Matrix-expressies
En nu komt er een voortzetting van het onderwerp, waarin we niet alleen nieuw materiaal zullen overwegen, maar ook acties met matrices zullen uitwerken.
Enkele eigenschappen van bewerkingen op matricesEr zijn nogal wat eigenschappen die betrekking hebben op bewerkingen met matrices; in dezelfde Wikipedia kun je de ordelijke rangschikking van de overeenkomstige regels bewonderen. In de praktijk zijn veel eigenschappen echter in zekere zin ‘dood’, omdat slechts een paar ervan worden gebruikt bij het oplossen van echte problemen. Mijn doel is om de praktische toepassing van de eigenschappen te bekijken met specifieke voorbeelden, en als je een rigoureuze theorie nodig hebt, gebruik dan een andere informatiebron.
Laten we eens kijken naar enkele uitzonderingen op de regel die nodig zijn om praktische taken uit te voeren.
Als een vierkante matrix een inverse matrix heeft, dan is hun vermenigvuldiging commutatief: 
Een identiteitsmatrix is een vierkante matrix waarvan hoofddiagonaal eenheden bevinden zich en de overige elementen zijn gelijk aan nul. Bijvoorbeeld: , enz.
In dit geval is de volgende eigenschap waar: als een willekeurige matrix links of rechts wordt vermenigvuldigd met een identiteitsmatrix van geschikte grootte, is het resultaat de oorspronkelijke matrix:
Zoals je kunt zien, vindt hier ook de commutativiteit van matrixvermenigvuldiging plaats.
Laten we een matrix nemen, laten we zeggen de matrix uit het vorige probleem: 
.
Geïnteresseerden kunnen controleren en ervoor zorgen dat: 
De eenheidsmatrix voor matrices is een analoog van de numerieke eenheid voor getallen, wat vooral duidelijk blijkt uit de zojuist besproken voorbeelden.
Commutativiteit van een numerieke factor met betrekking tot matrixvermenigvuldigingVoor matrices en reële getallen geldt de volgende eigenschap: 
Dat wil zeggen dat de numerieke factor naar voren kan (en moet) worden verplaatst, zodat deze “niet interfereert” met vermenigvuldigingsmatrices.
Opmerking : over het algemeen is de formulering van de eigenschap onvolledig - de “lambda” kan overal tussen de matrices worden geplaatst, zelfs aan het einde. De regel blijft geldig als drie of meer matrices worden vermenigvuldigd.
Voorbeeld 4
Bereken product 
Oplossing :
(1) Volgens de accommodatie 
verplaats de numerieke factor naar voren. De matrices zelf kunnen niet worden herschikt!
(2) – (3) Voer matrixvermenigvuldiging uit.
(4) Hier kun je elk getal delen door 10, maar dan verschijnen er decimale breuken tussen de elementen van de matrix, wat niet goed is. We merken echter dat alle getallen in de matrix deelbaar zijn door 5, dus vermenigvuldigen we elk element met .
Antwoord : 
Een kleine poppenkast die je zelf kunt oplossen:
Voorbeeld 5
Bereken of 
De oplossing en het antwoord staan aan het einde van de les.
Welke techniek is belangrijk bij het oplossen van dergelijke voorbeelden? Laten we de cijfers uitzoeken ten slotte .
Laten we nog een rijtuig aan de locomotief koppelen:
Hoe drie matrices te vermenigvuldigen?Allereerst: WAT zou het resultaat moeten zijn van het vermenigvuldigen van drie matrices? Een kat zal geen muis baren. Als matrixvermenigvuldiging mogelijk is, zal het resultaat ook een matrix zijn. Hmmm, nou, mijn algebraleraar begrijpt niet hoe ik de geslotenheid van de algebraïsche structuur ten opzichte van zijn elementen verklaar =)
Het product van drie matrices kan op twee manieren worden berekend:
1) zoek en vermenigvuldig deze vervolgens met de matrix “ce”: ;
2) ofwel eerst vinden en dan vermenigvuldigen.
De resultaten zullen zeker samenvallen, en in theorie wordt deze eigenschap associativiteit van matrixvermenigvuldiging genoemd:
Voorbeeld 6
Vermenigvuldig matrices op twee manieren 
Het oplossingsalgoritme bestaat uit twee stappen: we vinden het product van twee matrices, en dan vinden we opnieuw het product van twee matrices.
1) Gebruik de formule
Actie één:
Akte twee:
2) Gebruik de formule
Actie één:
Akte twee:
Antwoord : 
De eerste oplossing is natuurlijk vertrouwder en standaarder, waarbij ‘alles in orde lijkt te zijn’. Trouwens, wat betreft de bestelling. Bij de onderhavige taak ontstaat vaak de illusie dat we het hebben over een soort permutaties van matrices. Ze zijn niet hier. Ik herinner u er nogmaals aan dat het in het algemeen ONMOGELIJK is om de matrixen te herschikken. Dus in de tweede alinea, in de tweede stap, voeren we vermenigvuldiging uit, maar doen we in geen geval . Met gewone getallen zou zo'n getal werken, maar met matrices niet.
De eigenschap van associatieve vermenigvuldiging geldt niet alleen voor vierkante, maar ook voor willekeurige matrices - zolang ze maar worden vermenigvuldigd:
Voorbeeld 7
Zoek het product van drie matrices 
Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. In de voorbeeldoplossing worden de berekeningen op twee manieren uitgevoerd; analyseren welk pad winstgevender en korter is.
De associativiteitseigenschap van matrixvermenigvuldiging is ook van toepassing op een groter aantal factoren.
Nu is het tijd om terug te keren naar de machten van matrices. Het kwadraat van de matrix wordt helemaal aan het begin beschouwd en de vraag op de agenda is:
Hoe een matrix en hogere machten te kubussen?Deze bewerkingen zijn ook alleen gedefinieerd voor vierkante matrices. Om een vierkante matrix te kubussen, moet je het product berekenen:
In feite is dit een speciaal geval van het vermenigvuldigen van drie matrices, volgens de associativiteitseigenschap van matrixvermenigvuldiging: En een matrix vermenigvuldigd met zichzelf is het kwadraat van de matrix:
We krijgen dus de werkformule:
Dat wil zeggen dat de taak in twee stappen wordt uitgevoerd: eerst moet de matrix worden gekwadrateerd en vervolgens moet de resulterende matrix worden vermenigvuldigd met de matrix.
Voorbeeld 8
Construeer de matrix tot een kubus.
Dit is een klein probleem dat u zelf kunt oplossen.
Het verheffen van een matrix tot de vierde macht gebeurt op een natuurlijke manier: 
Met behulp van de associativiteit van matrixvermenigvuldiging leiden we twee werkformules af. Ten eerste: – dit is het product van drie matrices.
1) . Met andere woorden, we vinden eerst en vermenigvuldigen het vervolgens met "zijn" - we krijgen een kubus, en ten slotte voeren we de vermenigvuldiging opnieuw uit - er zal een vierde macht zijn.
2) Maar er is een oplossing die een stap korter is: . Dat wil zeggen, in de eerste stap vinden we een vierkant en voeren we, voorbij de kubus, een vermenigvuldiging uit
Extra taak voor voorbeeld 8:
Verhef de matrix tot de vierde macht.
Zoals zojuist opgemerkt, kan dit op twee manieren worden gedaan:
1) Omdat de kubus bekend is, voeren we vermenigvuldiging uit.
2) Als het echter, afhankelijk van de omstandigheden van het probleem, nodig is om een matrix te construeren alleen tot de vierde macht, dan is het voordelig om het pad in te korten - zoek het kwadraat van de matrix en gebruik de formule.
Beide oplossingen en het antwoord staan aan het einde van de les.
Op dezelfde manier wordt de matrix verheven tot de vijfde en hogere macht. Uit praktijkervaring kan ik zeggen dat ik soms voorbeelden tegenkom van verheffen tot de 4e macht, maar van de vijfde macht herinner ik me niets. Maar voor het geval dat, zal ik het optimale algoritme geven:
1) vinden;
2) vinden;
3) verhef de matrix tot de vijfde macht: .
Dit zijn misschien alle basiseigenschappen van matrixbewerkingen die nuttig kunnen zijn bij praktische problemen.
In het tweede deel van de les wordt een even kleurrijke menigte verwacht.
Matrix-expressiesLaten we de gebruikelijke schooluitdrukkingen met cijfers herhalen. Een numerieke uitdrukking bestaat uit cijfers, wiskundige symbolen en haakjes, bijvoorbeeld: 
. Bij het berekenen is de bekende algebraïsche prioriteit geldig: ten eerste, beugels, vervolgens geëxecuteerd machtsverheffen/wortelen, Dan vermenigvuldigen/delen tenslotte - optellen/aftrekken.
Als een numerieke uitdrukking zinvol is, is het resultaat van de evaluatie ervan een getal, bijvoorbeeld:
Matrixuitdrukkingen werken bijna op dezelfde manier! Met dit verschil dat de hoofdpersonen matrices zijn. Plus enkele specifieke matrixbewerkingen, zoals het transponeren en vinden van de inverse van een matrix.
Beschouw de matrixuitdrukking 
, waar zijn enkele matrices. In deze matrixuitdrukking worden als laatste drie termen en optel-/aftrekkingsbewerkingen uitgevoerd.
In de eerste term moet je eerst de matrix “be” transponeren: , vervolgens de vermenigvuldiging uitvoeren en de “twee” in de resulterende matrix invoeren. Merk op dat de transponeerbewerking een hogere prioriteit heeft dan vermenigvuldiging. Haakjes, zoals in numerieke uitdrukkingen, veranderen de volgorde van acties: - hier wordt eerst de vermenigvuldiging uitgevoerd, vervolgens wordt de resulterende matrix getransponeerd en vermenigvuldigd met 2.
In de tweede term wordt eerst de matrixvermenigvuldiging uitgevoerd en wordt de inverse matrix uit het product gevonden. Als u de haakjes verwijdert: , moet u eerst de inverse matrix vinden en vervolgens de matrices vermenigvuldigen: . Het vinden van de inverse van een matrix heeft ook voorrang op vermenigvuldiging.
Met de derde term is alles duidelijk: we verhogen de matrix tot een kubus en voeren de "vijf" in de resulterende matrix in.
Als een matrixuitdrukking zinvol is, is het resultaat van de evaluatie ervan een matrix.
Alle taken zullen afkomstig zijn van echte tests, en we zullen beginnen met de eenvoudigste:
Voorbeeld 9
Gegeven matrices 
. Vinden:
Oplossing: de volgorde van de acties is duidelijk, eerst wordt vermenigvuldigd en vervolgens opgeteld.
Optelling kan niet worden uitgevoerd omdat de matrices verschillende afmetingen hebben.
Wees niet verrast; er worden bij dit soort taken vaak onmogelijke acties voorgesteld.
Laten we proberen de tweede uitdrukking te berekenen:
Hier is alles goed.
Antwoord: de actie kan niet worden uitgevoerd, 
.
Hier gaan we verder met het onderwerp bewerkingen op matrices, gestart in het eerste deel, en bekijken we een paar voorbeelden waarin meerdere bewerkingen tegelijk moeten worden toegepast.
Een matrix tot een macht verheffen.Laat k een niet-negatief geheel getal zijn. Voor elke vierkante matrix $A_(n\times n)$ geldt: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; times) $$
In dit geval gaan we ervan uit dat $A^0=E$, waarbij $E$ de identiteitsmatrix is van de overeenkomstige bestelling.
Voorbeeld nr. 4
Gegeven een matrix $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Zoek matrices $A^2$ en $A^6$.
Volgens de definitie is $A^2=A\cdot A$, d.w.z. om $A^2$ te vinden hoeven we alleen maar de matrix $A$ met zichzelf te vermenigvuldigen. De werking van matrixvermenigvuldiging werd besproken in het eerste deel van het onderwerp, dus hier zullen we eenvoudigweg het oplossingsproces opschrijven zonder gedetailleerde uitleg:
$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(matrix) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(matrix) \right)\cdot \left(\begin(matrix) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(matrix) \right)= \left(\begin(matrix) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(matrix) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(matrix) \right). $$
Om de matrix $A^6$ te vinden, hebben we twee opties. Optie één: het is triviaal om $A^2$ te blijven vermenigvuldigen met de matrix $A$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
U kunt echter een iets eenvoudiger route volgen, waarbij u de associativiteitseigenschap van matrixvermenigvuldiging gebruikt. Laten we haakjes plaatsen in de uitdrukking voor $A^6$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$
Als de oplossing volgens de eerste methode vier vermenigvuldigingsbewerkingen zou vereisen, dan zou de tweede methode er slechts twee nodig hebben. Laten we daarom de tweede manier kiezen:
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(matrix) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(matrix) \right)\cdot \left(\begin(matrix) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(matrix) \right)= \left(\begin(matrix) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(matrix) \right). $$
Antwoord: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.
Voorbeeld nr. 5
Gegeven matrices $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (matrix) \right)$, $ C=\left(\begin(matrix) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(matrix) \ juist)$. Zoek de matrix $D=2AB-3C^T+7E$.
We beginnen met het berekenen van de matrix $D$ door het resultaat van het product $AB$ te vinden. De matrices $A$ en $B$ kunnen worden vermenigvuldigd, aangezien het aantal kolommen van matrix $A$ gelijk is aan het aantal rijen van matrix $B$. Laten we $F=AB$ aanduiden. In dit geval zal de matrix $F$ drie kolommen en drie rijen hebben, d.w.z. zal vierkant zijn (als deze conclusie niet voor de hand ligt, zie dan de beschrijving van matrixvermenigvuldiging in het eerste deel van dit onderwerp). Laten we de matrix $F$ vinden door alle elementen ervan te berekenen:
$$ F=A\cdot B=\left(\begin(matrix) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(matrix) \right)\cdot \left(\begin(matrix) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\ \begin(uitgelijnd) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(uitgelijnd) $$
Dus $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Laten we verder gaan. Matrix $C^T$ is de getransponeerde matrix voor matrix $C$, d.w.z. $ C^T=\left(\begin(matrix) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(matrix) \right) $. De matrix $E$ is de identiteitsmatrix. In dit geval is de volgorde van deze matrix drie, d.w.z. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
In principe kunnen we stap voor stap doorgaan, maar het is beter om de resterende uitdrukking als geheel te beschouwen, zonder afgeleid te worden door hulpacties. In feite blijven er alleen de bewerkingen over van het vermenigvuldigen van matrices met een getal, evenals de bewerkingen van optellen en aftrekken.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(matrix) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(matrix) \right)-3\cdot \left(\begin(matrix) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(matrix) \ rechts)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$
Laten we de matrices aan de rechterkant van de gelijkheid vermenigvuldigen met de overeenkomstige getallen (dat wil zeggen met 2, 3 en 7):
$$ 2\cdot \left(\begin(matrix) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(matrix) \right)-3\ cdot \left(\begin(matrix) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(matrix) \right)+7\cdot \left(\ begin(matrix) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(matrix) \right)=\\= \left(\begin(matrix) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(matrix) \right)-\left(\begin(matrix) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(matrix) \right)+\left(\begin(matrix) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right) $$
Laten we de laatste stappen uitvoeren: aftrekken en optellen:
$$ \left(\begin(matrix) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(matrix) \right)-\left(\begin (matrix) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(matrix) \right)+\left(\begin(matrix) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(matrix) \right)= \left(\begin(matrix) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right). $$
Probleem opgelost, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .
Antwoord: $D=\left(\begin(matrix) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(matrix) \right)$.
Voorbeeld nr. 6
Stel $f(x)=2x^2+3x-9$ en matrix $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Bereken de waarde van $f(A)$.
Als $f(x)=2x^2+3x-9$, dan wordt $f(A)$ opgevat als de matrix:
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
Dit is hoe een polynoom uit een matrix wordt gedefinieerd. We moeten dus de matrix $A$ vervangen door de uitdrukking voor $f(A)$ en het resultaat verkrijgen. Omdat alle acties eerder in detail zijn besproken, zal ik hier eenvoudigweg de oplossing geven. Als het proces van het uitvoeren van de bewerking $A^2=A\cdot A$ voor u onduidelijk is, raad ik u aan de beschrijving van matrixvermenigvuldiging in het eerste deel van dit onderwerp te bekijken.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(matrix) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrix) \right)\cdot \left(\begin(matrix) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrix) \right)+3 \left(\begin(matrix) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrix) \right)-9\left(\begin(matrix) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(matrix) \right)=\\ =2 \left( \begin(matrix) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(matrix) \right)+3 \left(\begin(matrix) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrix) \right)-9 \left(\begin(matrix) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(matrix) \right)=\\ =2 \left(\begin(matrix) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(matrix) \right)+3 \left(\begin(matrix) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(matrix) \right)-9\left(\begin(matrix) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(matrix) \right) =\left(\begin(matrix) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(matrix) \right) +\left(\begin(matrix) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(matrix) \right)-\left(\begin(matrix) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(matrix) \right)=\left(\begin(matrix) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(matrix) \right). $$
Antwoord: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.
Opgemerkt moet worden dat voor deze bewerking alleen vierkante matrices kunnen worden gebruikt. Een gelijk aantal rijen en kolommen is een voorwaarde om een matrix tot een macht te kunnen verheffen. Tijdens de berekening wordt de matrix het vereiste aantal keren met zichzelf vermenigvuldigd.
Deze online rekenmachine is ontworpen om de bewerking uit te voeren waarbij een matrix tot een macht wordt verhoogd. Dankzij het gebruik ervan kunt u deze taak niet alleen snel aan, maar krijgt u ook een duidelijk en gedetailleerd beeld van de voortgang van de berekening zelf. Dit zal helpen om het in theorie verkregen materiaal beter te consolideren. Nadat u een gedetailleerd berekeningsalgoritme voor u heeft gezien, begrijpt u alle subtiliteiten ervan beter en kunt u vervolgens fouten in handmatige berekeningen voorkomen. Bovendien kan het nooit kwaad om je berekeningen nog eens te controleren, en dat kun je hier ook het beste doen.
Om een matrix online tot een macht te verheffen, heb je een aantal eenvoudige stappen nodig. Geef eerst de matrixgrootte op door op de pictogrammen “+” of “-” links ervan te klikken. Voer vervolgens de getallen in het matrixveld in. Je moet ook de macht aangeven waartoe de matrix is verheven. En dan hoeft u alleen nog maar op de knop ‘Bereken’ onder aan het veld te klikken. Het verkregen resultaat zal betrouwbaar en nauwkeurig zijn als u alle waarden zorgvuldig en correct heeft ingevoerd. Daarnaast ontvangt u een gedetailleerd transcript van de oplossing.
In juli 2020 lanceert NASA een expeditie naar Mars. Het ruimtevaartuig zal Mars een elektronisch medium bezorgen met de namen van alle geregistreerde expeditiedeelnemers.
Als dit bericht je probleem heeft opgelost of je het gewoon leuk vond, deel dan de link ernaar met je vrienden op sociale netwerken.
Eén van deze codeopties dient u te kopiëren en in de code van uw webpagina te plakken, bij voorkeur tussen tags en of direct na de tag. Volgens de eerste optie laadt MathJax sneller en vertraagt de pagina minder. Maar de tweede optie bewaakt en laadt automatisch de nieuwste versies van MathJax. Als u de eerste code invoert, moet deze periodiek worden bijgewerkt. Als u de tweede code invoegt, worden de pagina's langzamer geladen, maar hoeft u MathJax-updates niet voortdurend in de gaten te houden.
De eenvoudigste manier om MathJax te verbinden is in Blogger of WordPress: voeg in het siteconfiguratiescherm een widget toe die is ontworpen om JavaScript-code van derden in te voegen, kopieer de eerste of tweede versie van de hierboven weergegeven downloadcode erin en plaats de widget dichterbij naar het begin van de sjabloon (dit is overigens helemaal niet nodig, aangezien het MathJax-script asynchroon wordt geladen). Dat is alles. Leer nu de opmaaksyntaxis van MathML, LaTeX en ASCIIMathML, en u bent klaar om wiskundige formules in de webpagina's van uw site in te voegen.
Nog een oudejaarsavond... ijzig weer en sneeuwvlokken op de ruit... Dit alles was voor mij aanleiding om opnieuw te schrijven over... fractals, en wat Wolfram Alpha ervan weet. Er is een interessant artikel over dit onderwerp, dat voorbeelden bevat van tweedimensionale fractale structuren. Hier zullen we kijken naar meer complexe voorbeelden van driedimensionale fractals.
Een fractal kan visueel worden weergegeven (beschreven) als een geometrische figuur of lichaam (wat betekent dat beide een set zijn, in dit geval een set punten), waarvan de details dezelfde vorm hebben als de originele figuur zelf. Dat wil zeggen, dit is een op zichzelf gelijkende structuur, waarbij we de details onderzoeken waarvan we bij vergroting dezelfde vorm zullen zien als zonder vergroting. Terwijl we in het geval van een gewone geometrische figuur (geen fractal) bij vergroting details zullen zien die een eenvoudiger vorm hebben dan de originele figuur zelf. Bij een voldoende hoge vergroting ziet een deel van een ellips er bijvoorbeeld uit als een recht lijnsegment. Dit gebeurt niet bij fractals: bij elke toename ervan zullen we opnieuw dezelfde complexe vorm zien, die bij elke toename steeds opnieuw zal worden herhaald.
Benoit Mandelbrot, de grondlegger van de wetenschap van fractals, schreef in zijn artikel Fractals and Art in the Name of Science: “Fractalen zijn geometrische vormen die net zo complex zijn in hun details als in hun algehele vorm zal worden vergroot tot de grootte van het geheel, het zal als een geheel verschijnen, hetzij precies, hetzij misschien met een lichte vervorming."
