Система от вектори от същия ред се нарича линейно зависима, ако от тези вектори може да се получи нулев вектор с помощта на подходяща линейна комбинация. (В този случай не е позволено всички коефициенти на линейната комбинация да са равни на нула, тъй като това би било тривиално.) В противен случай векторите се наричат линейно независими. Например следните три вектора:
са линейно зависими, тъй като е лесно да се провери. В случай на линейна зависимост всеки вектор винаги може да бъде изразен чрез линейна комбинация от останалите вектори. В нашия пример: или или Лесно е да се провери с подходящи изчисления. Това предполага следната дефиниция: векторът е линейно независим от други вектори, ако не може да бъде представен като линейна комбинация от тези вектори.
Да разгледаме система от вектори, без да уточняваме дали е линейно зависима или линейно независима. За всяка система, състояща се от колонни вектори a, е възможно да се идентифицира максималният възможен брой линейно независими вектори. Това число, обозначено с буква, е рангът на дадена векторна система. Тъй като всяка матрица може да се разглежда като система от вектори колони, рангът на матрицата се дефинира като максималния брой линейно независими вектори колони, които съдържа. Редовите вектори също се използват за определяне на ранга на матрица. И двата метода дават един и същ резултат за една и съща матрица и не могат да надвишават най-малката от или Рангът на квадратна матрица от порядък варира от 0 до. Ако всички вектори са нула, тогава рангът на такава матрица е нула. Ако всички вектори са линейно независими един от друг, тогава рангът на матрицата е. Ако формирате матрица от горните вектори, тогава рангът на тази матрица е 2. Тъй като всеки два вектора могат да бъдат намалени до трети чрез линейна комбинация, рангът е по-малък от 3.
Но човек може да се увери, че всеки два вектора от тях са линейно независими, оттук и ранга
Квадратната матрица се нарича изродена, ако нейните вектори-столби или вектори-редове са линейно зависими. Детерминантата на такава матрица е равна на нула и нейната обратна матрица не съществува, както е отбелязано по-горе. Тези констатации са еквивалентни едно на друго. В резултат на това квадратната матрица се нарича неизродена или неединствена, ако нейните вектори-столби или вектори-редове са независими един от друг. Детерминантата на такава матрица не е равна на нула и нейната обратна матрица съществува (сравнете със стр. 43)
Рангът на матрицата има очевидна геометрична интерпретация. Ако рангът на матрицата е равен, тогава се казва, че размерното пространство е обхванато от вектори. Ако рангът, тогава векторите лежат в -мерното подпространство, което включва всички тях. И така, рангът на матрицата съответства на минималното изисквано измерение на пространството, "в което се съдържат всички вектори", -мерното подпространство в -мерното пространство се нарича -мерна хиперравнина. Рангът на матрицата съответства на най-малкото измерение на хиперравнината, в която всички вектори все още лежат.
Ортогоналност. Два вектора a и b се наричат взаимно ортогонални, ако скаларното им произведение е равно на нула. Ако за матрицата на реда е налице равенството, където D е диагонална матрица, тогава векторите колони на матрицата A са взаимно ортогонални. Ако тези вектори колони са нормализирани, тоест намалени до дължина, равна на 1, тогава равенството е в сила и говорим за ортонормирани вектори. Ако B е квадратна матрица и равенството е в сила, тогава матрицата B се нарича ортогонална. В този случай от формула (1.22) следва, че ортогоналната матрица винаги е неизродена. Следователно от ортогоналността на матрицата следва линейната независимост на нейните вектори ред или колони. Обратното твърдение не е вярно: линейната независимост на системата от вектори не предполага ортогоналност по двойки на тези вектори.
Концепцията за ранг на матрица е тясно свързана с концепцията за линейна зависимост (независимост) на нейните редове или колони. В бъдеще ще представим материала за редове, за колони представянето е подобно.
В матрицата Анека означим неговите редове по следния начин:
, 
, …. , 
Два реда от матрица се казва, че са равни, ако съответните им елементи са равни:, if,.
Аритметичните операции върху редовете на матрицата (умножение на ред по число, добавяне на редове) се въвеждат като операции, извършвани елемент по елемент:
линия днаречена линейна комбинация от низове..., матрица, ако е равна на сумата от произведенията на тези низове по произволни реални числа:
Редовете на матрицата се наричат линейно зависимиако има числа, които не са едновременно равни на нула, така че линейната комбинация от редовете на матрицата да е равна на нулевия ред:
, =(0,0,...,0). (3.3)
Теорема 3.3Редовете на матрицата са линейно зависими, ако поне един ред на матрица е линейна комбинация от останалите.
□ Наистина, нека за определеност във формула (3.3) 
, тогава
По този начин низът е линейна комбинация от останалите струни. ■
Ако линейна комбинация от редове (3.3) е равна на нула, ако и само ако всички коефициенти са равни на нула, тогава редовете се наричат линейно независими.
Теорема 3.4.(относно ранга на матрицата) Рангът на една матрица е равен на максималния брой нейни линейно независими редове или колони, през които всички други нейни редове (колони) са линейно изразени.
□ Нека матрицата Аразмер m n има ранг r(rмин.). Това означава, че има ненулев минор rта поръчка. Всяка ненулева минор r-тия ред ще се нарича основен минор.
Нека за определеност основният минор е водещ или ъглов минор. Тогава редовете на матрицата са линейно независими. Да предположим обратното, тоест една от тези линии, например, е линейна комбинация от останалите. Извадете от елементите r- ти ред, елементите от 1-ви ред, умножени по, след това елементите от 2-ри ред, умножени по, ... и елементите ( r - 1) - ти редове, умножени по. Въз основа на свойство 8, при такива трансформации на матрицата, нейният детерминант D няма да се промени, но тъй като r- i низ сега ще се състои само от нули, тогава D = 0 - противоречие. Следователно нашето предположение, че редовете на матрицата са линейно зависими, не е вярно.
Низовете ще бъдат извикани основен... Нека покажем, че всички (r + 1) редове от матрицата са линейно зависими, т.е. всеки низ се изразява в основния.
Помислете за минор (r + 1) -ти порядък, който се получава чрез допълване на разглеждания минор с елементи от още един ред ии колона j... Този минор е нула, тъй като рангът на матрицата е r, така че всеки минор от по-висок порядък е нула.
Разширявайки го според елементите на последната (добавена) колона, получаваме
Когато модулът на последното алгебрично допълнение е същият като основния минор ди следователно е различен от нула, т.е. 0
където са някои числа (някои или дори всички тези числа може да са нула). Това означава, че съществуват следните равенства между елементите на колоните:
От (3.3.1) следва, че
Ако равенството (3.3.3) е вярно, ако и само ако, тогава редовете се наричат линейно независими. Съотношението (3.3.2) показва, че ако един от редовете е линейно изразен през останалите, тогава редовете са линейно зависими.
Лесно е да се види обратното: ако линиите са линейно зависими, тогава има линия, която ще бъде линейна комбинация от останалите линии.
Нека, например, в (3.3.3), тогава 
.
Определение. Нека в матрицата A е избран минор от r-тия ред и нека минорът от (r + 1)-тия ред на същата матрица съдържа минора в неговата цялост. Ще кажем, че в този случай минорът граничи с минора (или е границата за).
Сега доказваме една важна лема.
Лемаза граничещи с непълнолетни. Ако минорът от порядък r на матрицата A = е различен от нула и всички минорни граничещи с нея са равни на нула, тогава всеки ред (колона) от матрицата A е линейна комбинация от нейните редове (колони), които съставляват.
Доказателство. Без да губим общността на разсъжденията, ще приемем, че ненулев минор от r-тия ред е в горния ляв ъгъл на матрицата A =:
.
За първите k реда на матрицата A твърдението на лемата е очевидно: достатъчно е да включим същия ред с коефициент, равен на единица в линейната комбинация, а останалите - с коефициентите, равни на нула.
Нека сега докажем, че останалите редове на матрицата A са линейно изразени чрез първите k реда. За да направите това, построете минор от (r + 1)-тия ред, като добавите k-тия ред () към минорния и лта колона ():
.
Полученият минор е нула за всички k и l. Ако, тогава той е равен на нула, тъй като съдържа две еднакви колони. Ако, тогава полученият минор е граничещ минор за и следователно е равен на нула според хипотезата на лемата.
Нека разширим минорното по отношение на елементите на последното лта колона:
Ако приемем, че получаваме:
 | (3.3.6) |
Изразът (3.3.6) означава, че k-тият ред на матрицата A е линейно изразен по отношение на първите r редове.
Тъй като при транспониране на матрица стойностите на нейните минорни стойности не се променят (поради свойствата на детерминантите), тогава всичко, което е доказано, е вярно и за колоните. Теоремата е доказана.
Следствие I. Всеки ред (колона) от матрица е линейна комбинация от нейните основни редове (колони). Всъщност основният минор на матрицата е различен от нула и всички минорни, граничещи с нея, са равни на нула.
Следствие II. Детерминант от n-тия ред, ако и само ако е равен на нула, когато съдържа линейно зависими редове (колони). Достатъчността на линейната зависимост на редовете (колони) за равенството на детерминантата на нула беше доказана по-рано като свойство на детерминантите.
Нека докажем необходимостта. Нека е дадена квадратна матрица от n-ти порядък, единственият минор на която е равен на нула. Оттук следва, че рангът на тази матрица е по-малък от n, т.е. има поне един ред, който е линейна комбинация от базовите редове на тази матрица.
Нека докажем още една теорема за ранга на матрицата.
Теорема.Максималният брой линейно независими редове на матрица е равен на максималния брой на нейните линейно независими колони и е равен на ранга на тази матрица.
Доказателство. Нека рангът на матрицата А = е равен на r. Тогава всяка от неговите k основни линии е линейно независима, в противен случай основният минор би бил равен на нула. От друга страна, всеки r + 1 или повече низове са линейно зависими. Ако приемем обратното, можем да намерим минор с порядък повече от r, различен от нула, съгласно следствие 2 от предишната лема. Последното противоречи на факта, че максималният ред на ненулеви минорни е r. Всичко, което доказахме за редовете, е вярно и за колоните.
В заключение представяме още един метод за намиране на ранга на матрица. Рангът на матрица може да се определи чрез намиране на ненулев минор от максимален ред.
На пръв поглед това изисква изчисляване, макар и краен, но вероятно много голям брой минорни елементи на тази матрица.
Следната теорема обаче позволява да се направят значителни опростявания в това.
Теорема.Ако минорът на матрицата A е различен от нула и всички минорни граничещи с нея са равни на нула, тогава рангът на матрицата е r.
Доказателство. Достатъчно е да се покаже, че всяка подсистема от матрични редове за S> r ще бъде линейно зависима при условията на теоремата (от това следва, че r е максималният брой линейно независими матрични редове или някой от нейните минорни редове по-голям от k са равни на нула).
Да предположим обратното. Нека редовете са линейно независими. Съгласно лемата за граничещи минорни, всеки от тях ще бъде линейно изразен чрез линиите, в които има минор и които, тъй като са различни от нула, са линейно независими:
Сега помислете за следната линейна комбинация:
или
Използвайки (3.3.7) и (3.3.8), получаваме
,
което противоречи на линейната независимост на редовете.
Следователно нашето предположение е неправилно и следователно всички S> r редове при условията на теоремата са линейно зависими. Теоремата е доказана.
Помислете за правилото за изчисляване на ранга на матрица - методът на граничните минорни, базиран на тази теорема.
При изчисляване на ранга на матрица трябва да се премине от минорите от по-нисък порядък към минорите от по-висок порядък. Ако вече е намерен минор от r-ти порядък, различен от нула, тогава се изисква да се изчислят само минорите (r + 1) от порядък, граничещи с минорите. Ако те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е r. Този метод се прилага и ако не само изчисляваме ранга на матрицата, но и определяме кои колони (редове) съставляват основния минор на матрицата.
Пример. Изчислете ранга на матрица по метода на граничещи малки
.
Решение. Минорът от втори ред в горния ляв ъгъл на матрицата A е различен от нула:
.
Въпреки това, всички непълнолетни от трети ред, граничещи с него, са равни на нула:
 ;
|  ;
|
 ;
|  ;
|
 ;
|  .
|
Следователно рангът на матрицата A е равен на две:.
Първият и вторият ред, първата и втората колона в тази матрица са основни. Останалите редове и колони са техни линейни комбинации. Всъщност следните равенства са валидни за низове:
В заключение отбелязваме валидността на следните свойства:
1) рангът на произведението на матриците не е по-голям от ранга на всеки от факторите;
2) рангът на произведението на произволна матрица A отдясно или вляво от неизродена квадратна матрица Q е равен на ранга на матрицата A.
Полиномни матрици
Определение. Полиномна матрица или -матрица е правоъгълна матрица, чиито елементи са полиноми в една променлива с числови коефициенти.
Елементарните трансформации могат да се извършват върху -матрици. Те включват:
Пермутация на два реда (колони);
Умножаване на ред (колона) по число, различно от нула;
Добавяне към един ред (колона) на друг ред (колона), умножен по произволен полином.
Две -матрици и с еднакъв размер се наричат еквивалентни: ако можете да преминете от матрицата към използване на краен брой елементарни трансформации.
Пример. Докажете еквивалентността на матриците
 ,
|  .
|
1. Нека разменим първата и втората колона в матрицата:
.
2. Извадете първия ред от втория ред, умножено по ():
.
3. Умножете втория ред по (–1) и отбележете това
.
4. Извадете от втората колона първата, умножена по, получаваме
.
Множеството от всички -матрици с дадени размери е разделено на несъвместими класове еквивалентни матрици. Матрици, които са еквивалентни една на друга, образуват един клас, а не еквивалентни - друг.
Всеки клас еквивалентни матрици се характеризира с канонична или нормална матрица с дадени размери.
Определение. Канонична или нормална -матрица с размери се нарича -матрица, чийто главен диагонал съдържа полиноми, където p е по-малкото от числата m и n ( 
), освен това ненулевите полиноми имат водещи коефициенти, равни на 1, и всеки следващ полином се дели на предишния. Всички елементи извън главния диагонал са 0.
От определението следва, че ако сред полиномите има полиноми от степен нула, то те са в началото на главния диагонал. Ако има нули, те са в края на главния диагонал.
Матрицата на предишния пример е канонична. Матрица
също каноничен.
Всеки клас -матрици съдържа една-единствена канонична -матрица, т.е. всяка -матрица е еквивалентна на единична канонична матрица, която се нарича канонична форма или нормална форма на дадената матрица.
Полиномите на главния диагонал на каноничната форма на дадена матрица се наричат инвариантни фактори на тази матрица.
Един от методите за изчисляване на инвариантни фактори е да се сведе дадената матрица до канонична форма.
И така, за матрицата от предишния пример инвариантните фактори са
, , 
, .
От казаното следва, че наличието на един и същ набор от инвариантни фактори е необходимо и достатъчно условие за еквивалентността на -матриците.
Свеждането на -матриците до канонична форма се свежда до определяне на инвариантните фактори
, ; ,
където r е рангът на матрицата; - най-големият общ делител на минорите от k-ти ред, взет с водещ коефициент, равен на 1.
Пример. Дадена матрица
.
Решение. Очевидно най-големият общ делител от първи ред, т.е. ...
Нека дефинираме минорите от втори ред:
 ,
|  | и т.н. |
Тези данни вече са достатъчни, за да се направи заключение: следователно,.
Ние определяме
,
следователно, 
.
По този начин, каноничната форма на тази матрица е следната матрица:
.
Матричният полином е израз на формата
където е променливата; - квадратни матрици от ред n с числови елементи.
Ако тогава S се нарича степен на матричния полином, n е редът на матричния полином.
Всяка квадратна матрица може да бъде представена като матричен полином. Очевидно е вярно и обратното, т.е. всеки матричен полином може да бъде представен като определена квадратна матрица.
Валидността на тези твърдения ясно следва от свойствата на операциите с матрици. Нека се спрем на следните примери:
Пример. Представете полиномна матрица
под формата на матричен полином, както следва
.
Пример. Матричен полином
може да бъде представена като следната полиномна матрица (-матрица)
.
Тази взаимозаменяемост на матричните полиноми и полиномиалните матрици играе съществена роля в математическия апарат на методите на факторния и компонентен анализ.
Матричните полиноми от същия ред могат да се добавят, изваждат и умножават по същия начин като обикновените полиноми с числови коефициенти. Все пак трябва да се помни, че умножението на матричните полиноми, най-общо казано, не е комутативно, тъй като умножението на матрицата не е комутативно.
За два матрични полинома се казва, че са равни, ако техните коефициенти са равни, т.е. съответни матрици за същите степени на променливата.
Сборът (разликата) от два матрични полинома е матричен полином, чийто коефициент при всяка степен на променливата е равен на сбора (разликата) от коефициентите в една и съща степен в полиномите и.
За да умножите матричен полином по матричен полином, трябва да умножите всеки член от матричния полином по всеки член на матричния полином, да добавите получените произведения и да донесете подобни членове.
Степен на матричен полином - произведението е по-малко или равно на сбора от степените на факторите.
Операциите върху матрични полиноми могат да се извършват с помощта на операции върху съответните матрици.
За събиране (изваждане) на матрични полиноми е достатъчно да се съберат (извадят) съответните матрици. Същото се отнася и за умножението. -матрицата на произведението на матричните полиноми е равна на произведението на -матриците на факторите.
 |  |
От друга страна, и може да бъде написано във формата
където В 0 е неизродена матрица.
Когато се раздели на, има уникален десен коефициент и десен остатък
където степента на R 1 е по-малка от степента или (деление без остатък), както и лявото частно и левия остатък, ако и само ако, къде от ред
Имайте предвид, че редовете и колоните на матрицата могат да се разглеждат като аритметични вектори с размери ми н, съответно. По този начин матрицата на размера може да се интерпретира като колекция м н-размерни или н м-мерни аритметични вектори. По аналогия с геометричните вектори въвеждаме понятията линейна зависимост и линейна независимост на редове и колони на матрица.
4.8.1. Определение. линия 
Наречен линейна комбинация от струнис коефициенти 
ако равенството е вярно за всички елементи от този ред:
,
.
4.8.2. Определение.
Струни 
са наречени линейно зависимиако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на нулевия ред, т.е. не всички такива числа са равни на нула
,
.
4.8.3. Определение.
Струни 
са наречени линейно независимиако само тяхната тривиална линейна комбинация е равна на нулевия низ, т.е.
,
4.8.4. Теорема. (Критерий за линейна зависимост на матричните редове)
За да бъдат редовете линейно зависими, е необходимо и достатъчно поне един от тях да е линейна комбинация от останалите.
доказателство:
Трябва.Нека линиите 
са линейно зависими, тогава има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на нулевия низ:
.
Без да губим общността, ще приемем, че първият от коефициентите на линейната комбинация е различен от нула (в противен случай редовете могат да бъдат преномерирани). Разделянето на това съотношение на 
, получаваме
,
тоест първият ред е линейна комбинация от останалите.
Адекватност.Нека един от редовете, например, 
, тогава е линейна комбинация от останалите
тоест има нетривиална линейна комбинация от низове 
равно на нулевия низ:
което означава линиите 
са линейно зависими, както се изисква.
Коментирайте.
Подобни дефиниции и твърдения могат да бъдат формулирани за колоните на матрица.
§4.9. Рангът на матрицата.
4.9.1. Определение. Незначителенпоръчка 
матрици 
размер 
се нарича детерминанта на реда 
с елементи, разположени в пресечната точка на някои от нейните 
линии и 
колони.
4.9.2. Определение. Ненулева малка поръчка 
матрици 
размер 
Наречен основен
незначителенако всички минорни от матрицата на реда 
са равни на нула.
Коментирайте. Една матрица може да има няколко основни минорни. Очевидно всички те ще бъдат от един и същи ред. Случаят е възможен и когато матрицата 
размер 
малка поръчка 
различни от нула, и минорите от порядъка 
не съществува, т.е 
.
4.9.3. Определение. Извикват се редовете (колони), образуващи основния минор основенредове (колони).
4.9.4. Определение. По рангна матрица се нарича ред на нейния основен минор. Матричен ранг 
обозначено 
или 
.
Коментирайте.
Имайте предвид, че поради равенството на редовете и колоните на детерминанта, рангът на матрицата не се променя, когато се транспонира.
4.9.5. Теорема. (Инвариантност на ранга на матрицата при елементарни трансформации)
Рангът на матрицата не се променя при нейните елементарни трансформации.
Няма доказателство.
4.9.6. Теорема. (Относно основния минор).
Основните редове (колони) са линейно независими. Всеки ред (колона) от матрица може да бъде представен като линейна комбинация от основните й редове (колони).
доказателство:
Нека извършим доказателството за низове. Доказателството на твърдението за колони може да се извърши по аналогия.
Нека рангът на матрицата 
размери 
е равно на 
, а 
- основно минор. Без да губим обобщение, приемем, че основният минор се намира в горния ляв ъгъл (в противен случай можете да доведете матрицата до тази форма, като използвате елементарни трансформации):
.
Нека първо докажем линейната независимост на основните редове. Извършваме доказателството от противоречие. Да предположим, че базовите линии са линейно зависими. Тогава, съгласно теорема 4.8.4, един от низовете може да бъде представен като линейна комбинация от останалите основни низове. Следователно, ако извадим определената линейна комбинация от този низ, тогава получаваме нулев низ, което означава, че второстепенният 
е равно на нула, което противоречи на определението за основен минор. Така получихме противоречие, следователно линейната независимост на основните редове е доказана.
Нека сега докажем, че всеки ред от матрица може да бъде представен като линейна комбинация от основни редове. Ако номерът на въпросния ред 
от 1 до r, тогава очевидно може да се представи като линейна комбинация с коефициент равен на 1 за реда 
и нулеви коефициенти за останалите редове. Нека сега покажем, че ако номерът на реда 
от 
преди 
, може да се представи като линейна комбинация от основни линии. Помислете за минор на матрицата 
произлиза от основния минор 
добавяне на реда 
и произволна колона 
:
Нека покажем, че даденото непълнолетно 
от 
преди 
и за произволен номер на колона 
от 1 до 
.
Наистина, ако номерът на колоната 
от 1 до r, тогава имаме детерминанта с две еднакви колони, която очевидно е равна на нула. Ако номерът на колоната 
от r+1 до 
и номера на реда 
от 
преди 
, тогава 
е минорът на оригиналната матрица от по-висок порядък от основния минор, което означава, че е равен на нула от определението на основния минор. Така се доказва, че непълнолетният 
е нула за всеки номер на ред 
от 
преди 
и за произволен номер на колона 
от 1 до 
... Разширявайки го според последната колона, получаваме:
Тук 
- съответните алгебрични допълнения. забележи това 
тъй като следователно 
е основният минор. Оттук и елементите на реда кможе да се представи като линейна комбинация от съответните елементи на основните редове с коефициенти, които не зависят от номера на колоната 
:
Така доказахме, че произволен ред от матрица може да бъде представен като линейна комбинация от нейните основни редове. Теоремата е доказана.
Лекция 13
4.9.7. Теорема. (За ранга на недегенерирана квадратна матрица)
За да бъде квадратна матрица неизродена, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на размера на тази матрица.
доказателство:
Трябва.Нека квадратната матрица 
размер нтогава е недегенериран 
следователно, детерминантата на матрицата е основен минор, т.е. 
Адекватност.Нека бъде 
тогава редът на основния минор е равен на размера на матрицата, следователно основният минор е детерминантата на матрицата 
, т.е. 
по дефиницията на основно непълнолетно лице.
Последствие.
За да бъде квадратна матрица неизродена, е необходимо и достатъчно редовете й да са линейно независими.
доказателство:
Трябва.Тъй като квадратната матрица не е дегенерирана, нейният ранг е равен на размера на матрицата 
тоест детерминантата на матрицата е основният минор. Следователно, съгласно теорема 4.9.6 за основния минор, редовете на матрицата са линейно независими.
Адекватност.Тъй като всички редове на матрицата са линейно независими, нейният ранг е не по-малък от размера на матрицата и следователно, 
следователно, съгласно предишната теорема 4.9.7, матрицата 
е недегенериран.
4.9.8. Методът за гранични непълнолетни за намиране на ранга на матрица.
Забележете, че този метод вече е частично имплицитно описан в доказателството на основната малка теорема.
4.9.8.1. Определение. Незначителен 
Наречен граничещипо отношение на непълнолетни 
ако е извлечено от непълнолетен 
добавяне на един нов ред и една нова колона от оригиналната матрица.
4.9.8.2. Процедурата за намиране на ранга на матрица по метода на граничния минор.
Намерете всеки текущ минор на матрицата, различен от нула.
Изчисляваме всички граничещи с нея непълнолетни.
Ако всички те са равни на нула, тогава текущият минор е основен, а рангът на матрицата е равен на реда на текущия минор.
Ако сред граничещите непълнолетни се открие поне едно ненулево, то се счита за текущо и процедурата продължава.
Нека намерим, използвайки метода на граничещи непълнолетни, ранга на матрицата
.
Лесно е да се посочи текущия ненулев минор от втори ред, например,
.
Изчисляваме граничещите с него непълнолетни:
Следователно, тъй като всички граничещи минорни от трети порядък са равни на нула, тогава минорът 
е основно, т.е 
Коментирайте. От разглеждания пример се вижда, че методът е доста трудоемък. Следователно на практика методът на елементарните трансформации се използва много по-често, което ще бъде разгледано по-долу.
4.9.9. Намиране на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации.
Въз основа на теорема 4.9.5 може да се твърди, че рангът на матрицата не се променя при елементарни трансформации (т.е. ранговете на еквивалентните матрици са равни). Следователно рангът на матрицата е равен на ранга на стъпаловидна матрица, получена от оригиналната чрез елементарни трансформации. Рангът на стъпаловидна матрица очевидно е равен на броя на нейните ненулеви редове.
Определяме ранга на матрицата
по метода на елементарните трансформации.
Да дадем матрицата 
към стъпаловиден изглед:
Броят на ненулевите редове на получената стъпаловидна матрица е три, следователно, 
4.9.10. Рангът на система от вектори в линейно пространство.
Помислете за система от вектори 
някакво линейно пространство 
... Ако е линейно зависима, тогава в нея може да се различи линейно независима подсистема.
4.9.10.1. Определение. Рангът на системата от вектори
линейно пространство 
е максималният брой линейно независими вектори на тази система. Ранг на системата от вектори 
означена като 
.
Коментирайте. Ако система от вектори е линейно независима, тогава нейният ранг е равен на броя на векторите в системата.
Нека формулираме теорема, показваща връзката между понятията за ранга на система от вектори в линейно пространство и ранга на матрица.
4.9.10.2. Теорема. (За ранга на система от вектори в линейно пространство)
Рангът на система от вектори в линейно пространство е равен на ранга на матрица, чиито колони или редове са координатите на вектори в някаква основа на линейното пространство.
Няма доказателство.
Последствие.
За да бъде система от вектори в линейно пространство линейно независима, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата, колоните или редовете на която са координатите на векторите в някаква база, да е равен на броя на векторите на системата.
Доказателството е очевидно.
4.9.10.3. Теорема (За размерността на линейната обвивка).
Размерност на линейния корпус на векторите 
линейно пространство 
е равно на ранга на тази система от вектори:
Няма доказателство.
Матрица- правоъгълна таблица с произволни числа, подредени в определен ред, размер m * n (редове по колони). Означени са матричните елементи, където i е номерът на реда и j е номерът на колоната.
Добавяне (изваждане)матриците са дефинирани само за едномерни матрици. Сума (разлика) от матрици - матрица, чиито елементи са съответно сумата (разликата) от елементите на оригиналните матрици.
умножение (деление)по числото- умножение (деление) на всеки елемент от матрицата по това число.
Умножението на матрицата се дефинира само за матрици, броят на колоните на първата от които е равен на броя на редовете на втората.
Матрично умножение- матрица, чиито елементи са дадени с формулите:
Транспониране на матрица- такава матрица B, чиито редове (колони) са колоните (редовете) в оригиналната матрица A. Означава се
обратна матрица
Матрични уравнения- уравнения от вида A * X = B е продукт на матрици, отговорът на това уравнение е матрицата X, която се намира с помощта на правилата:
Линейна зависимост и независимост на колоните (редовете) на матрицата. Критерий за линейна зависимост, достатъчни условия за линейната зависимост на колоните (редовете) на матрицата.
Системата от редове (колони) се нарича линейно независими, ако линейната комбинация е тривиална (равенството важи само за a1 ... n = 0), където A1 ... n са колони (редове), anda1 ... n са коефициентите на разширение.
Критерий: за да бъде системата от вектори линейно зависима, е необходимо и достатъчно поне един от векторите на системата да е линейно изразен чрез другите вектори на системата.
Достатъчно състояние:
Детерминанти на матрица и техните свойства
Детерминанта на матрица (детерминанта)- такова число, че за квадратна матрица A може да се изчисли от елементите на матрицата по формулата:
, където е допълнителният минор на елемента
Имоти:
Обратна матрица, алгоритъм за изчисляване на обратната матрица.
обратна матрица- такава квадратна матрица X, която, заедно с квадратна матрица A от същия порядък, удовлетворява условието:, където E е еднаква матрица от същия ред като A. Всяка квадратна матрица с детерминанта не е равна на нула има 1 обратна. Намира се с помощта на метода на елементарните трансформации и с помощта на формулата:
Концепцията за ранга на матрицата. Основна минорна теорема. Критерий за равенство на нула на детерминанта на матрицата. Елементарни матрични трансформации. Изчисляване на ранга по метода на елементарните трансформации. Изчисляване на обратната матрица по метода на елементарните трансформации.
Рангът на матрицата еосновна минорна поръчка (rg A)
Основен минор -минор от порядък r не е равен на нула, така че всички минорни от порядък r + 1 и по-високи са равни на нула или не съществуват.
Основна малка теорема -В произволна матрица A всяка колона (ред) е линейна комбинация от колони (редове), в които се намира основният минор.
доказателство:Да предположим, че в матрица A с размер m * n основният минор е разположен в първите r редове и първите r колони. Да разгледаме детерминантата, която се получава чрез приписване на основния минор на матрицата A на съответните елементи от st-ти ред и k-та колона.
Забележете, че за всяко и този детерминант е нула. Ако или, тогава детерминантата D съдържа два еднакви реда или две еднакви колони. Ако и, тогава детерминантът D е равен на нула, тъй като е минор от (r + λ) -ro порядък. Разширявайки детерминантата по последния ред, получаваме :, където са алгебричните допълнения на елементите от последния ред. Имайте предвид, че тъй като това е базов минор. Следователно, къде 
Записвайки последното равенство за, получаваме 
, т.е. K-тата колона (за всеки) е линейна комбинация от колоните на основния минор, както се изисква.
Критерий detA = 0- Детерминантата е равна на нула само ако редовете (колони) са линейно зависими.
Елементарни трансформации:
1) умножаване на низ по ненулево число;
2) добавяне на елементи от друг ред към елементите на един ред;
3) пермутация на прави;
4) изтриване на един от същите редове (колони);
5) транспониране;
Изчисляване на ранг -От основната малка теорема следва, че рангът на матрицата A е равен на максималния брой линейно независими редове (колони в матрицата), следователно проблемът на елементарните трансформации е да се намерят всички линейно независими редове (колони).
Изчисляване на обратното на матрица- Трансформациите могат да се осъществят чрез умножаване на някаква матрица T по матрица A, която е продукт на съответните елементарни матрици: TA = E.
Това уравнение означава, че матрицата на трансформация T е обратна на матрицата. Тогава и следователно
