In het binaire systeem worden slechts twee cijfers gebruikt, 0 en 1. Met andere woorden, twee is de basis van het binaire getallenstelsel. (Evenzo heeft het decimale stelsel grondtal 10.)
Om te leren hoe u getallen in een binair getalsysteem kunt begrijpen, moet u eerst bekijken hoe getallen worden gevormd in het decimale getalsysteem dat we gewend zijn.
In het decimale stelsel hebben we tien cijfers (van 0 tot 9). Wanneer de telling 9 bereikt, wordt een nieuw cijfer (tientallen) ingevoerd en worden de eenheden op nul gezet en begint de telling opnieuw. Na 19 wordt het tiental met 1 verhoogd en worden de tientjes weer op nul gezet. Enzovoort. Wanneer tientallen 9 bereiken, verschijnt de derde categorie - honderden.
Het binaire getalsysteem is vergelijkbaar met het decimale één, behalve dat er slechts twee cijfers betrokken zijn bij de vorming van het getal: 0 en 1. Zodra het cijfer zijn limiet bereikt (dwz één), verschijnt een nieuw cijfer en de oude is gereset.
Laten we proberen te tellen in een binair systeem:
0 is nul
1 is één (en dit is de ontladingslimiet)
10 is twee
11 is drie (en dit is weer de limiet)
100 is vier
101 - vijf
110 - zes
111 - zeven, enz.
Getallen converteren van binair naar decimaal
Het is niet moeilijk om op te merken dat in het binaire systeem de lengtes van getallen snel groeien met toenemende waarden. Hoe bepaal je wat dit betekent: 10001001? Niet gewend aan deze vorm van het schrijven van getallen, kan het menselijk brein meestal niet begrijpen hoeveel het is. Het zou leuk zijn om binaire getallen om te zetten naar decimale getallen.
In het decimale systeem kan elk getal worden weergegeven als een som van eenheden, tientallen, honderden, enz. Bijvoorbeeld:
1476 = 1000 + 400 + 70 + 6
1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0
Bekijk deze vermelding eens goed. Hier zijn de getallen 1, 4, 7 en 6 een reeks getallen die samen het getal 1476 vormen. Al deze getallen worden afwisselend vermenigvuldigd met tien tot een of andere graad verhoogd. Tien is de basis van het decimale getalsysteem. De mate waarin tien wordt verhoogd, is het cijfer van het cijfer min één.
Elk binair getal kan op dezelfde manier worden uitgebreid. Alleen de basis hier is 2:
10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0
1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137
Die. het getal 10001001 in grondtal 2 is gelijk aan 137 in grondtal 10. Het kan als volgt worden geschreven:
10001001 2 = 137 10
Waarom is het binaire getallenstelsel zo gewoon?
Het punt is dat het binaire getalsysteem een computertaal is. Elk cijfer moet op de een of andere manier op een fysiek medium worden weergegeven. Als dit een decimaal systeem is, moet je zo'n apparaat maken, dat in tien toestanden kan zijn. Het is ingewikkeld. Het is gemakkelijker om een fysiek element te maken dat maar in twee toestanden kan zijn (er is bijvoorbeeld stroom of geen stroom). Dit is een van de belangrijkste redenen waarom er zoveel aandacht wordt besteed aan het binaire getallenstelsel.
Decimaal naar binair conversie
Mogelijk moet u decimaal naar binair converteren. Een manier is om door twee te delen en een binair getal te vormen van de resten. U moet bijvoorbeeld de binaire notatie krijgen van het getal 77.
Om getallen snel van decimaal naar binair om te zetten, moet je de "2 tot de macht"-getallen goed kennen. Bijvoorbeeld 2 10 = 1024, enz. Hiermee kunt u enkele voorbeelden voor vertaling in letterlijk seconden oplossen. Een van deze taken is: taak A1 uit de demo USE 2012... Je kunt het getal natuurlijk lang en moeizaam delen door "2". Maar het is beter om anders te beslissen, waardoor kostbare tijd op het examen wordt bespaard.
De methode is heel eenvoudig. De essentie ervan is als volgt: als het te converteren getal uit het decimale stelsel gelijk is aan het getal "2 tot de macht", dan bevat dit getal in het binaire stelsel het aantal nullen gelijk aan de macht. Voeg "1" toe voor deze nullen.
- Laten we het getal 2 vertalen uit het decimale stelsel. 2 = 2 1. Daarom bevat het getal in het binaire systeem 1 nul. We zetten "1" ervoor en krijgen 10 2.
- Het omzetten van 4 van Decimaal systeem. 4 = 2 2. Daarom bevat het getal in het binaire systeem 2 nullen. We zetten "1" ervoor en krijgen 100 2.
- Het omzetten van 8 van Decimaal systeem. 8 = 2 3. Daarom bevat het getal in het binaire systeem 3 nullen. We zetten "1" vooraan en krijgen 1000 2.
Hetzelfde geldt voor andere getallen "2 tot de macht".
Als het te vertalen getal kleiner is dan het getal "2 tot de macht" met 1, dan bestaat dit getal in het binaire systeem alleen uit enen, waarvan het getal gelijk is aan de macht.
- 3 omzetten van decimaal systeem. 3 = 2 2 -1. Daarom bevat het getal in het binaire systeem 2 enen. We krijgen 11 2.
- Het omzetten van 7 van Decimaal systeem. 7 = 2 3 -1. Daarom bevat het getal in het binaire systeem 3 enen. We krijgen 111 2.
In de figuur geven de vierkanten de binaire representatie van het getal aan, en aan de linkerkant, in roze, het decimaalteken.
De vertaling is vergelijkbaar voor andere nummers "2 to the power-1".
Het is duidelijk dat de vertaling van getallen van 0 tot 8 snel of door deling kan worden gedaan, of gewoon uit het hoofd hun vertegenwoordiging in het binaire systeem kan kennen. Ik heb deze voorbeelden gegeven zodat u het principe van deze methode begrijpt en deze kunt gebruiken om meer "indrukwekkende getallen" te vertalen, bijvoorbeeld om de getallen 127.128, 255, 256, 511, 512, enz. te vertalen.
U kunt dergelijke problemen tegenkomen wanneer u een getal moet vertalen dat niet gelijk is aan het getal "2 tot de macht", maar er dichtbij komt. Het kan meer of minder zijn dan het getal "2 to the power". Het verschil tussen het vertaalde getal en het getal "2 to the power" moet klein zijn. Bijvoorbeeld maximaal 3. De weergave van getallen van 0 tot 3 in het binaire systeem moet u alleen weten zonder vertaling.
Als het getal groter is, lossen we het als volgt op:
Eerst vertalen we het getal "2 naar de macht" in het binaire systeem. En dan voegen we er het verschil tussen het getal "2 tot de macht" en het te vertalen getal aan toe.
Laten we bijvoorbeeld 19 vertalen uit het decimale stelsel. Het is meer dan het getal "2 to the power" met 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Als het getal kleiner is dan het getal "2 to the power", dan is het handiger om het getal "2 to the power-1" te gebruiken. We lossen het als volgt op:
Eerst vertalen we het getal "2 naar de macht-1" in het binaire systeem. En trek daar dan het verschil van af tussen het getal "2 tot de macht-1" en het te vertalen getal.
Laten we bijvoorbeeld 29 vertalen uit het decimale stelsel. Het is meer dan het getal "2 to the power-1" met 2. 29 = 31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Als het verschil tussen het vertaalde getal en het getal "2 tot de macht" meer dan drie is, dan kun je het getal in componenten splitsen, elk deel in een binair systeem vertalen en optellen.
Vertaal bijvoorbeeld het getal 528 uit het decimale stelsel. 528 = 512 + 16. We vertalen apart 512 en 16.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Voeg het nu toe in een kolom:
Opmerking 1
Als je een getal van het ene getalstelsel naar het andere wilt vertalen, is het handiger om het eerst in het decimale getalstelsel te vertalen, en dan pas van het decimale getal naar een ander getalstelsel.
Regels voor het converteren van getallen van elk getalsysteem naar decimaal
Bij computergebruik, gebruikmakend van machinale rekenkunde, speelt de conversie van getallen van het ene getalsysteem naar het andere een belangrijke rol. Hieronder staan de basisregels voor dergelijke transformaties (vertalingen).
Bij het converteren van een binair getal naar decimaal, is het vereist om het binaire getal weer te geven in de vorm van een polynoom, waarvan elk element wordt weergegeven als een product van het cijfer van het getal en de overeenkomstige macht van het grondtal, in dit geval $ 2 $, en dan moet je de polynoom berekenen volgens de regels van de decimale rekenkunde:
$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
Figuur 1. Tabel 1
voorbeeld 1
Het getal $ 11110101_2 $ converteert naar decimale notatie.
Oplossing. Met behulp van de bovenstaande tabel van $ 1 $ graden van basis $ 2 $, stellen we het getal voor in de vorm van een polynoom:
$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $
Om een getal van het octale getalsysteem naar decimaal te converteren, moet je het voorstellen als een polynoom, waarvan elk element wordt weergegeven als een product van het cijfer van het getal en de overeenkomstige macht van het grondtal, in dit geval $ 8 $, en dan moet je de polynoom berekenen volgens de regels van de decimale rekenkunde:
$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
Afbeelding 2. Tabel 2
Voorbeeld 2
Het getal $ 75013_8 $ wordt geconverteerd naar decimale notatie.
Oplossing. Met behulp van de tabel van $ 2 $ basisgraden $ 8 $, stellen we het getal voor in de vorm van een polynoom:
$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
Om een getal van het hexadecimale getalsysteem naar decimaal te converteren, is het nodig om het weer te geven als een polynoom, waarvan elk element wordt weergegeven als een product van het cijfer van het getal en de overeenkomstige macht van het grondtal, in dit geval $ 16 $, en dan moet je de polynoom berekenen volgens de regels van de decimale rekenkunde:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
Afbeelding 3. Tabel 3
Voorbeeld 3
Converteer het getal $ FFA2_ (16) $ naar decimale notatie.
Oplossing. Met behulp van de bovenstaande tabel van $ 3 $ graden van basis $ 8 $, stellen we het getal voor als een polynoom:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_ (10) $
Regels voor het converteren van getallen van een decimaal getalsysteem naar een ander
- Om een getal van decimaal naar binair om te zetten, moet het achtereenvolgens worden gedeeld door $ 2 $ totdat er een rest is die kleiner is dan of gelijk is aan $ 1 $. Een getal in het binaire systeem wordt weergegeven als een reeks van het laatste resultaat van deling en de rest van de deling in omgekeerde volgorde.
Voorbeeld 4
Zet het getal $ 22_ (10) $ om in binaire notatie.
Oplossing:
Figuur 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Om een getal van decimaal naar octaal om te zetten, moet het achtereenvolgens worden gedeeld door $ 8 totdat er een rest is die kleiner is dan of gelijk is aan $ 7. Het octale getal wordt weergegeven als een reeks cijfers van het resultaat van de laatste deling en de rest van de deling in omgekeerde volgorde.
Voorbeeld 5
Het getal $ 571_ (10) $ wordt omgezet in octale notatie.
Oplossing:
Figuur 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Om een getal van decimaal naar hexadecimaal om te zetten, moet het achtereenvolgens worden gedeeld door $ 16 totdat er een rest is die kleiner is dan of gelijk is aan $ 15. Het getal in het hexadecimale systeem wordt weergegeven als een reeks cijfers van het laatste resultaat van de deling en de rest van de deling in omgekeerde volgorde.
Voorbeeld 6
Het getal $ 7467_ (10) $ wordt geconverteerd naar hexadecimale notatie.
Oplossing:
Figuur 6.
$ 7467_ (10) = 1D2B_ (16) $
Om een correcte breuk van het decimale getalsysteem om te zetten in een niet-decimaal getal, is het noodzakelijk om het fractionele deel van het te converteren getal opeenvolgend te vermenigvuldigen met de basis van het systeem waarin het moet worden omgezet. Een fractie in het nieuwe systeem zal worden gepresenteerd in de vorm van hele delen van werken, te beginnen met de eerste.
Bijvoorbeeld: $ 0,3125 _ ((10)) $ in octaal ziet eruit als $ 0,24 _ ((8)) $.
In dit geval kunt u een probleem tegenkomen wanneer een oneindige (periodieke) breuk in een niet-decimaal getalsysteem kan overeenkomen met een definitieve decimale breuk. In dit geval is het aantal cijfers in de breuk in het nieuwe systeem afhankelijk van de vereiste nauwkeurigheid. Er moet ook worden opgemerkt dat gehele getallen heel blijven, en regelmatige breuken breuken blijven in elk getallenstelsel.
Regels voor het converteren van getallen van een binair getalsysteem naar een ander
- Om een getal van een binair getalsysteem naar een octaal te converteren, moet het worden verdeeld in drieklanken (drietallen van cijfers), beginnend met de minst significante bit, de meest significante drieklank zo nodig aanvullen met nullen en vervolgens elke drieklank vervangen door het overeenkomstige octale cijfer volgens tabel 4.
Afbeelding 7. Tabel 4
Voorbeeld 7
Converteer het getal $ 1001011_2 $ naar octale notatie.
Oplossing... Laten we met behulp van tabel 4 het getal converteren van binair naar octaal:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Om een getal van een binair getalsysteem naar hexadecimaal te converteren, moet het worden verdeeld in tetrads (vier cijfers), te beginnen met het minst significante bit, indien nodig door nullen toe te voegen aan de bovenste en vervolgens elke tetrad te vervangen door het overeenkomstige octale cijfer volgens naar tabel 4.
