Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений. Интегрирование методом замены переменной Интегралы замена переменной примеры

Замена переменной в неопределенном интеграле используется при нахождении интегралов, в которых одна из функций является производной другой функции. Пусть есть интеграл $ \int f(x) dx $, сделаем замену $ x=\phi(t) $. Отметим, что функция $ \phi(t) $ является дифференцируемой, поэтому можно найти $ dx = \phi"(t) dt $.

Теперь подставляем $ \begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end{vmatrix} $ в интеграл и получаем, что:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

Эта и есть формула замены переменной в неопределенном интеграле .

Алгоритм метода замены переменной

Таким образом, если в задаче задан интеграл вида: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Целесообразно выполнить замену переменной на новую: $$ t = \phi(x) $$ $$ dt = \phi"(t) dt $$

После этого интеграл будет представлен в виде, который легко взять основными методами интегрирования: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t)dt $$

Не нужно забывать также вернуть замененную переменную назад к $ x $.

Примеры решений

Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.

Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:

То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.

Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:

Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:

(Здесь (ln(cosx))’ — .)

2. Замена переменной (метод подстановки)

Суть метода подстановки заключается в том, что в результате введения новой переменной заданный сложный интеграл приводится к табличному или такому, прием вычисления которого известен.

Пусть требуется вычислить интеграл . Существует два правила подстановки:

Общего правила подбора функции
не существует, но есть несколько типов подынтегральных функций, для которых имеются рекомендации по подбору функции
.

Замену переменных можно применять несколько раз, пока не будет получен результат.

Пример 1. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
.

Решение.

а) Среди табличных интегралов нет содержащих радикалы различных степеней, поэтому «хочется избавиться», прежде всего, от
и
. Для этого потребуется заменить х таким выражением, из которого легко извлекались бы оба корня:

б) Типичный пример, когда возникает желание «избавиться» от показательной функции
. Но в данном случае удобнее за новую переменную взять всё выражение, стоящее в знаменателе дроби:

;

в) Замечая, что в числителе стоит произведение
, являющееся частью дифференциала подкоренного выражения, заменим все это выражение новой переменной:

;

г) Здесь, как и в случае а), хочется избавиться от радикала. Но поскольку, в отличие от пункта а), здесь только один корень, то именно его и заменим новой переменной:

д) Здесь выбору замены способствуют два обстоятельства: с одной стороны интуитивное желание избавиться от логарифмов, с другой стороны – наличие выражения , являющегося дифференциалом функции
. Но так же как и в предыдущих примерах, в замену лучше включить и сопутствующие логарифму константы:

е) Здесь, так же как и в предыдущем примере, интуитивное желание избавиться от громоздкого показателя в подынтегральной функции согласуется с известным фактом:
(формула 8 таблицы 3). Поэтому имеем:

.

Замена переменных для некоторых классов функций

Рассмотрим некоторые классы функций, для которых могут быть рекомендованы определенные подстановки.

Таблица 4. Рациональные функции

Трансцендентные функции:

1.5.
– подстановка t = e x ;

1.6.
– подстановка t = log a x .

Пример 2. Найти интегралы от рациональных функций:

а)
; б)
;

в)
; д)
.

Решение.

а) Этот интеграл нет необходимости вычислять с помощью замены переменных, здесь проще использовать подведение под знак дифференциала:

б) Аналогично, используем подведение под знак дифференциала:

;

в) Перед нами интеграл типа 1.3 таблицы 4, воспользуемся соответствующими рекомендациями:

д) Аналогично предыдущему примеру:

Пример 3. Найти интегралы

а)
; б)
.

Решение.

б) Подынтегральное выражение содержит логарифм, поэтому воспользуемся рекомендацией 1.6. Только в данном случае удобнее заменить не просто функцию
, а все подкоренное выражение:

.

Таблица 6. Тригонометрические функции (R

Пример 4. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
; д)
.

Решение.

а) Здесь интегрируем тригонометрическую функцию. Применим универсальную подстановку (таблица 6, 3.1):

.

б) Здесь также применим универсальную подстановку:

.

Заметим, что в рассмотренном интеграле замену переменных пришлось применить дважды.

в) Вычисляем аналогично:

д) Рассмотрим два приема вычисления данного интеграла.

1)

.

Как видим, получили разные функции-первообразные. Это не означает, что один из использованных приемов дает неверный результат. Дело в том, что используя известные тригонометрические тождества, связывающие тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла, имеем

Таким образом, найденные первообразные совпадают друг с другом.

Пример 5. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
; г)
.

Решение.

а) В этом интеграле тоже можно применить универсальную подстановку
, но поскольку входящий в подынтегральную функцию косинус – в четной степени, то рациональнее использовать рекомендации пункта 3.1.3 таблицы 6:

б) Сначала приведем все тригонометрические функции, входящие в подынтегральное выражение к одному аргументу:

В полученном интеграле можно применить универсальную подстановку, но замечаем, что подынтегральная функция не меняет знак при изменении знаков синуса и косинуса:

Следовательно, функция обладает свойствами, указанными в пункте 3.1.3 таблицы 6, поэтому наиболее удобной будет подстановка
. Имеем:

в) Если в заданной подынтегральной функции поменять знак у косинуса, то вся функция поменяет знак:

.

Значит, подынтегральная функция обладает свойством, описанным в пункте 3.1.2. Следовательно, рационально воспользоваться подстановкой
. Но прежде, как и в предыдущем примере, преобразуем подынтегральную функцию:

г) Если в заданной подынтегральной функции поменять знак у синуса, то вся функция поменяет знак, значит, имеем случай, описанный в пункте 3.1.1 таблицы 6, поэтому новой переменной нужно обозначить функцию
. Но поскольку в подынтегральном выражении не наблюдается ни наличия функции
, ни ее дифференциала, предварительно преобразуем:

Пример 6. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
г)
.

Решение.

а) Данный интеграл относится к интегралам вида 3.2 таблицы 6. Поскольку синус в нечетной степени, то согласно рекомендациям, удобно заменить функцию
. Но сначала преобразуем подынтегральную функцию:

.

б) Данный интеграл относится к тому же типу, что и предыдущий, но здесь функции
и
имеют четные степени, поэтому нужно применить формулы понижения степени:
,
. Получим:

=

в) Преобразуем функцию:

г) Согласно рекомендациям 3.1.3 таблицы 6, в данном интеграле удобно сделать замену
. Получим:

Таблица 5. Иррациональные функции (R – рациональная функция своих аргументов)

Пример 7. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а) Данный интеграл можно отнести к интегралам вида 2.1, поэтому выполним соответствующую подстановку. Напомним, что смысл замены в этом случае состоит в том, чтобы избавиться от иррациональности. А это означает, что заменить следует подкоренное выражение такой степенью новой переменной, из которой извлекались бы все имеющиеся под интегралом корни. В нашем случае это, очевидно :

Под интегралом получилась неправильная рациональная дробь. Интегрирование таких дробей предполагает, прежде всего, выделение целой части. Поэтому разделим числитель на знаменатель:

Тогда получаем
, отсюда

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t[α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Пример 19. Вычислить

Положим t=2-х 2 . Тогда dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx и xdx=-dt. Если х=0, то t=2-0 2 =2, и если х=1, то t=2-1 2 =1. Следовательно:

Пример 20. Вычислить

Воспользуемся заменой переменной . Тогда и . Если х=0, то t=1 и, если х=5, то t=4. Выполняя замену, получим.

Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.

См. также: Таблица неопределенных интегралов
Основные элементарные функции и их свойства

Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .

Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .

Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

Тогда
.

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x) - это производная t по x , то
.

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x - это функция от t .
(2) ,
где t - это функция от x .

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2) . Положим t = x 2 + x . Тогда
;
;

.

Примеры интегрирования заменой переменной

1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x)′ = cos x . Тогда

.
Здесь мы применили подстановку t = sin x .

2) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что . Тогда

.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .

3) Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда

. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1 .

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b ,
где a и b - постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.

Примеры интегрирования линейными подстановками

A) Вычислить интеграл
.
Решение.
.

B) Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2 - это постоянная. Вычисляем интеграл.

.

C) Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.

.

D) Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.

.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .

.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.