Просто казано, това са зеленчуци, приготвени във вода по специална рецепта. Ще разгледам два първоначални компонента (зеленчукова салата и вода) и крайния резултат - борш. Геометрично може да се разглежда като правоъгълник, като едната страна представлява маруля, а другата страна представлява вода. Сумата от тези две страни ще покаже борш. Диагоналът и площта на такъв правоъгълник „борш“ са чисто математически понятия и никога не се използват в рецепти за борш.

Как марулята и водата се превръщат в борш от математическа гледна точка? Как сумата от две отсечки може да стане тригонометрия? За да разберем това, имаме нужда от линейни ъглови функции.

В учебниците по математика няма да намерите нищо за линейни ъглови функции. Но без тях не може да има математика. Законите на математиката, както и законите на природата, работят независимо дали знаем за тяхното съществуване или не.

Линейните ъглови функции са закони на добавяне.Вижте как алгебрата се превръща в геометрия и как геометрията се превръща в тригонометрия.

Възможно ли е без линейни ъглови функции? Възможно е, защото математиците все още се справят без тях. Номерът на математиците е, че те винаги ни казват само за онези проблеми, които самите те знаят как да решат, и никога не говорят за онези проблеми, които не могат да решат. Виж. Ако знаем резултата от събирането и един член, използваме изваждане, за да намерим другия член. Всичко. Ние не знаем други проблеми и не знаем как да ги решим. Какво трябва да направим, ако знаем само резултата от събирането и не знаем и двата члена? В този случай резултатът от събирането трябва да се разложи на два члена с помощта на линейни ъглови функции. След това ние сами избираме какъв може да бъде един член, а линейните ъглови функции показват какъв трябва да бъде вторият член, така че резултатът от добавянето да е точно това, от което се нуждаем. Може да има безкраен брой такива двойки термини. В ежедневието се справяме добре, без да разлагаме сумата; изваждането ни е достатъчно. Но в научните изследвания на законите на природата, разлагането на сума на нейните компоненти може да бъде много полезно.

Друг закон за добавяне, за който математиците не обичат да говорят (още един техен трик) изисква членовете да имат еднакви мерни единици. За салата, вода и борш това могат да бъдат единици за тегло, обем, стойност или мерна единица.

Фигурата показва две нива на разлика за математически. Първото ниво са разликите в полето на числата, които са посочени а, b, ° С. Това правят математиците. Второто ниво са разликите в областта на мерните единици, които са показани в квадратни скоби и обозначени с буквата U. Това правят физиците. Можем да разберем третото ниво - разликите в площта на описваните обекти. Различните обекти могат да имат еднакъв брой еднакви мерни единици. Колко важно е това, можем да видим в примера на тригонометрията на борша. Ако добавим индекси към едно и също обозначение на единица за различни обекти, можем да кажем точно коя математическа величина описва конкретен обект и как се променя с времето или поради нашите действия. Писмо УВодата ще обознача с буква СЩе обознача салатата с буква Б- борш. Ето как ще изглеждат линейните ъглови функции за борш.

Ако вземем част от водата и част от салатата, заедно те ще се превърнат в една порция борш. Предлагам ви да си починете малко от борша и да си спомните далечното си детство. Помните ли как ни учеха да събираме зайчета и патета заедно? Трябваше да се намери колко животни ще има. Какво ни учеха да правим тогава? Учеха ни да отделяме мерните единици от числата и да събираме числа. Да, всеки един номер може да бъде добавен към всеки друг номер. Това е пряк път към аутизма на съвременната математика - ние го правим неразбираемо какво, неразбираемо защо и много слабо разбираме как това е свързано с реалността, тъй като от трите нива на разлика математиците оперират само с едно. Би било по-правилно да се научите как да преминавате от една мерна единица към друга.

Зайчетата, патетата и зверчетата могат да се броят на части. Една обща мерна единица за различни обекти ни позволява да ги събираме заедно. Това е детска версия на проблема. Нека да разгледаме подобен проблем за възрастни. Какво получавате, когато добавите зайчета и пари? Тук има две възможни решения.

Първи вариант. Определяме пазарната стойност на зайчетата и я добавяме към наличната сума пари. Получихме общата стойност на нашето богатство в парично изражение.

Втори вариант. Можете да добавите броя на зайчетата към броя на банкнотите, които имаме. Ще получим количеството движимо имущество на части.

Както можете да видите, един и същ закон за събиране ви позволява да получите различни резултати. Всичко зависи от това какво точно искаме да знаем.

Но да се върнем на нашия борш. Сега можем да видим какво ще се случи за различни ъглови стойности на линейни ъглови функции.

Ъгълът е нула. Имаме салата, но няма вода. Не можем да сготвим борш. Количеството борш също е нула. Това изобщо не означава, че нула борш е нула вода. Може да има нула борш с нула салата (прав ъгъл).

За мен лично това е основното математическо доказателство за факта, че . Нулата не променя числото при добавяне. Това се случва, защото самото събиране е невъзможно, ако има само един член и вторият член липсва. Можете да мислите за това както искате, но помнете - всички математически операции с нула са измислени от самите математици, така че изхвърлете логиката си и глупаво натъпчете определенията, измислени от математиците: „деление на нула е невъзможно“, „всяко число, умножено по нула е нула” , „отвъд точката на пробиване нула” и други глупости. Достатъчно е да си спомните веднъж, че нулата не е число и никога повече няма да имате въпроса дали нулата е естествено число или не, защото такъв въпрос губи всякакъв смисъл: как може нещо, което не е число, да се счита за число ? Все едно да питате към какъв цвят трябва да се класифицира един невидим цвят. Добавянето на нула към число е същото като рисуване с боя, която не е там. Размахахме суха четка и казахме на всички, че „рисувахме“. Но се отклоних малко.

Ъгълът е по-голям от нула, но по-малък от четиридесет и пет градуса. Имаме много маруля, но не достатъчно вода. В резултат на това ще получим гъст борш.

Ъгълът е четиридесет и пет градуса. Имаме равни количества вода и салата. Това е идеалният борш (простете ми, готвачи, това е просто математика).

Ъгълът е по-голям от четиридесет и пет градуса, но по-малък от деветдесет градуса. Имаме много вода и малко салата. Ще получите течен борш.

Прав ъгъл. Имаме вода. От салатата остават само спомени, тъй като продължаваме да измерваме ъгъла от линията, която някога е маркирала салатата. Не можем да сготвим борш. Количеството борш е нула. В този случай изчакайте и пийте вода, докато я имате)))

Тук. Нещо като това. Тук мога да разкажа и други истории, които биха били повече от подходящи тук.

Двама приятели имаха дялове в общ бизнес. След като убиха единия, всичко отиде при другия.

Появата на математиката на нашата планета.

Всички тези истории са разказани на езика на математиката с помощта на линейни ъглови функции. Някой друг път ще ви покажа истинското място на тези функции в структурата на математиката. Междувременно нека се върнем към тригонометрията на борша и да разгледаме проекциите.

Събота, 26 октомври 2019 г

Гледах интересно видео за Грънди серия Едно минус едно плюс едно минус едно - Numberphile. Математиците лъжат. Те не са извършили проверка за равенство по време на своите разсъждения.

Това отразява моите мисли за.

Нека да разгледаме по-подробно знаците, че математиците ни заблуждават. В самото начало на спора математиците казват, че сборът на редицата ЗАВИСИ от това дали има четен брой елементи или не. Това е ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. Какво се случва след това?

След това математиците изваждат последователността от единицата. До какво води това? Това води до промяна в броя на елементите на редицата - четно число се променя в нечетно число, нечетно число се променя в четно число. В края на краищата ние добавихме един елемент, равен на единица към последователността. Въпреки цялото външно сходство, последователността преди трансформацията не е равна на последователността след трансформацията. Дори и да говорим за безкрайна редица, трябва да помним, че безкрайна редица с нечетен брой елементи не е равна на безкрайна редица с четен брой елементи.

Поставяйки знак за равенство между две редица с различен брой елементи, математиците твърдят, че сумата на редицата НЕ ЗАВИСИ от броя на елементите в редицата, което противоречи на ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. По-нататъшното разсъждение за сумата на безкрайна последователност е невярно, тъй като се основава на фалшиво равенство.

Ако видите, че математиците в хода на доказателствата поставят скоби, пренареждат елементи от математически израз, добавят или премахват нещо, бъдете много внимателни, най-вероятно те се опитват да ви измамят. Подобно на магьосниците на карти, математиците използват различни манипулации на изразяването, за да отвлекат вниманието ви, за да ви дадат в крайна сметка фалшив резултат. Ако не можете да повторите трик с карти, без да знаете тайната на измамата, тогава в математиката всичко е много по-просто: дори не подозирате нищо за измама, но повтарянето на всички манипулации с математически израз ви позволява да убедите другите в правилността на полученият резултат, точно както когато -те ви убедиха.

Въпрос от публиката: Безкрайността (като броя на елементите в редицата S) четна или нечетна? Как можете да промените паритета на нещо, което няма паритет?

Безкрайността е за математиците, както Небесното царство е за свещениците - никой никога не е бил там, но всеки знае как точно работи всичко там))) Съгласен съм, след смъртта ще бъдете абсолютно безразлични дали сте живели четно или нечетно число дни, но... Добавяйки само един ден в началото на живота ви, ще получим съвсем различен човек: неговото фамилно име, име и бащино име са абсолютно същите, само датата на раждане е напълно различна - той е бил роден един ден преди теб.

А сега да преминем към същността))) Да кажем, че крайна последователност, която има паритет, губи този паритет, когато отива към безкрайност. Тогава всеки краен сегмент от безкрайна последователност трябва да загуби паритет. Ние не виждаме това. Фактът, че не можем да кажем със сигурност дали една безкрайна последователност има четен или нечетен брой елементи, не означава, че паритетът е изчезнал. Паритетът, ако съществува, не може да изчезне безследно в безкрайността, като в ръкава на острие. Има много добра аналогия за този случай.

Питали ли сте някога кукувицата, която седи в часовника в каква посока се върти стрелката на часовника? За нея стрелката се върти в посока, обратна на това, което наричаме „по часовниковата стрелка“. Колкото и парадоксално да звучи, посоката на въртене зависи единствено от това от коя страна наблюдаваме въртенето. И така, имаме едно колело, което се върти. Не можем да кажем в каква посока се извършва въртенето, тъй като можем да го наблюдаваме както от едната страна на равнината на въртене, така и от другата. Можем само да свидетелстваме, че има ротация. Пълна аналогия с четността на безкрайна последователност С.

Сега нека добавим второ въртящо се колело, чиято равнина на въртене е успоредна на равнината на въртене на първото въртящо се колело. Все още не можем да кажем със сигурност в каква посока се въртят тези колела, но можем абсолютно да кажем дали и двете колела се въртят в една и съща посока или в обратна посока. Сравняване на две безкрайни последователности СИ 1-S, използвах математика, за да покажа, че тези последователности имат различни паритети и поставянето на знак за равенство между тях е грешка. Лично аз вярвам на математиката, не вярвам на математиците))) Между другото, за да разберем напълно геометрията на трансформациите на безкрайни последователности, е необходимо да въведем концепцията "едновременност". Това ще трябва да се начертае.

сряда, 7 август 2019 г

Завършвайки разговора, трябва да разгледаме безкрайно множество. Работата е там, че понятието „безкрайност“ въздейства на математиците, както боа на заек. Трепетният ужас от безкрайността лишава математиците от здрав разум. Ето един пример:

Първоизточникът е локализиран. Алфа означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Ако вземем за пример безкрайния набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени в следната форма:

За да докажат ясно, че са прави, математиците измислиха много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на шамани, танцуващи с тамбури. По същество всички те се свеждат до факта, че или някои от стаите са празни и се настаняват нови гости, или част от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гости (много човешки). Представих моето виждане за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават разсъжденията ми? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гост, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на времето. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво игнориран, но това ще бъде в категорията „никой закон не е писан за глупаци“. Всичко зависи от това какво правим: приспособяваме реалността към математическите теории или обратното.

Какво е „безкраен хотел“? Безкраен хотел е хотел, който винаги има произволен брой празни легла, независимо колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор за "посетители" са заети, има още един безкраен коридор със стаи за "гости". Ще има безкрайно много такива коридори. Освен това „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците не могат да се дистанцират от баналните битови проблеми: винаги има само един Бог-Аллах-Буда, има само един хотел, има само един коридор. И така, математиците се опитват да жонглират с поредните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да „вкараме невъзможното“.

Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо трябва да отговорите на един много прост въпрос: колко набора от естествени числа има - един или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като ние сами сме измислили числата; числата не съществуват в природата. Да, природата е страхотна в броенето, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Друг път ще ви кажа какво мисли Природата. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа има. Нека разгледаме и двата варианта, както подобава на истинските учени.

Вариант едно. „Нека ни бъде даден“ един единствен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафта. Взимаме този комплект от рафта. Това е, други естествени числа не са останали на рафта и няма къде да ги вземете. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. Ами ако наистина искате? Няма проблем. Можем да вземем един от вече взетия комплект и да го върнем на рафта. След това можем да вземем един от рафта и да го добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново ще получим безкраен набор от естествени числа. Можете да запишете всички наши манипулации така:

Записах действията в алгебрична нотация и в нотация на теория на множествата, с подробен списък на елементите на множеството. Долният индекс показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако от него се извади едно и се добави същата единица.

Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на нашия рафт. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки факта, че практически не се различават. Нека вземем един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да съберем две групи естествени числа. Ето какво получаваме:

Долните индекси "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни множества. Да, ако добавите един към безкраен набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да е същият като оригиналния набор. Ако добавите друго безкрайно множество към едно безкрайно множество, резултатът е ново безкрайно множество, състоящо се от елементите на първите две множества.

Наборът от естествени числа се използва за броене по същия начин, както линийката се използва за измерване. Сега си представете, че сте добавили един сантиметър към линийката. Това ще бъде различна линия, неравна на оригиналната.

Можете да приемете или да не приемете разсъжденията ми - това е ваша работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не следвате пътя на фалшивите разсъждения, утъпкан от поколения математици. В края на краищата, изучаването на математика, на първо място, формира у нас стабилен стереотип на мислене и едва след това добавя към нашите умствени способности (или, обратно, ни лишава от свободомислие).

pozg.ru

Неделя, 4 август 2019 г

Завършвах послепис към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:

Четем: „... богатата теоретична основа на математиката на Вавилон нямаше холистичен характер и беше сведена до набор от различни техники, лишени от обща система и доказателствена база.“

Еха! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Трудно ли ни е да погледнем на съвременната математика от същата гледна точка? Перифразирайки леко горния текст, аз лично получих следното:

Богатата теоретична база на съвременната математика не е цялостна и се свежда до набор от разнородни раздели, лишени от обща система и доказателствена база.

Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - има език и конвенции, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различно значение. Искам да посветя цяла поредица от публикации на най-очевидните грешки на съвременната математика. Ще се видим скоро.

Събота, 3 август 2019 г

Как да разделим набор на подмножества? За да направите това, трябва да въведете нова мерна единица, която присъства в някои от елементите на избрания набор. Нека разгледаме един пример.

Нека имаме много Асъстоящ се от четирима души. Това множество се формира на базата на "хора". Нека обозначим елементите на това множество с буквата А, индексът с число ще показва поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "пол" и да я обозначим с буквата b. Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора Авъз основа на пола b. Забележете, че нашият набор от „хора“ сега се превърна в набор от „хора с полови характеристики“. След това можем да разделим половите белези на мъжки bmи дамски bwполови белези. Сега можем да приложим математически филтър: избираме един от тези сексуални белези, без значение кой - мъжки или женски. Ако човек го има, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава използваме обикновена училищна математика. Вижте какво стана.

След умножение, редукция и пренареждане получихме две подмножества: подмножеството на мъжете Bmи подгрупа от жени Bw. Математиците разсъждават приблизително по същия начин, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни казват подробностите, а ни дават крайния резултат - „много хора се състоят от подгрупа от мъже и подгрупа от жени“. Естествено, може да имате въпрос: колко правилно е приложена математиката в трансформациите, описани по-горе? Смея да ви уверя, че по същество всичко е направено правилно; достатъчно е да познавате математическите основи на аритметиката, булевата алгебра и други клонове на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.

Що се отнася до суперсетите, можете да комбинирате два комплекта в един суперсет, като изберете мерната единица, присъстваща в елементите на тези два комплекта.

Както можете да видите, мерните единици и обикновената математика правят теорията на множествата реликва от миналото. Знак, че не всичко е наред с теорията на множествата е, че математиците са измислили свой собствен език и нотация за теорията на множествата. Математиците действаха като шаманите някога. Само шаманите знаят как да прилагат „правилно“ своите „знания“. Те ни учат на това „знание“.

В заключение искам да ви покажа как математиците манипулират
Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат апориите на Зенон по един или друг начин. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... в изследването на въпроса са включени математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.

От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни вкарва в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент една летяща стрела е в покой в ​​различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, на което искам да обърна специално внимание е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото дават различни възможности за изследване.
Ще ви покажа процеса с пример. Избираме „червеното твърдо вещество в пъпка“ - това е нашето „цяло“. В същото време виждаме, че тези неща са с лък, а има и без лък. След това избираме част от „цялото“ и оформяме комплект „с лък“. Ето как шаманите си набавят храната, като обвързват своята теория за множествата с реалността.

Сега нека направим малък трик. Нека вземем „твърдо с пъпка с лък“ и комбинираме тези „цели“ според цвета, избирайки червените елементи. Имаме много "червени". Сега последният въпрос: получените комплекти „с лък“ и „червено“ един и същ комплект ли са или два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно те самите не знаят нищо, но както казват, така ще бъде.

Този прост пример показва, че теорията на множествата е напълно безполезна, когато става въпрос за реалността. каква е тайната Оформихме набор от "червено плътно с пъпка и лък." Оформянето се извършва в четири различни мерни единици: цвят (червено), здравина (твърдо), грапавост (пъпчиво), украса (с лък). Само набор от мерни единици ни позволява да опишем адекватно реални обекти на езика на математиката. Ето как изглежда.

Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. Мерните единици, чрез които се разграничава „цялото“ на предварителния етап, са отбелязани в скоби. Извън скоби е извадена мерната единица, с която се формира наборът. Последният ред показва крайния резултат - елемент от множеството. Както можете да видите, ако използваме мерни единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шамани с тамбури. Шаманите могат „интуитивно“ да стигнат до същия резултат, като твърдят, че той е „очевиден“, тъй като мерните единици не са част от техния „научен“ арсенал.

Използвайки мерни единици, е много лесно да разделите един комплект или да комбинирате няколко комплекта в един супермножество. Нека разгледаме по-подробно алгебрата на този процес.

Таблица със стойности на тригонометрични функции

Забележка. Тази таблица със стойности на тригонометрична функция използва знака √ за представяне на корен квадратен. За да посочите дроб, използвайте символа "/".

Вижте същополезни материали:

За определяне на стойността на тригонометрична функция, намерете го в пресечната точка на линията, указваща тригонометричната функция. Например синус 30 градуса - търсим колоната със заглавие sin (синус) и намираме пресечната точка на тази колона на таблицата с реда „30 градуса“, ​​в пресечната точка четем резултата - едната половина. По същия начин намираме косинус 60степени, синус 60градуси (отново в пресечната точка на колоната sin и линията на 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3/2) и т.н. Стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други „популярни“ ъгли се намират по същия начин.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и други ъгли в радиани

Таблицата по-долу с косинуси, синуси и тангенси също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент е дадено в радиани. За да направите това, използвайте втората колона с ъглови стойности. Благодарение на това можете да конвертирате стойността на популярните ъгли от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъла от 60 градуса в първия ред и да прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π/3 радиана.

Числото пи еднозначно изразява зависимостта на обиколката от градусната мярка на ъгъла. Така пи радианите са равни на 180 градуса.

Всяко число, изразено чрез pi (радиани), може лесно да бъде преобразувано в градуси чрез замяна на pi (π) със 180.

Примери:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синусът от пи е същият като синусът от 180 градуса и е равен на нула.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
следователно косинусът от пи е същият като косинусът от 180 градуса и е равен на минус едно.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенс pi е същият като тангенс 180 градуса и е равен на нула.

Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (общи стойности)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани (чрез пи)	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангента)	ctg (котангенс)	сек (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции е посочено тире вместо стойността на функцията (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), тогава за дадена стойност на градусната мярка на ъгъла функцията няма конкретна стойност. Ако няма тире, клетката е празна, което означава, че все още не сме въвели необходимата стойност. Интересуваме се за какви заявки потребителите идват при нас и допълваме таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангентите на най-често срещаните стойности на ъглите са напълно достатъчни за решаване на повечето проблеми.

Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности „според таблиците на Bradis“)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангенса)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Всяка тригонометрична функция за даден ъгъл (или число) α отговаря на определен значениетази функция. от дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенсЯсно е, че стойността на синуса на ъгъл α е ординатата на точката, към която отива началната точка на единичната окръжност след нейното завъртане на ъгъл α, стойността на косинуса е абсцисата на тази точка, стойността на тангенсът е отношението на ординатата към абсцисата, а стойността на котангенса е отношението на абсцисата към ординатата.

Доста често при решаване на проблеми възниква необходимостта да се намерят стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите на определени ъгли. За някои ъгли, например при 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса, е възможно да се намерят точните стойности на тригонометричните функции; за други ъгли, намирането на точните стойности се оказва проблемни и трябва да се задоволите с приблизителни стойности.

В тази статия ще разгледаме какви принципи трябва да се следват, когато се изчислява стойността на синус, косинус, тангенс или котангенс. Нека ги изброим по ред.

• Приблизителната стойност на посочената тригонометрична функция може да бъде намерена по дефиниция. И за ъгли 0, ±90, ±180 и т.н. градуса, дефиницията на тригонометрични функции ви позволява да посочите точните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс.
• Връзките между страните и ъглите в правоъгълен триъгълник ви позволяват да намерите стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за „основните“ ъгли от 30, 45, 60 градуса.
• Ако ъгълът надхвърля 0 до 90 градуса, първо трябва да използвате формули за намаляване, което ще ви позволи да преминете към изчисляване на стойността на тригонометричните функции с аргумент от 0 до 90 градуса.
• Ако стойността на една от тригонометричните функции за даден ъгъл α е известна, тогава винаги можем да изчислим стойността на всяка друга тригонометрична функция на същия ъгъл. Това ни е позволено основни тригонометрични тъждества.
• Понякога е възможно да се изчисли стойността на дадена тригонометрична функция за даден ъгъл, като се започне от стойностите на функциите за основните ъгли и се използват подходящи тригонометрични формули. Например, като използвате известната синусова стойност от 30 градуса и формулата за полуъгъл за синус, можете да намерите синусовата стойност от 15 градуса.
• И накрая, винаги можете да намерите приблизителната стойност на дадена тригонометрична функция за даден ъгъл, като се позовавате на желания таблици на синуси, косинуси, тангенси и котангенси.

Сега ще разгледаме подробно всеки от изброените принципи за изчисляване на стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите.

Навигация в страницата.

Намиране на стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс по дефиниция

Въз основа на определението за синус и косинус можете да намерите стойностите на синуса и косинуса на даден ъгъл α. За да направите това, трябва да вземете единична окръжност, да завъртите началната точка A(1, 0) на ъгъл α, след което тя ще се премести в точка A1. Тогава координатите на точка A 1 ще дадат съответно косинуса и синуса на дадения ъгъл α. След това можете да изчислите тангенса и котангенса на ъгъла α, като изчислите съответно съотношенията на ординатата към абсцисата и на абсцисата към ординатата.

По дефиниция можем да изчислим точните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгли 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …степени ( 0, ±π/2, ±π, ±3π/2, ±2π, …радиани). Нека разделим тези ъгли на четири групи: 360 z градуса (2π z rad), 90 + 360 z градуса (π/2 + 2π z rad), 180 + 360 z градуса (π + 2π z rad) и 270+360·z градуси (3π/2+2π·z rad), където z е всеки . Нека изобразим на фигурите къде ще бъде разположена точка А 1, в резултат на завъртане на началната точка А с тези ъгли (ако е необходимо, проучете материала в статията ъгъл на завъртане).

За всяка от тези групи ъгли ще намерим стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс, като използваме дефинициите.

Що се отнася до други ъгли, различни от 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …градуса, тогава по дефиниция можем да намерим само приблизителни стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс. Например, нека намерим синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл −52 градуса.

Да направим конструкцията.

Според чертежа откриваме, че абсцисата на точка A 1 е приблизително равна на 0,62, а ординатата е приблизително равна на −0,78. По този начин, И . Остава да изчислим стойностите на тангенса и котангенса, които имаме И .

Ясно е, че колкото по-точно са завършени конструкциите, толкова по-точно ще бъдат намерени приблизителните стойности на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на даден ъгъл. Също така е ясно, че намирането на стойностите на тригонометричните функции по дефиниция не е удобно на практика, тъй като е неудобно да се изпълняват описаните конструкции.

Линии на синуси, косинуси, тангенси и котангенси

Струва си да се спрем накратко на т.нар линии на синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Линиите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите са линии, начертани заедно с единичната окръжност, имащи начало и единица за измерване, равна на единица във въведената правоъгълна координатна система; всички възможни стойности на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите са ясно представени върху тях. Нека ги изобразим на чертежа по-долу.

Стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли от 30, 45 и 60 градуса

За ъгли от 30, 45 и 60 градуса са известни точните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс. Те могат да бъдат получени от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, използвайки Питагорова теорема.

За да получите стойностите на тригонометричните функции за ъгли от 30 и 60 градуса, помислете за правоъгълен триъгълник с тези ъгли и го вземете така, че дължината на хипотенузата да е равна на единица. Известно е, че катетът, лежащ срещу ъгъл от 30 градуса, е половината от размера на хипотенузата, следователно дължината му е равна на 1/2. Намираме дължината на другия крак с помощта на Питагоровата теорема: .

Тъй като синусът на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към хипотенузата, тогава И . От своя страна косинусът е отношението на съседния катет към хипотенузата И . Тангенсът е съотношението на срещуположната страна към съседната, а котангенсът е съотношението на съседната страна към противоположната страна, следователно, И , и И .

Остава да се получат стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл от 45 градуса. Нека се обърнем към правоъгълен триъгълник с ъгли от 45 градуса (ще бъде равнобедрен) и хипотенуза, равна на единица. След това, използвайки Питагоровата теорема, е лесно да се провери дали дължините на краката са равни. Сега можем да изчислим стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс като съотношение на дължините на съответните страни на въпросния правоъгълен триъгълник. Имаме и .

Получените стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгли от 30, 45 и 60 градуса ще бъдат много често използвани при решаването на различни геометрични и тригонометрични задачи, така че ви препоръчваме да ги запомните. За улеснение ще ги изброим в таблица на основните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс.

За да завършим тази точка, предоставяме илюстрация на стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгли 30, 45 и 60, като използваме единичната окръжност и линиите на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Намаляване до ъгъл от 0 до 90 градуса

Нека веднага да отбележим, че е удобно да се намерят стойностите на тригонометричните функции, когато ъгълът е в диапазона от 0 до 90 градуса (от нула до pi в половин рад). Ако аргументът на тригонометричната функция, чиято стойност трябва да намерим, надхвърля границите от 0 до 9 0 градуса, тогава винаги използваме формули за намаляванеМожем да продължим към намиране на стойността на тригонометричната функция, чийто аргумент ще бъде в посочените граници.

Например, нека намерим синусовата стойност на 210 градуса. Представяйки 210 като 180+30 или като 270−60, съответните формули за редукция намаляват проблема ни от намирането на синус от 210 градуса до намиране на стойността на синус от 30 градуса или косинус от 60 градуса.

Нека се съгласим за в бъдеще, когато намираме стойностите на тригонометричните функции, винаги да използваме формули за редукция, за да преминем към ъгли от интервала от 0 до 90 градуса, освен ако разбира се ъгълът вече не е в тези граници.

Достатъчно е да знаете стойността на една от тригонометричните функции

Основни тригонометрични тъждестваустановяване на връзки между синус, косинус, тангенс и котангенс на един и същи ъгъл. Така с тяхна помощ можем да използваме известната стойност на една от тригонометричните функции, за да намерим стойността на всяка друга функция на същия ъгъл.

Нека да разгледаме примерното решение.

Пример.

Определете на какво е равен синусът на ъгъл пи по осем ако .

Решение.

Първо, нека намерим на какво е равен котангенсът на този ъгъл:

Сега използвайки формулата , можем да изчислим на какво е равен квадратът на синуса на ъгъла pi по осем и следователно желаната стойност на синуса. Ние имаме

Всичко, което остава, е да се намери стойността на синуса. Тъй като ъгълът pi на осем е ъгълът на първия координатен квадрант, синусът на този ъгъл е положителен (ако е необходимо, вижте теоретичния раздел знаци за синус, косинус, тангенс и котангенс по четвъртинки). По този начин, .

Отговор:

.

Намиране на стойности с помощта на тригонометрични формули

В предишните два параграфа вече започнахме да разглеждаме въпроса за намирането на стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс с помощта на тригонометрични формули. Тук просто искаме да кажем, че понякога е възможно да се изчисли необходимата стойност на тригонометричната функция с помощта на тригонометрични формули и известни стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс (например за ъгли от 30, 45 и 60 градуса) .

Например, използвайки тригонометрични формули, нека изчислим стойността на тангенса на ъгъла pi по осем, който използвахме в предишния параграф, за да намерим стойността на синуса.

11 градуса? Въпросът е много труден.

Точните стойности на тригонометричните функции обаче често не са толкова необходими на практика. Обикновено са достатъчни приблизителни стойности с известна необходима степен на точност. Има таблици със стойности на тригонометрични функции, откъдето винаги можем да намерим приблизителната стойност на синуса, косинуса, тангенса или котангенса на даден ъгъл, който ни е необходим. Примери за такива таблици са таблици на синуси, косинуси, тангенси и котангенси от V. M. Bradis. Тези таблици съдържат стойностите на тригонометричните функции с точност до четири знака след десетичната запетая.

Библиография.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Ед. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Ед. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.