Функции на сложна променлива.
Диференциране на функциите на сложна променлива.

Този член отваря серия от уроци, в които ще разгледам типични задачи, свързани с теорията на функциите на сложна променлива. За успешното развитие на примерите трябва да имате основни познания за сложни числа. За да се осигури и повторение, е достатъчно да посетите страницата. Също трябва да намерят умения частни деривати за втори ред. Тук те са това, тези частни деривати ... дори той самият е малко изненадан колко често има ...

Темата, която започваме да разглобяват, не представлява специални трудности и в функциите на сложна променлива, по принцип, всичко е разбираемо и достъпно. Основното е да се придържаме към основното правило, което произлиза от опитен начин. Прочетете!

Концепцията за сложна променлива функция

Първо, обновете знанията за училищната функция на една променлива:

Функцията на една променлива - Това е правилото, за което всяка стойност на независима променлива (от определената област) съответства на една и само една функционална стойност. Естествено, "x" и "igrek" - валидни номера.

В цялостния случай функционалната зависимост е дадена по същия начин:

Недвусмислена функция на сложна променлива - Това е правило, за което всеки цялостно Стойността на независима променлива (от зоната на дефиниция) съответства на един и само един цялостностойността на функцията. Теорията също адресира многоцелевите и някои други функции, но за простота ще спра на една дефиниция.

Каква е разликата между сложната променлива?

Основната разлика: числата са сложни. Аз не съм главан. От такива въпроси често попадат в ступор, в края на статията ще разкажа историята на страхотна история. В урока Комплексни номера за чайници Разгледахме сложен номер във формата. От сега буквата "Zet" е станала променлива, тогава ще бъдем обозначени, както следва:, в същото време, "X" и "Igrek" могат да вземат различни валидна стойности. Грубо казано, функцията на сложна променлива зависи от променливите и че "обикновените" стойности са взети. От този факт, следният елемент тече логично:

Функцията на сложната променлива може да бъде написана като:
къде и - две функции на две валидна променливи.

Функцията се нарича действителната част Функции.
Функцията се нарича въображаема част Функции.

Това означава, че функцията на сложната променлива зависи от двете валидни функции и. Най-накрая да изясним всичко разгледайте практическите примери:

Пример 1.

Решение:Независима променлива "Zet", както си спомняте, е написана във формата, така че:

(1) в оригиналната функция.

(2) За първи мандат се използва формулата на съкратеното умножение. В термина - отворени скоби.

(3) спретнато построен квадрат, без да забравяме това

(4) пренареждания на условията: първо пренапишете условията в който няма въображаема единица (Първа група), след това компонентите, където има (втора група). Трябва да се отбележи, че не е необходимо да се разбърква компонентите и този етап може да бъде пропуснат (в действителност, изпълнявайки го устно).

(5) Втората група, която издържаме зад скобите.

В резултат на това нашата функция беше представена под формата на

Отговор:
- действителната част от функцията.
- въображаема част от функцията.

Какво стана за функциите? Най-често срещаните функции на две променливи, от които можете да намерите такъв популярен частни деривати. Без милост ще намерим. Но малко по-късно.

Накратко алгоритъмът на пророката може да бъде написан, както следва: в оригиналната функция заменяме, ние извършваме опростяване и разделяме всички условия в две групи - без въображаема единица (действителната част) и с въображаема единица (въображаема единица (въображаема единица (въображаема част (въображаема част ).

Пример 2.

Намерете валидна и въображаема част от функцията

Това е пример за независимо решение. Преди с пуловете, бързайте да се биете на комплекса, да ви позволи да дадете най-важните съвети по темата:

БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!Необходимо е да бъдете, разбира се, навсякъде, но в сложни числа трябва да бъдат внимателни, повече от всякога! Не забравяйте, че внимателно отворете скобите, не губете нищо. Според моите наблюдения най-често срещаната грешка е загубата на знака. Не бързай!

Пълно решение и отговор в края на урока.

Сега куб. Използване на формулата на съкратеното умножение, оттегляне:
.

Формулите са много удобни за използване на практика, тъй като те значително ускорят процеса на вземане на решения.

Диференциране на функциите на сложна променлива.

Имам две новини: добро и лошо. Ще започна с добро. За функцията на всеобхватна променлива правилата за диференциация и таблицата на елементарните функции на деривати. По този начин производно се приема точно както в случая на функцията на действителната променлива.

Лошата новина е, че за много функции на сложната променлива дериватив изобщо не съществува и е необходимо да се разбере диференциално Тази или тази функция. И да "разберете", тъй като сърцето ви заплете, е свързано с допълнителни проблеми.

Помислете за функцията на сложната променлива. За да може тази функция да бъде диференцирана и достатъчно:

1) да съществуват частни деривати на първата поръчка. Веднага забравяме за тези обозначения, защото в теорията на функцията на сложна променлива се използва друга опция: .

2) така че така наречените cauchy riemann.:

Само в този случай ще има дериват!

Пример 3.

Решениесгънати в три последователни етапа:

1) Намерете валидна и въображаема част от функцията. Тази задача беше разглобена в предишни примери, така че ще напиша без коментар:

От тогава:

По този начин:

- въображаема част от функцията.

Ще спра в един технически момент: в какъв ред Запишете компонентите в реални и въображаеми части? Да, по принцип, без разлика. Например, действителната част може да бъде написана така: и въображаемо - като това:.

2) Проверете изпълнението на условията на Cauchy Riemann. Има две от тях.

Да започнем да проверяваме състоянието. намирам частни деривати:

По този начин състоянието е изпълнено.

Безспорно, приятни новини - частните деривати са почти винаги много прости.

Проверете изпълнението на второто условие:

Оказа се същото, но с противоположни признаци, т.е. състоянието също е изпълнено.

Условията на Cauchy Riemann се извършват, следователно, функцията е диференцирана.

3) Намерете дериватна функция. Деривата също е много проста и се намира в обичайните правила:

Въображаемата единица по време на диференциация се счита за постоянна.

Отговор: - действителната част - въображаема част.
Условията на Cauchy-Riemann са изпълнени.

Има още два начина да се намери дериват, те, разбира се, се прилагат по-рядко, но информацията ще бъде полезна за разбирането на втория урок - Как да намерим функция на сложна променлива?

Деривата може да бъде намерена по формулата:

В такъв случай:

По този начин

Необходимо е да се реши противоположната задача - в получения израз трябва да бъде изваден. За да направите това, е необходимо в компонентите и извадете скобата:

Обратното действие, колкото много забеляза, е малко по-трудно да се изпълни, винаги е по-добре да се вземе израз, за \u200b\u200bда се провери и върху черновете или устно да разкрият обратно скоби, като се уверите, че ще се окаже точно това

Огледална формула за намиране на производно:

В такъв случай: , така:

Пример 4.

Определят действителните и въображаеми части на функцията . Проверете изпълнението на условията на Cauchy-Riemann. В случай на условия на Cauchy-Riemann, намерете дериватна функция.

Резюме и примерен дизайн на извадката в края на урока.

Cauchy-riemann винаги е доволен? Теоретично те не се изпълняват по-често, отколкото се изпълняват. Но в практически примери, не помня случая, за да не бъдат изпълнени \u003d) по такъв начин, ако имате "не сравнявайте" частните деривати, след това с много висока вероятност можем да кажем, че сте направили грешка някъде.

Нека усложним нашите функции:

Пример 5.

Определят действителните и въображаеми части на функцията . Проверете изпълнението на условията на Cauchy-Riemann. Изчисли

Решение: Алгоритъмът се поддържа напълно, но в края на краищата ще добави нов шрифт: намиране на производно в точката. За Куба желаната формула вече е премахната:

Ние определяме действителните и въображаеми части на тази функция:

Внимание и още веднъж внимание!

От тогава:


По този начин:
- действителната част от функцията;
- въображаема част от функцията.

Проверка на второто условие:

Оказа се същото, но с противоположни признаци, т.е. състоянието също е изпълнено.

Условията на Cauchy-Riemann се извършват, следователно функцията е диференцирана:

Изчислете стойността на производа в желаната точка:

Отговор: Извършват се условия на Cauchy-Riemann,

Често се срещат функции с кубчета, така че пример за фиксиране:

Пример 6.

Определят действителните и въображаеми части на функцията . Проверете изпълнението на условията на Cauchy-Riemann. Изчисли.

Решение и извадка от довършителен дизайн в края на урока.

В теорията на всеобхватния анализ се идентифицират други функции на сложния аргумент: изложители, синуси, косинус и др. Тези функции имат необичайни и дори странни свойства - и е наистина интересно! Наистина искам да кажа, но тук се оказа, а не директория или урок, и Resebnik, така че ще разгледам една и съща задача с някои общи черти.

Първо за т.нар формули на еулер:

За всеки валидна Брой панаирни формули:

Можете също така да пренапишете в преносимия компютър като референтен материал.

Строго говорейки, формулата е само една, но обикновено тя е написана за удобство и специален случай с минус в индикатора. Параметърът не е длъжен да бъде самотен клюн, като сложен израз, функция, е важно само да се вземе само валидни стойности. Всъщност, ще го видим сега:

Пример 7.

Намерете дериват.

Решение: Общата линия на партидата остава непоклатима - е необходимо да се подчертаят действителните и въображаеми части на функцията. Ще дам подробно решение, а след това ще завърша всяка стъпка:

Защото, тогава:

(1) Заместник вместо "Zet".

(2) След заместването трябва да подчертаете действителната и въображаемата част първо в индикатора Изложители. За това разкриване на скоби.

(3) Ние групираме въображаема част от индикатора, което прави въображаема единица за скоби.

(4) използваме училищно действие с градуси.

(5) За множител използваме формулата на Euler, докато.

(6) В резултат на това разкриват скоби:

- действителната част от функцията;
- въображаема част от функцията.

По-нататъшни действия са стандартни, проверете изпълнението на условията на Cauchy-Riemann:

Пример 9.

Определят действителните и въображаеми части на функцията . Проверете изпълнението на условията на Cauchy-Riemann. Производно, така че да не стане.

Решение: Алгоритъмът на решенията е много подобен на предишните два примера, но има много важни моменти, така че началният етап ще се съгласувам стъпка по стъпка:

Защото, тогава:

1) Подменяме вместо "ZY".

(2) Първо, разпределяме действителната и въображаемата част вътре в синус. За тези цели разкриваме скобите.

(3) използваме формулата, докато .

(4) използване готов хиперболичен косинус: I. безплодие на хиперболичния синус:. Hyperboliki, макар и не от този свят, но до голяма степен прилича на подобни тригонометрични функции.

В крайна сметка:
- действителната част от функцията;
- въображаема част от функцията.

Внимание! Знакът "минус" се отнася до въображаемата част, и в никакъв случай не го загубите! За визуална илюстрация, полученият по-горе резултат може да бъде пренаписан:

Проверете изпълнението на условията на Cauchy-Riemann:

Условията на Cauchy-Riemann са направени.

Отговор: Условията на Cauchy-Riemann са изпълнени.

С косинус, госпожи и господа, ние разбираме себе си:

Пример 10.

Определят действителната и въображаемата част от функцията. Проверете изпълнението на условията на Cauchy-Riemann.

Специално вдигнах примерите по-сложни, защото всичко изглежда сами с нещо с фъстъци. В същото време ние внимаваме! Orekhokol в края на урока.

Е, в заключение, ще разгледам друг интересен пример, когато всеобхватният аргумент е в знаменателя. Бяхме срещнати няколко пъти на практика, се чудим нещо просто. Eh, по-стари ...

Пример 11.

Определят действителната и въображаемата част от функцията. Проверете изпълнението на условията на Cauchy-Riemann.

Решение: Необходимо е да се подчертае действителната и въображаемата част от функцията.
Ако тогава

Възниква въпросът какво да правите, когато "Zet" е в знаменателя?

Всичко е хубаво - ще помогне на стандарта приемане на умножаване на числителя и знаменателя за конюгатТя вече е била използвана в примерите на урока Комплексни номера за чайници. Спомняме си училищната формула. В знаменателя вече имаме, това означава, че ще има конюгат. По този начин трябва да умножите цифровия и знаменател:

Федерална агенция за образование

___________________________________

Санкт Петербургска държава

Електротехнически университет "Лети"

_______________________________________

Теория на функциите на сложна променлива

Методически инструкции

на практическо обучение

според най-високата математика

Санкт Петербург

Издателство Spbgetu "LETI"

UDC 512.64 (07)

TFKP: Методически инструкции за решаване на проблеми / цена: v.g.dyumin, a.m.kotochikov, n.sosnovsky.pp.: Издателство Спбгети "Leti", 2010. 32C.

Одобрен

редакционен издателски съвет на университета

като насоки

© Spbgeu "Leti", 2010

Функциите на сложна променлива, като цяло, се различават от реалната равнина
в записа на полукода. Важен и изключително полезен обект е класът на функцията на сложната променлива,

с производството на същите като функциите на една променлива. Известно е, че функциите на няколко променливи могат да имат частни деривати и производни в посоката, но като правило дериватите не съвпадат в различни посоки и не е възможно да се говори за производно в точката. Въпреки това, за функциите на сложна променлива, е възможно да се опишат условията, при които те приемат диференциация. Изследването на свойствата на диференцируемите функции на сложна променлива е съдържанието на методически инструкции. Показанията са фокусирани върху демонстрацията на начина, по който свойствата на тези функции могат да бъдат използвани за решаване на различни задачи. Успешно развитие, очертаният материал е невъзможен без елементарни изчислителни умения със сложни числа и познати с най-простите геометрични обекти, определени по отношение на неравенствата, които се свързват с реалната и въображаемата част от интегрирания номер, както и неговия модул и аргумент. Обобщение на цялата необходима информация за това може да бъде намерено в Насоки.

Стандартен апарат за математически анализ: лимити, производни, интеграли, редове се използват широко в текста на насоките. Когато тези концепции имат свои собствени специфики, в сравнение с функциите на една променлива, съответните обяснения са дадени, но в повечето случаи е достатъчно да се раздели реалната и въображаемата част и да приложи стандартния апарат за тях.

1. Елементарни пълни функции на променлива

Обсъждане на условията на диференциране на функциите на сложната променлива, естествено започват с открито, което елементарните функции имат този имот. От очевидните отношения

Следва разликата на всеки полином. И, тъй като мощният ред може да бъде диференциран възобновяем в кръга на неговото сближаване,

че всяка функция е диференцирана в точки, в близост, за която може да бъде разградена в поредица от Тейлър. Това е достатъчно състояние, но колко скоро е необходимо да се окаже, също е необходимо. Изследването на функциите на една променлива за дериват е удобно за поддържане, контролиране на поведението на функционалната графика. За функциите на всеобхватна променлива, няма такава възможност. Точките на графика са в пространството на измерението 4 ,.

Въпреки това, могат да бъдат получени някои графични представяне на функцията, като се има предвид изображенията на достатъчно прости комплекти от сложна равнина
възникване под влиянието на дадена функция. Например, помислете, от тази гледна точка, някои прости функции.

Линейна функция

Тази проста функция е много важна, Tech като всякаква диференцируема функция местно подобно на линейна. Помислете за действието на функцията с максималния детайл.

тук
- Модул за интегриран номер и - Неговият аргумент. По този начин линейната функция упражнява разтягането, обръщането и смяната. Следователно, линейният дисплей превежда всеки набор от подобен набор. По-специално, под влиянието на линейния дисплей, правите линии се движат в пряка и обиколката в кръга.

Функция

Тази функция е следната сложност за линейната. Трудно е да се очаква, че ще преведе всяко пряко в пряко, и ще се вкара в кръг, прости примери показват, че това не се случва, обаче, може да се покаже, че тази функция превежда набора от всички директни и кръгове сам по себе си. За да сте сигурни, че е удобно да пристъпите към реалното (координатно) описание на дисплея

За да докажете, имате нужда от описание на обратен дисплей.

Разгледайте уравнението, ако
, тогава общото уравнение е директно. Ако
T.

Следователно
получава се уравнението на произволен кръг.

Обърнете внимание, че ако
и
Обиколката преминава през произхода на координатите. Ако имаш
и
, ще се окаже директно, преминаване през произхода на координатите.

При действието на инверсия, разглежданото уравнение ще пренапише под формата на

, (
)

или . Може да се види, че това е и уравнение, което описва или кръг, или право. Какво в коефициентите на уравнение и
променихме се на места, това означава, че с инверсия, прав, минаващ през 0, отидете в кръга, а кръговете, преминаващи през 0, ще се преместят.

Функции на захранването

Основната разлика между тези характеристики от обсъжданите по-рано е, че те не са взаимно недвусмислени (
). Може да се каже, че функцията
прехвърля комплексната равнина в две копия на една и съща равнина. Обърнете внимание на тази тема изисква използването на тромав апарат на повърхностите на Riemann и надхвърля обхвата на разглежданите въпроси. Важно е да се разбере, че комплексната равнина може да бъде разделена на сектори, всяка от които определено е уникално показана на сложната равнина. Това е дял за функция.
изглежда, например, горната половина на равнината определено е уникално показана на функцията на комплекса
. Изкривяването на геометрията за такива изображения е по-сложно, отколкото в случай на инверсия. Като упражнение можете да проследите, какви са правоъгълните координатни координати на горната половина на равнината

Може да се види, че решетката на правоъгълните координати отива в семейството на параболите, образуващо криволинейна координатна система в равнината
. Разделянето на описаната по-горе равнина е такава, че функцията
показва всеки от сектори за цялата равнина. Описанието на директен и обратен дисплей изглежда

Така функцията
то има различни фуражни функции

в различни сектори на равнината

В такива случаи се казва, че картографирането е многоцитично.

Функция Zhukovsky.

Функцията има свое име, тъй като това е основата на теорията на крилото на самолета, създадена от Zhukovsky (описанието на този дизайн може да бъде намерен в книгата). Функцията има редица интересни имоти, ние ще се съсредоточим върху една от тях - да разберете какво определя тази функция взаимно валидна. Помислете за равенство

От!
.

Следователно функцията на Zhukovsky се измерва взаимно във всяка област, в която за всеки и тяхната работа не е равна на една. Това са например отворен един кръг
и добавяне на затворен единичен кръг
.

Помислете за действието на функцията на Zhukovsky в кръга, след това

Разделянето на реалните и въображаеми части, ние получаваме параметричното уравнение на елипсата

,
.

Ако
Тези елипси изпълват цялата равнина. По същия начин се проверява, че хиперболите се нарязват на изображения.

.

Експоненциална функция

Функцията позволява разлагане в захранващ ред, абсолютно сближа се в цялата сложна равнина, следователно, тя е навсякъде диференцирана. Ние описваме комплектите, на които функцията е взаимно валидна. Очевидно равенство
показва, че равнината може да бъде разделена на семейството на лентите, всяка от които функцията взаимно я показва в цялата сложна равнина. Този дял е от съществено значение да се разбере как е разположена обратната функция или по-скоро обратни функции. Всяка от групите естествено определя обратния дисплей

Обратната функция и в този случай са многократно, като броят на обратните функции безкрайно.

Геометрично описание на дисплея е доста просто: направо
прехвърляне към лъчите
Сегменти

отидете в кръга
.

където
- действителни цифри и - специален символ, наречен въображаема единица . За въображаема единица по дефиниция се смята, че
.

(4.1) – алгебрична форма. интегриран номер и
наречен действителната част интегриран номер и
-въображаема част .

Номер
наречен изчерпателно конюгат към номера
.

Нека бъдат дадени две сложни числа
,
.

1. Сума
комплексни номера и изпълнен е цялостен номер

2. Разлика
комплексни номера и изпълнен е цялостен номер

3. Работа
комплексни номера и изпълнен е цялостен номер

4. Частни от разделянето на интегриран номер на сложен номер
изпълнен е цялостен номер

.

Бележка 4.1. Това означава, че операциите по сложни номера се въвеждат по обичайните правила за аритметични операции над буквите изрази в алгебрата.

Пример 4.1.Има интегрирани номера. Да намеря

.

Решение.1) .

4) Числиране на добиването и знаменател за цялостен номера на конюгирания знаменател, ние получаваме

Тригонометрична форма интегриран номер:

където
- Модул за интегриран номер
- аргумент на сложен номер. Ъгъл определено двусмислено, с точност на термина
:

,
.

- основната стойност на аргумента, определен от състоянието

, (или
).

Индикативен формуляр интегриран номер:

.

Корен
тийн то има различни стойности, които са във формулата

където
.

Точки, съответстващи на стойности
са върховете на правото
квадрат, вписан в радиуса
с центъра в началото на координатите.

Пример 4.2.Намерете всички основни стойности
.

Решение.Представете си сложен номер
в тригонометрична форма:

,

От!
.

Тогава
. Следователно, съгласно формула (4.2)
има четири значения:

,
.

Вярваше
намирам

,
,

, .

Тук сме превърнали ценностите на аргумента към основната си стойност.

Комплекти на комплексната равнина

Комплекс
изобразен в самолета
точка
с координати
. Модул
и аргумент
съответстват на координатите на полярната точка
.

Полезно е да се помни това неравенство
посочва кръга с центъра в точката радиус . Неравенство
посочва полу-самолета, разположен правилно
и неравенство
- половин самолет, разположен над прав
. В допълнение, системата за неравенство
указва ъгъла между лъчите
и
излизане от началото на координатите.

Пример 4.3.Начертайте зони, определени в неравенството:
.

Решение.Първото неравенство съответства на пръстена с центъра в точката
и два радиуса 1 и 2, обиколката в региона не е включена (фиг. 4.1).

Втората неравенство съответства на ъгъла между лъчите.
(Bisector 4 координатен ъгъл) и
(Поздравна посока на ос
). Самите лъчи не са включени в региона (фиг. 4.2).

Желаната площ е пресичането на двете получени зони (фиг. 4.3)

4.2. Сложни променливи функции

Нека недвусмислената функция
дефинирани и непрекъснати в района
, но - плавно затворена или отключена ориентирана крива, лежаща
. Позволявам, както обикновено,
,, където
,
- валидни променливи функции и .

Изчисляване на интегралната от функцията
комплексна променлива се свежда до изчисляването на обикновените криволинейни интеграли, а именно

Ако функцията
аналитичен в една свързана област
насочване и , след това има формула Newton-Leibniz:

където
- всякакъв вид за функция
, т.е.
в района
.

В интегралите от функциите на сложна променлива може да бъде заменена променлива и интегрирането в части е подобно на това как това се прави при изчисляване на интегралите от функциите на валидна променлива.

Забележете също, че ако пътят на интеграцията е част от точка от точка или част от кръга с центъра в точката , полезно е да замените типа променлив
. В първия случай
, но - валидна променлива за интеграция; Във втория случай
, но - валидна променлива интеграция.

Пример 4.4.Изчисли
от параболе
от точката
към основния въпрос
(Фигура 4.4).

Пример 4.5.Изчисли интеграл
където - ARC област
,
(Фиг. 4.5).

Функция
, недвусмислени и аналитични в пръстена
, разлагат в този пръстен ред Лоран.

Във формула (4.5) серия
наречен основната част ред на Лоран и ред
наречен правилната част ред на Laurent.

Определение 4.1. Точка нареченизолирана специална точка Функции
Ако има квартал от този момент, в който функцията
аналитичен навсякъде, освен самата точка .

Функция
В заобикалящата точка Можете да се разложите подред Laurent. В същото време са възможни три различни случая, когато серията Laurent:

1) Не съдържа членове с отрицателни степени на разликата
, т.е.

(Редица ларан не съдържат основната част). В такъв случай Наречен специална точка за еднократна употреба Функции
;

2) Съдържа крайнен брой членове с отрицателна степен на разликата
, т.е.

,

освен това
. В този случай наречен поръчка Polyce. Функции
;

3) Съдържа безкраен брой членове с отрицателни степени:

.

В този случай Наречен значително специална точка Функции
.

При определяне на характера на изолирана специална точка, не е необходимо да се търси разлагане по един ред Laurent. Можете да използвате различни свойства на изолирани единични точки.

1) е функция за специална функция за еднократна употреба
Ако има ограничение на функцията
в точка :

.

2) това е функция на полюс
, ако

.

3) е по същество специална функция
ако имаш
функцията няма ограничение, нито крайно, нито безкрайно.

Определение 4.2. Точка нареченнула.
поръчка (или множественост ) Функции
Ако са изпълнени условията:

…,

.

Бележка 4.2. Точка тогава и само тогава е нула
поръчка Функции
Когато равенството се осъществява в някаква среда на тази точка

,

където функция
аналитичен в точка и

4) точка Той е поръчка за полюс (
) Функции
Ако тази точка е нулев ред за функция
.

5) Нека - изолирана функция за специална точка
където
- аналитични функции в точка . И нека точката Това е нулев ред функции
и нула поръчка функции
.

За
точка Той е поръчка за полюс
функции
.

За
точка е функция за специална функция за еднократна употреба
.

Пример 4.6.Намерете изолирани точки и определете техния тип за функция
.

Решение.Функции
и
- аналитични в цялата сложна равнина. Така че, специални характеристики на функцията
са нули на знаменателя, т.е. точките, където
. Има много такива точки. Първо, това е точка
както и точки, отговарящи на уравнението
. Оттук
и
.

Разгледайте въпроса
. В този момент получаваме:

,
,

,
.

Редът на нула е равен
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Така че, точка
е полюс втори ред (
).

. Тогава

,
.

Редът на нула на числителя е равен
.

,
,
.

Редът на нула на знаменателя е равен
. Следователно, точката
за
са поляци от първите поръчки ( прости полюси ).

Теорема 4.1. (Cauchy теорема за удръжки ). Ако функцията
е аналитичен на границата регион
и навсякъде в региона, с изключение на крайния брой единични точки
T.

.

Когато изчислявате интегралите, си струва внимателно да намерите всички особености на функцията.
, след това изгответе контур и специални точки, а след това изберете само тези точки, които влязоха в контура на интеграцията. Направете правилния избор без картина често е трудно.

Метод за изчисляване на приспадането
зависи от вида на специалната точка. Ето защо, преди да изчислите приспадането, трябва да определите вида на специалната точка.

1) функция за приспадане в точка равен на коефициента за минус първата степен на разлагане Laranan
в заобикалящата точка :

.

Това твърдение е справедливо за всички видове изолирани точки и следователно в този случай не е необходимо да се определя вида на специалната точка.

2) Приспадане в подвижна специална точка е нула.

3) ако - прост полюс (първа поръчка) и функция
може да бъде представен като
където
,
(Обърнете внимание, че в този случай
), след това приспадане в точката разочарование

.

По-специално, ако
T.
.

4) ако - Тогава прост полюс

5) ако - полюс
функция за поръчка
T.

Пример 4.7.Изчисли интеграл
.

След това с формула (4.7) откриваме приспадане в този момент:

Благодарение на теорема 4.1 Ние откриваме