lambda_j = - \ frac (D_ (r + 1 \, j)) (D_ (r + 1 \, r + 1)), ~ j = 1,2, \ ldots, r.

\ begynne (pmatrix) a_ (1k) \\\ vdots \\ a_ (mk) \ end (pmatrix) = \ lambda_1 \ cdot \! \ begynne (pmatrix) a_ (11) \\\ vdots \\ a_ (m1) \ end (pmatrix) + \ ldots \ lambda_r \ cdot \! \ begynne (pmatrix) a_ (1r) \\\ vdots \\ a_ (mr) \ end (pmatrix) \ !.

de. k -te kolonne (for enhver 1 \ leqslant k \ leqslant n) er en lineær kombinasjon av kolonnene i grunnfaget, etter behov.

Det grunnleggende mindre teoremet tjener til å bevise følgende viktige teoremer.

Betingelsen for likhet til null av determinanten

Teorem 3.2 (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for å forsvinne av determinanten). For at determinanten skal være lik null, er det nødvendig og tilstrekkelig at en av dens kolonner (en av dens rader) er en lineær kombinasjon av de resterende kolonnene (radene).

Nødvendighet følger faktisk av det grunnleggende mindre teoremet. Hvis determinanten til en kvadratisk matrise av n-te orden er lik null, er rangeringen mindre enn n, dvs. minst én kolonne er ikke inkludert i grunnmoll. Da er denne valgte kolonnen, ved setning 3.1, en lineær kombinasjon av kolonnene der grunnfaget ligger. Ved å legge til, om nødvendig, til denne kombinasjonen andre kolonner med null koeffisienter, får vi at den valgte kolonnen er en lineær kombinasjon av de gjenværende kolonnene i matrisen. Tilstrekkelighet følger av egenskapene til determinanten. Hvis for eksempel den siste kolonnen A_n av determinanten \ det (A_1 ~ A_2 ~ \ cdots ~ A_n) uttrykt lineært i form av resten

A_n = \ lambda_1 \ cdot A_1 + \ lambda_2 \ cdot A_2 + \ ldots + \ lambda_ (n-1) \ cdot A_ (n-1),

deretter legge til A_n kolonne A_1 multiplisert med (- \ lambda_1), deretter kolonne A_2 multiplisert med (- \ lambda_2), osv. kolonne A_ (n-1) multiplisert med (- \ lambda_ (n-1)), får vi determinanten \ det (A_1 ~ \ cdots ~ A_ (n-1) ~ o) med en nullkolonne som er null (egenskap 2 til determinanten).

Matriserangeringsinvarians under elementære transformasjoner

Teorem 3.3 (om ranginvarians under elementære transformasjoner). Elementære transformasjoner av kolonnene (radene) i matrisen endrer ikke rangeringen.

Faktisk, la det være. Anta at som et resultat av en elementær transformasjon av kolonnene i matrisen A, fikk vi matrisen A ". Hvis transformasjonen av type I (permutasjon av to kolonner) ble utført, vil enhver mindre (r + l) -ro av rekkefølgen til matrisen A" er enten lik den tilsvarende minor (r + l ) -ro av rekkefølgen til matrisen A, eller skiller seg fra den i fortegn (egenskap 3 til determinanten). Hvis en type II-transformasjon ble utført (multiplikasjon av en kolonne med tallet \ lambda \ ne0), så er enhver moll (r + l) -ro av rekkefølgen av matrise A "enten lik den tilsvarende moll (r + l) - ro av rekkefølgen av matrise A, eller avviker fra den faktor \ lambda \ ne0 (egenskap 6 av determinanten) Hvis det ble utført en transformasjon av type III (addisjon til en kolonne i en annen kolonne multiplisert med tallet \ Lambda), vil evt. moll av (r + 1) th orden av matrisen A "er enten lik den tilsvarende minor (r + 1) -th orden av matrisen A (egenskap 9 av determinanten), eller er lik summen av to minor av (r + l) -ro rekkefølgen til matrisen A (egenskap 8 til determinanten). Derfor, under en elementær transformasjon av en hvilken som helst type, er alle minorene i (r + l) -ro-rekkefølgen til matrisen A "lik null, siden alle minorene i (r + l) -ro-ordenen til matrisen A er lik null Siden transformasjoner invers til elementære er elementære, kan rangeringen av en matrise under elementære transformasjoner av kolonner ikke og reduseres, dvs. den endres ikke. Tilsvarende er det bevist at rangeringen til en matrise ikke endres under elementære transformasjoner av rader.

Konsekvens 1. Hvis en rad (kolonne) i matrisen er en lineær kombinasjon av de andre radene (kolonnene), kan denne raden (kolonnen) slettes fra matrisen uten å endre rangeringen.

En slik streng kan faktisk gjøres null ved å bruke elementære transformasjoner, og nullstrengen kan ikke inkluderes i den grunnleggende minor.

Konsekvens 2. Hvis matrisen er redusert til den enkleste formen (1.7), da

\ operatørnavn (rg) A = \ operatørnavn (rg) \ Lambda = r \ ,.

Faktisk har matrisen til den enkleste formen (1.7) en grunnmoll av rth orden.

Konsekvens 3. Enhver ikke-degenerert kvadratmatrise er elementær, med andre ord, enhver ikke-degenerert kvadratmatrise er ekvivalent med identitetsmatrisen av samme rekkefølge.

Faktisk, hvis A er en ikke-degenerert kvadratmatrise av orden n, da \ operatørnavn (rg) A = n(se punkt 3 i merknad 3.2). Derfor, ved å redusere matrisen A til den enkleste formen (1.7) ved elementære transformasjoner, får vi enhetsmatrisen \ Lambda = E_n, siden \ operatørnavn (rg) A = \ operatørnavn (rg) \ Lambda = n(se konsekvens 2). Følgelig er matrisen A ekvivalent med identitetsmatrisen E_n og kan oppnås fra den som et resultat av et begrenset antall elementære transformasjoner. Dette betyr at matrisen A er elementær.

Teorem 3.4 (på rangeringen av en matrise). Rangeringen til en matrise er lik det maksimale antallet lineært uavhengige rader i denne matrisen.

Faktisk, la \ operatørnavn (rg) A = r... Da har matrisen A r lineært uavhengige rader. Dette er linjene der grunnmollen befinner seg. Hvis de var lineært avhengige, ville denne moll være lik null ved setning 3.2, og rangeringen til matrisen A ville ikke være lik r. La oss vise at r er det maksimale antallet lineært uavhengige rader, det vil si, eventuelle p-rader er lineært avhengige for p> r. Faktisk danner vi en matrise B fra disse p radene. Siden matrise B er en del av matrise A, altså \ operatørnavn (rg) B \ leqslant \ operatørnavn (rg) A = r

Derfor er minst én rad av matrisen B ikke inkludert i den grunnleggende minor av denne matrisen. Deretter er det ved den grunnleggende mollsetningen lik en lineær kombinasjon av radene der den grunnleggende mollsetningen er plassert. Derfor er radene i matrise B lineært avhengige. Dermed inneholder matrisen A høyst r lineært uavhengige rader.

Konsekvens 1. Maksimalt antall lineært uavhengige rader i en matrise er lik det maksimale antallet lineært uavhengige kolonner:

\ operatørnavn (rg) A = \ operatørnavn (rg) A ^ T.

Dette utsagnet følger av setning 3.4 hvis vi anvender det på radene i den transponerte matrisen og tar hensyn til at minorene ikke endres under transposisjonen (egenskap 1 til determinanten).

Konsekvens 2. Under elementære transformasjoner av radene i en matrise bevares den lineære avhengigheten (eller lineær uavhengighet) til ethvert system av kolonner i denne matrisen.

Faktisk, la oss velge hvilke som helst k kolonner av den gitte matrisen A og komponere matrise B fra dem. La, som et resultat av elementære transformasjoner av radene i matrisen A, matrisen A "ble oppnådd, og som et resultat av de samme transformasjonene av radene i matrisen B ble matrisen B oppnådd. Ved teorem 3.3 \ operatørnavn (rg) B "= \ operatørnavn (rg) B... Derfor, hvis kolonnene i matrisen B var lineært uavhengige, dvs. k = \ operatørnavn (rg) B(se konsekvens 1), da er kolonnene i matrisen B "også lineært uavhengige, siden k = \ operatørnavn (rg) B "... Hvis kolonnene i matrise B var lineært avhengige (k> \ operatørnavn (rg) B), da er også kolonnene i matrisen B "lineært avhengige (k> \ operatørnavn (rg) B ")... Følgelig, for alle kolonner i matrisen A, er lineær avhengighet eller lineær uavhengighet bevart under elementære transformasjoner av rader.

Merknader 3.3

1. I kraft av konsekvens 1 av setning 3.4, er egenskapen til kolonner angitt i konsekvens 2 også gyldig for ethvert system av rader i en matrise hvis elementære transformasjoner kun utføres på dens kolonner.

2. Konsekvens 3 av teorem 3.3 kan foredles som følger: enhver ikke-degenerert kvadratisk matrise, ved bruk av elementære transformasjoner av bare radene (eller bare kolonnene), kan reduseres til identitetsmatrisen av samme rekkefølge.

Faktisk, ved å bruke bare elementære radtransformasjoner, kan enhver matrise A reduseres til en forenklet form \ Lambda (fig. 1.5) (se teorem 1.1). Siden matrisen A er ikke-degenerert (\ det (A) \ ne0), er kolonnene lineært uavhengige. Derfor er kolonnene i matrisen \ Lambda også lineært uavhengige (konsekvens 2 av setning 3.4). Derfor faller den forenklede formen \ Lambda av den ikke-degenererte matrisen A sammen med dens enkleste form (fig. 1.6) og er identitetsmatrisen \ Lambda = E (se konsekvens 3 av setning 3.3). Ved å transformere bare radene i en ikke-degenerert matrise, kan den således reduseres til identiteten. Lignende resonnement er gyldig for elementære transformasjoner av kolonnene i en ikke-degenerert matrise.

Produktets rangering og summen av matriser

Teorem 3.5 (om rangeringen av et produkt av matriser). Rangeringen av matriseproduktet overskrider ikke rangeringen av faktorene:

\ operatørnavn (rg) (A \ cdot B) \ leqslant \ min \ (\ operatørnavn (rg) A, \ operatørnavn (rg) B \).

Faktisk, la matrisene A og B ha dimensjonene m \ ganger p og p \ ganger n. Vi tildeler matrisen A matrisen C = AB \ kolon \, (A \ midt C)... Det sier seg selv \ operatørnavn (rg) C \ leqslant \ operatørnavn (rg) (A \ mid C), siden C er en del av matrisen (A \ midt C) (se punkt 5 i merknad 3.2). Merk at hver kolonne C_j, i henhold tiln, er en lineær kombinasjon av kolonner A_1, A_2, \ ldots, A_p matriser A = (A_1 ~ \ cdots ~ A_p):

C_ (j) = A_1 \ cdot b_ (1j) + A_2 \ cdot b_ (2j) + \ ldots + A_ (p) \ cdot b_pj), \ quad j = 1,2, \ ldots, n.

En slik kolonne kan slettes fra matrisen (A \ midt C) uten å endre rangeringen (konsekvens 1 av setning 3.3). Ved å krysse ut alle kolonnene i matrisen C får vi: \ operatørnavn (rg) (A \ mid C) = \ operatørnavn (rg) A... Derfor, \ operatørnavn (rg) C \ leqslant \ operatørnavn (rg) (A \ mid C) = \ operatørnavn (rg) A... På samme måte kan man bevise at tilstanden \ operatørnavn (rg) C \ leqslant \ operatørnavn (rg) B, og trekk en konklusjon om gyldigheten av teoremet.

Konsekvens. Hvis A er altså en ikke-degenerert kvadratisk matrise \ operatørnavn (rg) (AB) = \ operatørnavn (rg) B og \ operatørnavn (rg) (CA) = \ operatørnavn (rg) C, dvs. rangeringen av matrisen endres ikke hvis den multipliseres til venstre eller høyre med en ikke-degenerert kvadratmatrise.

Teorem 3.6 om rangeringen av summen av matriser. Rangeringen av summen av matriser overstiger ikke summen av rekkene av leddene:

\ operatørnavn (rg) (A + B) \ leqslant \ operatørnavn (rg) A + \ operatørnavn (rg) B.

Faktisk, vi komponerer matrisen (A + B \ mid A \ mid B)... Merk at hver kolonne i matrisen A + B er en lineær kombinasjon av kolonnene i matrisene A og B. Derfor \ operatørnavn (rg) (A + B \ mid A \ mid B) = \ operatørnavn (rg) (A \ mid B)... Tatt i betraktning at antall lineært uavhengige kolonner i matrisen (A \ midt B) ikke overstiger \ operatørnavn (rg) A + \ operatørnavn (rg) B, a \ operatørnavn (rg) (A + B) \ leqslant \ operatørnavn (rg) (A + B \ mid A \ mid B)(se punkt 5 i merknad 3.2), oppnår vi den nødvendige ulikheten.

Elementær følgende matrisetransformasjoner kalles:

1) permutering av to rader (eller kolonner),

2) multiplisere en rad (eller kolonne) med et tall som ikke er null,

3) legge til en rad (eller kolonne) en annen rad (eller kolonne) multiplisert med et tall.

De to matrisene kalles tilsvarende hvis en av dem er hentet fra den andre ved å bruke et begrenset sett med elementære transformasjoner.

Ekvivalente matriser er generelt sett ikke like, men deres rekker er like. Hvis matrisene A og B er likeverdige, skrives det slik: A ~ B.

Det kanoniske en matrise er en matrise der det i begynnelsen av hoveddiagonalen er flere enere på rad (hvis antallet kan være lik null), og alle andre elementer er lik null, for eksempel,

Ved hjelp av elementære transformasjoner av rader og kolonner kan enhver matrise reduseres til den kanoniske. Rangeringen til en kanonisk matrise er lik antallet enere på hoveddiagonalen.

Eksempel 2 Finn rangeringen til en matrise

A =

og bringe den til den kanoniske formen.

Løsning. Trekk fra den første fra den andre linjen og omorganiser disse linjene:

.

Trekk nå den første fra den andre og tredje linjen, multiplisert med henholdsvis 2 og 5:

;

trekk den første fra den tredje linjen; vi får matrisen

B = ,

som tilsvarer matrise A, siden den er hentet fra den ved å bruke et begrenset sett med elementære transformasjoner. Det er klart at rangeringen til matrisen B er lik 2, og derfor er r (A) = 2. Matrise B kan enkelt reduseres til den kanoniske. Ved å trekke den første kolonnen, multiplisert med passende tall, fra alle påfølgende, konverterer vi til null alle elementene i den første raden, bortsett fra den første, og elementene i de gjenværende radene endres ikke. Så, ved å trekke fra den andre kolonnen, multiplisert med passende tall, fra alle påfølgende, la oss nullstille alle elementene i den andre raden, bortsett fra den andre, og få den kanoniske matrisen:

.

Kroonecker - Capelli-teoremet- kompatibilitetskriterium for et system med lineære algebraiske ligninger:

For at et lineært system skal være konsistent, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen til den utvidede matrisen til dette systemet er lik rangeringen til hovedmatrisen.

Bevis (kompatibilitetsbetingelser for systemet)

Trenge

La være system ledd. Så er det tall slik. Derfor er en kolonne en lineær kombinasjon av matrisekolonner. Siden rangeringen av en matrise ikke vil endres hvis vi fra systemet med radene (kolonner) sletter eller tilordner en rad (kolonne) som er en lineær kombinasjon av andre rader (kolonner), følger det at.

Tilstrekkelighet

La være . La oss ta noen grunnleggende moll i matrisen. Siden vil det også være grunnmoll i matrisen. Deretter, ifølge grunnsetningen liten, vil den siste kolonnen i matrisen være en lineær kombinasjon av grunnkolonnene, det vil si kolonnene i matrisen. Derfor er kolonnen av frie medlemmer av systemet en lineær kombinasjon av kolonnene i matrisen.

Konsekvenser

Antall hovedvariabler systemer er lik rangeringen av systemet.

Ledd system vil bli bestemt (løsningen er unik) hvis rangeringen av systemet er lik antallet av alle dets variabler.

Homogent ligningssystem

By på15 . 2 Homogent ligningssystem

er alltid felles.

Bevis... For dette systemet er settet med tall,,, en løsning.

I denne delen vil vi bruke systemmatrisenotasjonen:.

By på15 . 3 Summen av løsninger til et homogent system av lineære ligninger er en løsning på dette systemet. En løsning multiplisert med et tall er også en løsning.

Bevis... La dem tjene som løsninger på systemet. Så og. La være . Deretter

Siden da - løsningen.

La være et vilkårlig tall,. Deretter

Siden da - løsningen.

Konsekvens15 . 1 Hvis et homogent system av lineære ligninger har en løsning som ikke er null, så har det uendelig mange forskjellige løsninger.

Hvis du multipliserer en løsning som ikke er null med forskjellige tall, vil vi få forskjellige løsninger.

Definisjon15 . 5 Vi vil si at løsninger systemer dannes grunnleggende beslutningssystem hvis kolonner danner et lineært uavhengig system og enhver løsning på systemet er en lineær kombinasjon av disse kolonnene.

For å jobbe med begrepet rangering av en matrise trenger vi informasjon fra emnet "Algebraiske komplementer og bifag. Typer bifag og algebraiske komplementer". For det første gjelder dette begrepet "matrise minor", siden rangeringen av matrisen vil bli bestemt nøyaktig gjennom de mindreårige.

Etter rangeringen av matrisen den maksimale rekkefølgen av dens mindreårige kalles, blant dem er det minst en som ikke er lik null.

Ekvivalente matriser- matriser hvis rekker er lik hverandre.

La oss forklare mer detaljert. Anta at det er minst én ulik null-moll blant andreordens mindreårige. Og alle mindreårige, hvis rekkefølge er høyere enn to, er lik null. Konklusjon: rangeringen av matrisen er 2. Eller, for eksempel, blant de tiende ordens mindreårige er det minst en som ikke er lik null. Og alle mindreårige hvis rekkefølge er høyere enn 10 er lik null. Konklusjon: rangeringen av matrisen er 10.

Rangeringen av matrisen $ A $ er betegnet som $ \ rang A $ eller $ r (A) $. Rangeringen av nullmatrisen $ O $ antas å være null, $ \ rang O = 0 $. La meg minne deg på at for å danne en matrise-moll er det nødvendig å krysse ut rader og kolonner, men det er umulig å krysse ut flere rader og kolonner enn selve matrisen inneholder. For eksempel, hvis $ F $-matrisen er $ 5 \ ganger 4 $ (dvs. den inneholder 5 rader og 4 kolonner), så er den maksimale rekkefølgen for mindreårige fire. Det vil ikke lenger være mulig å danne mindreårige av femte orden, siden de vil kreve 5 kolonner (og vi har bare 4). Dette betyr at rangeringen av matrisen $ F $ ikke kan være mer enn fire, dvs. $ \ rang F≤4 $.

I en mer generell form betyr det ovenfor at hvis en matrise inneholder $ m $ rader og $ n $ kolonner, så kan ikke rangeringen overstige det minste av tallene $ m $ og $ n $, dvs. $ \ rang A≤ \ min (m, n) $.

I prinsippet, fra selve definisjonen av rangen følger metoden for å finne den. Prosessen med å finne rangeringen til en matrise per definisjon kan skjematisk representeres som følger:

Jeg vil forklare dette diagrammet mer detaljert. La oss begynne å tenke helt fra begynnelsen, dvs. med førsteordens mindreårige av en eller annen matrise $ A $.

1. Hvis alle mindreårige av første orden (dvs. elementene i matrisen $ A $) er lik null, vil $ \ rang A = 0 $. Hvis det blant de mindreårige av første orden er minst én som ikke er null, vil $ \ rang A≥ 1 $. La oss gå videre til å sjekke andreordens mindreårige.
2. Hvis alle andre ordens mindreårige er lik null, vil $ \ rang A = 1 $. Hvis det blant de mindreårige av andre orden er minst én som ikke er null, vil $ \ rang A≥ 2 $. La oss gå videre til å sjekke tredjeordens mindreårige.
3. Hvis alle tredjeordens mindreårige er lik null, vil $ \ rang A = 2 $. Hvis det blant de mindreårige av tredje orden er minst én som ikke er null, vil $ \ rang A≥ 3 $. La oss gå videre til å sjekke fjerde ordens mindreårige.
4. Hvis alle mindreårige av fjerde orden er lik null, vil $ \ rang A = 3 $. Hvis det blant de mindreårige av fjerde orden er minst én som ikke er null, vil $ \ rang A≥ 4 $. La oss gå videre til å sjekke 5. ordens mindreårige, og så videre.

Hva venter oss på slutten av denne prosedyren? Det er mulig at blant de mollige av den k. orden er det minst én ikke-null, og alle de mollige i (k + 1) orden vil være lik null. Dette betyr at k er den maksimale rekkefølgen av mindreårige, blant dem er det minst en som ikke er lik null, dvs. rangen vil være k. Situasjonen kan være annerledes: Blant de mindreårige i kth orden vil det være minst en som ikke er lik null, og det vil ikke lenger være mulig å danne de mindreårige i (k + 1) th orden. I dette tilfellet er rangeringen av matrisen også k. Kort sagt, rekkefølgen til den sist komponerte moll som ikke er null og vil være lik rangeringen av matrisen.

La oss gå videre til eksempler der prosessen med å finne rangeringen til en matrise per definisjon vil bli illustrert visuelt. Nok en gang understreker jeg at i eksemplene i dette emnet vil vi begynne å finne rangeringen av matriser ved å bruke bare definisjonen av rangeringen. Andre metoder (beregning av rangeringen til en matrise ved hjelp av metoden for å grense til mindreårige, beregning av rangeringen av en matrise ved hjelp av metoden for elementære transformasjoner) vurderes i følgende emner.

Forresten, det er overhodet ikke nødvendig å starte prosedyren for å finne rangeringen med de mindreårige i den minste orden, slik det er gjort i eksemplene # 1 og # 2. Du kan gå rett til høyere mindreårige (se eksempel # 3).

Eksempel #1

Finn rangeringen til matrisen $ A = \ venstre (\ begynnelse (matrise) (ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \ ende (matrise) \ høyre) $.

Denne matrisen har størrelse $ 3 \ ganger 5 $, dvs. inneholder tre rader og fem kolonner. Av tallene 3 og 5 er minimum 3; derfor er rangeringen av matrisen $ A $ maksimalt 3, dvs. $ \ rang A≤ 3 $. Og denne ulikheten er åpenbar, siden vi ikke lenger vil være i stand til å danne mindreårige av den fjerde orden - de trenger 4 rader, og vi har bare 3. La oss fortsette direkte til prosessen med å finne rangeringen til en gitt matrise.

Blant førsteordens mindreårige (det vil si blant elementene i matrisen $ A $) er det ikke-null. For eksempel 5, -3, 2, 7. Generelt er vi ikke interessert i det totale antallet elementer som ikke er null. Det er minst ett element som ikke er null - og det er nok. Siden det blant førsteordens mindreårige er minst én som ikke er null, konkluderer vi med at $ \ rangerte A≥ 1 $ og fortsetter med å sjekke andreordens mindreårige.

La oss begynne å utforske andre-ordens mindreårige. For eksempel, i skjæringspunktet mellom rader # 1, # 2 og kolonner # 1, # 4 er det elementer av en slik moll: $ \ venstre | \ begynne (matrise) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (matrise) \ høyre | $. For denne determinanten er alle elementene i den andre kolonnen lik null, derfor er selve determinanten lik null, dvs. $ \ venstre | \ begynne (matrise) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ slutt (matrise) \ høyre | = 0 $ (se egenskap # 3 i emnet egenskaper for determinanter). Eller du kan ganske enkelt beregne denne determinanten ved å bruke formel # 1 fra delen om beregning av determinanter av andre og tredje orden:

$$ \ venstre | \ begynnelse (matrise) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ slutt (matrise) \ høyre | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0. $$

Den første moll av den andre rekkefølgen vi sjekket viste seg å være null. Hva betyr dette? Om det faktum at det er nødvendig å kontrollere de mindreårige i den andre orden ytterligere. Enten viser de seg alle å være null (og da vil rangeringen være lik 1), eller blant dem er det minst en mindre ikke-null. La oss prøve å gjøre et bedre valg ved å skrive ned andreordens moll hvis elementer er plassert i skjæringspunktet mellom rad #1, #2 og kolonne #1 og #5: $ \ venstre | \ start (array) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ ende (matrise) \ høyre | $. La oss finne verdien av denne andreordens minor:

$$ \ venstre | \ begynnelse (matrise) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ slutt (matrise) \ høyre | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1. $$

Denne mindre er ikke null. Konklusjon: blant de mindreårige av andre orden er det minst én som ikke er null. Derfor rangerte $ \ A≥ 2 $. Det er nødvendig å gå videre til studiet av tredjeordens mindreårige.

Hvis vi velger kolonne #2 eller kolonne #4 for å danne tredjeordens mindreårige, vil slike mindreårige være lik null (fordi de vil inneholde en nullkolonne). Det gjenstår å sjekke bare en mindre av den tredje orden, hvis elementer er plassert i skjæringspunktet mellom kolonnene nr. 1, nr. 3, nr. 5 og radene nr. 1, nr. 2, nr. 3. La oss skrive ned denne mindre og finne betydningen:

$$ \ venstre | \ begynnelse (matrise) (ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ slutt (matrise) \ høyre | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0. $$

Så alle tredjeordens mindreårige er null. Den siste moll som ikke var null vi kompilerte var av andre orden. Konklusjon: den maksimale rekkefølgen av mindreårige, blant hvilke det er minst én annen enn null, er 2. Derfor er $ \ rang A = 2 $.

Svar: $ \ rang A = 2 $.

Eksempel nr. 2

Finn rangeringen til matrisen $ A = \ venstre (\ start (matrise) (cccc) -1 & 3 & 2 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ ende (matrise) \ høyre) $.

Vi har en kvadratisk matrise av fjerde orden. Merk med en gang at rangeringen til denne matrisen ikke overstiger 4, dvs. $ \ rang A≤ 4 $. La oss begynne å finne rangeringen til matrisen.

Blant førsteordens mindreårige (det vil si blant elementene i matrisen $ A $) er det minst en ikke-null, derfor $ \ rang A≥ 1 $. La oss gå videre til å sjekke andreordens mindreårige. For eksempel, i skjæringspunktet mellom rader # 2, # 3 og kolonne # 1 og # 2, får vi følgende moll av andre rekkefølge: $ \ venstre | \ begynne (matrise) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ slutt (matrise) \ høyre | $. La oss beregne det:

$$ \ venstre | \ begynne (matrise) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ slutt (matrise) \ høyre | = 0-10 = -10. $$

Blant de mindreårige av andre orden er det minst én som ikke er null, derfor $ \ rang A≥ 2 $.

La oss gå videre til tredje ordens mindreårige. La oss for eksempel finne en mindreårig, hvis elementer er plassert i skjæringspunktet mellom radene nr. 1, nr. 3, nr. 4 og kolonnene nr. 1, nr. 2, nr. 4:

$$ \ venstre | \ begynne (matrise) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \ slutt (matrise) \ høyre | = 105-105 = 0. $$

Siden denne tredjeordens mindreårige viste seg å være null, er det nødvendig å undersøke en annen tredjeordens mindreårig. Enten viser de seg alle å være lik null (da vil rangeringen være lik 2), eller blant dem er det minst en som ikke er lik null (da vil vi undersøke de mindreårige i fjerde orden). Vurder en tredjeordens mindreårig, hvis elementer er plassert i skjæringspunktet mellom radene nr. 2, nr. 3, nr. 4 og kolonnene nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$ \ venstre | \ begynne (matrise) (ccc) -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ slutt (matrise) \ høyre | = -28. $$

Blant de mindreårige av tredje orden er det minst én som ikke er null, derfor $ \ rang A≥ 3 $. La oss gå videre til å sjekke fjerde ordens mindreårige.

Enhver fjerdeordens mindreårig er plassert i skjæringspunktet mellom fire rader og fire kolonner i $ A $-matrisen. Med andre ord, fjerde ordens moll er determinanten for matrisen $ A $, siden denne matrisen inneholder nøyaktig 4 rader og 4 kolonner. Determinanten til denne matrisen ble beregnet i eksempel 2 av emnet "Reduksjon av rekkefølgen til determinanten. Dekomponering av determinanten på rad (kolonne)", så bare ta det ferdige resultatet:

$$ \ venstre | \ begynne (matrise) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ end (matrise) \ høyre | = 86. $$

Så den fjerde ordens moll er ikke null. Vi kan ikke lenger danne mindreårige av femte orden. Konklusjon: den høyeste rekkefølgen av mindreårige, blant hvilke det er minst én annen enn null, er 4. Totalt: $ \ rang A = 4 $.

Svar: $ \ rang A = 4 $.

Eksempel nr. 3

Finn rangeringen av matrisen $ A = \ venstre (\ begynne (matrise) (cccc) -1 & 0 & 2 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5 \ end ( array) \ right) $.

Merk med en gang at denne matrisen inneholder 3 rader og 4 kolonner, så $ \ rang A≤ 3 $. I de forrige eksemplene startet vi rangeringsprosessen ved å se på de minste (første) ordens mindreårige. Her vil vi prøve å umiddelbart sjekke de mindreårige av høyest mulig orden. For matrisen $ A $ er slike mindreårige av tredje orden. Tenk på en tredjeordens mindreårig hvis elementer ligger i skjæringspunktet mellom radene nr. 1, nr. 2, nr. 3 og kolonnene nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$ \ venstre | \ begynne (matrise) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ slutt (matrise) \ høyre | = -8-60-20 = -88. $$

Så den høyeste rekkefølgen av mindreårige, blant hvilke det er minst en som ikke er lik null, er 3. Derfor er rangeringen av matrisen 3, dvs. $ \ rang A = 3 $.

Svar: $ \ rang A = 3 $.

Generelt er det å finne rangeringen til en matrise per definisjon, i det generelle tilfellet, en ganske møysommelig oppgave. For eksempel har en matrise med relativt liten størrelse $ 5 \ ganger 4 $ 60 andreordens mindreårige. Og selv om 59 av dem er lik null, kan den 60. minor vise seg å være ikke-null. Deretter må du undersøke tredjeordens mindreårige, hvorav den gitte matrisen har 40 stykker. Vanligvis prøver de å bruke mindre tungvinte metoder, som metoden for å grense mindreårige eller metoden for tilsvarende transformasjoner.

Definisjon. Etter rangeringen av matrisen er det maksimale antallet lineært uavhengige linjer betraktet som vektorer.

Teorem 1 om rangeringen av en matrise. Etter rangeringen av matrisen er den maksimale rekkefølgen av en moll som ikke er null i matrisen.

Vi har allerede analysert begrepet et mindre i leksjonen ved å bruke determinanter, og nå skal vi generalisere det. La oss ta i matrisen noen rader og noen kolonner, og denne "noen" skal være mindre enn antall rader og kolonner i matrisen, og for rader og kolonner skal denne "noen" være det samme antallet. Så i skjæringspunktet mellom noen rader og hvor mange kolonner vil det være en matrise av lavere orden enn vår opprinnelige matrise. Determinanten for denne matrisen vil være minor av k-te orden hvis nevnte "noen" (antall rader og kolonner) er angitt med k.

Definisjon. Liten ( r+1) th orden, som den valgte mindreårige ligger innenfor r-te orden kalles grense for et gitt biår.

De to mest brukte er finne rangeringen av matrisen... den grenser til mindreårige og metode for elementære transformasjoner(etter Gauss-metoden).

Følgende teorem brukes for grensende minor-metoden.

Teorem 2 om rangeringen av en matrise. Hvis fra elementene i matrisen er det mulig å komponere en minor r orden, ikke lik null, så er rangeringen av matrisen r.

I metoden for elementære transformasjoner brukes følgende egenskap:

Hvis det ved elementære transformasjoner oppnås en trapesformet matrise som tilsvarer den opprinnelige, så rangeringen av denne matrisen er antall linjer i den, bortsett fra linjer som utelukkende består av nuller.

Finne rangeringen til en matrise ved hjelp av grensende mindreårige metoden

En grensende moll er en moll av høyere orden i forhold til en gitt, hvis denne moll av høyere orden inneholder et gitt bi.

For eksempel gitt matrisen

La oss ta en mindreårig

på grensen vil følgende mindreårige:

Algoritme for å finne rangeringen til en matrise neste.

1. Finn mindreårige som ikke er null av andre rekkefølge. Hvis alle andre-ordens mindreårige er lik null, vil rangeringen av matrisen være lik én ( r =1 ).

2. Hvis det er minst én andreordens moll som ikke er lik null, så komponer de grensende tredjeordens moll. Hvis alle de grensende mindreårige av den tredje orden er lik null, er rangeringen av matrisen lik to ( r =2 ).

3. Hvis minst en av de grensende mindreårige av tredje orden ikke er lik null, så komponerer vi de grensende mindreårige. Hvis alle de grensende mindreårige av den fjerde orden er lik null, er rangeringen av matrisen tre ( r =2 ).

4. Fortsett så lenge størrelsen på matrisen tillater det.

Eksempel 1. Finn rangeringen til en matrise

.

Løsning. Mindre av andre orden .

Vi rammer den inn. Det vil være fire grensende mindreårige:

,

,

Dermed er alle grensende mindreårige av tredje orden lik null, derfor er rangeringen til denne matrisen lik to ( r =2 ).

Eksempel 2. Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Rangeringen til denne matrisen er 1, siden alle andreordens mindreårige i denne matrisen er lik null (i dette, som i tilfellene med grensende mindreårige i de neste to eksemplene, inviteres kjære studenter til å sjekke selv, muligens ved å bruke reglene for beregning av determinanter), og blant førsteordens mindreårige , det vil si blant elementene i matrisen, er det ikke lik null.

Eksempel 3. Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Minor av andre rekkefølgen av denne matrisen, i alle mindretallet av tredje orden av denne matrisen er lik null. Derfor er rangeringen av denne matrisen to.

Eksempel 4. Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Rangeringen til denne matrisen er 3, siden den eneste tredjeordens mindreårige i denne matrisen er 3.

Finne rangeringen til en matrise ved hjelp av metoden for elementære transformasjoner (Gauss metode)

Allerede i eksempel 1 kan det sees at problemet med å bestemme rangeringen av en matrise ved hjelp av metoden for å grense til mindreårige krever beregning av et stort antall determinanter. Det er imidlertid en måte å holde mengden beregning på et minimum. Denne metoden er basert på bruk av elementære matrisetransformasjoner og kalles også Gauss-metoden.

Elementære matrisetransformasjoner forstås som følgende operasjoner:

1) multiplisere en hvilken som helst rad eller kolonne i matrisen med et annet tall enn null;

2) å legge til elementene i en hvilken som helst rad eller kolonne i matrisen de tilsvarende elementene i en annen rad eller kolonne, multiplisert med samme tall;

3) utveksling av to rader eller kolonner i matrisen;

4) fjerning av "null" linjer, det vil si de som alle elementer er lik null;

5) sletting av alle proporsjonale linjer, bortsett fra én.

Teorem. En elementær transformasjon endrer ikke rangeringen av matrisen. Med andre ord, hvis vi bruker elementære transformasjoner fra matrisen EN gikk til matrisen B, deretter .